Vocabulaire &
Définitions

Fonctions affines — Feuille n°1 — 2nde

f(x) = ax + b Identifier · Calculer 5 exercices

📌 L'essentiel à avoir en tête

Fonction affine
Une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), avec \(a\) et \(b\) deux nombres fixés.
\(a\) = coefficient directeur (la pente)
\(b\) = ordonnée à l'origine
Fonction linéaire
Cas particulier où \(b = 0\) : la droite passe par l'origine.
\(f(x) = ax\) — proportionnalité pure
Fonction constante
Cas particulier où \(a = 0\) : la valeur ne change jamais.
\(f(x) = b\) pour tout \(x\)
Corrections vues :
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Exercice 1 / 5

Identifier \(a\) et \(b\) Lecture directe
✓ Vu

Pour chaque fonction, identifier le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\).

a)
\(f(x) = 3x + 5\)
b)
\(g(x) = -2x + 7\)
c)
\(h(x) = \dfrac{1}{2}x - 4\)
d)
\(k(x) = -x\)
e)
\(p(x) = 6\)
f)
\(q(x) = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}\)

💡 Indices

Dans \(f(x) = ax + b\), si tu ne vois pas de "\(+ b\)", c'est que \(b = 0\). Et si tu ne vois pas de "\(x\)", c'est que \(a = 0\).
Dans \(g(x) = -2x + 7\), le coefficient directeur est \(a = -2\) (négatif). Le signe fait partie de \(a\) !
Méthode : on repère directement le coefficient devant \(x\) pour \(a\), et le terme sans \(x\) pour \(b\). Si l'un d'eux est absent, il vaut 0 (ou 1 pour le coefficient de \(x\) si écrit \(-x\)).
a) \(f(x) = 3x + 5\)
\(a = 3\) et \(b = 5\) — fonction affine classique.
b) \(g(x) = -2x + 7\)
\(a = -2\) et \(b = 7\) — pente négative : la droite descend.
c) \(h(x) = \frac{1}{2}x - 4\)
\(a = \dfrac{1}{2}\) et \(b = -4\) — attention : \(b\) est négatif.
d) \(k(x) = -x\)
Réécriture\(k(x) = -1 \times x + 0\)
\(a = -1\) et \(b = 0\) — c'est une fonction linéaire (droite passant par l'origine).
e) \(p(x) = 6\)
Réécriture\(p(x) = 0 \times x + 6\)
\(a = 0\) et \(b = 6\) — c'est une fonction constante (droite horizontale).
f) \(q(x) = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\)
\(a = -\dfrac{3}{4}\) et \(b = \dfrac{1}{2}\)

Exercice 2 / 5

Affine, linéaire ou constante ? Classement
✓ Vu

Classer chaque expression dans la bonne catégorie : fonction affine (non linéaire), fonction linéaire ou fonction constante. Justifier.

a)
\(f(x) = 4x\)
b)
\(g(x) = -3\)
c)
\(h(x) = 2x - 1\)
d)
\(k(x) = 0{,}5x + 3\)
e)
\(p(x) = -7x\)
f)
\(q(x) = 0\)

💡 Indices

Fonction linéaire : \(b = 0\) (pas de terme constant). Fonction constante : \(a = 0\) (pas de \(x\)). Affine non linéaire : \(a \neq 0\) ET \(b \neq 0\).
La fonction \(q(x) = 0\) peut s'écrire \(q(x) = 0 \times x + 0\). Qu'est-ce que cela donne pour \(a\) et \(b\) ?
Rappel : linéaire ⟺ \(b=0\) et \(a \neq 0\). Constante ⟺ \(a=0\). Affine (non linéaire) ⟺ \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\).
a) \(f(x) = 4x\)
\(a = 4\), \(b = 0\) → Fonction linéaire. La droite passe par l'origine.
b) \(g(x) = -3\)
\(a = 0\), \(b = -3\) → Fonction constante. Droite horizontale.
c) \(h(x) = 2x - 1\)
\(a = 2\), \(b = -1\) → Fonction affine (non linéaire).
d) \(k(x) = 0{,}5x + 3\)
\(a = 0{,}5\), \(b = 3\) → Fonction affine (non linéaire).
e) \(p(x) = -7x\)
\(a = -7\), \(b = 0\) → Fonction linéaire. Pente négative, mais toujours linéaire.
f) \(q(x) = 0\)
\(a = 0\), \(b = 0\) → Fonction constante (et aussi linéaire par certaines définitions). La droite est l'axe des abscisses lui-même.

Exercice 3 / 5

Calculer des images Tableau de valeurs
✓ Vu

Soit \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -x + 5\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-2)\) et \(f(4)\).
2. Calculer \(g(0)\), \(g(3)\), \(g(-1)\) et \(g(5)\).
3. Trouver l'antécédent de \(7\) par \(f\), c'est-à-dire la valeur de \(x\) telle que \(f(x) = 7\).

💡 Indices

Calculer \(f(1)\) signifie remplacer \(x\) par \(1\) dans la formule : \(f(1) = 2 \times 1 - 3\).
Si \(f(x) = 7\), écris l'équation \(2x - 3 = 7\) et résous-la.
1. Images par \(f(x) = 2x - 3\)
f(0)\(= 2 \times 0 - 3 = \mathbf{-3}\)
f(1)\(= 2 \times 1 - 3 = \mathbf{-1}\)
f(−2)\(= 2 \times (-2) - 3 = -4 - 3 = \mathbf{-7}\)
f(4)\(= 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = \mathbf{5}\)
2. Images par \(g(x) = -x + 5\)
g(0)\(= -0 + 5 = \mathbf{5}\)
g(3)\(= -3 + 5 = \mathbf{2}\)
g(−1)\(= -(-1) + 5 = 1 + 5 = \mathbf{6}\)
g(5)\(= -5 + 5 = \mathbf{0}\)
3. Antécédent de \(7\) par \(f\)

On pose \(f(x) = 7\), soit l'équation \(2x - 3 = 7\).

\(2x\) \(- 3\) \(= 7\)
\(+3\)
\(+3\)
\(2\)\(x = 10\)
\(\div 2\)
\(\div 2\)
\(x = 5\)
L'antécédent de \(7\) par \(f\) est \(x = 5\). Vérif : \(f(5) = 2 \times 5 - 3 = 7\) ✓

Exercice 4 / 5

Situation concrète Mettre en formule
✓ Vu

Un taxi facture 2,50 € par kilomètre parcouru, plus 4 € de prise en charge au départ.

1. Appeler \(x\) le nombre de kilomètres. Écrire la fonction \(f(x)\) donnant le prix total de la course.
2. Identifier \(a\) et \(b\). Que représentent-ils concrètement dans cette situation ?
3. Calculer le prix d'une course de 12 km.
4. Un client dispose de 29 €. Quel est le nombre maximal de kilomètres qu'il peut parcourir ?

💡 Indices

Prix = (tarif par km) × (nombre de km) + (prise en charge fixe). Remplace avec les valeurs de l'énoncé.
Si \(f(x) \leqslant 29\), écris l'inégalité \(2{,}5x + 4 \leqslant 29\) et résous-la.
1. Expression de \(f(x)\)
\(f(x) = 2{,}5x + 4\)
2. Identification de \(a\) et \(b\)

\(a = 2{,}5\) : c'est le tarif par kilomètre (la vitesse à laquelle le prix augmente).
\(b = 4\) : c'est la prise en charge, le coût fixe dès le départ (même pour 0 km).

3. Prix pour 12 km
Calcul\(f(12) = 2{,}5 \times 12 + 4 = 30 + 4\)
\(f(12) = 34\) € — la course coûte 34 €.
4. Distance maximale avec 29 €

On résout l'inégalité \(2{,}5x + 4 \leqslant 29\) (même méthode que pour une équation, le sens ne change pas car on divise par un nombre positif).

\(2{,}5x\) \(+ 4\) \(\leqslant 29\)
\(-4\)
\(-4\)
\(2{,}5\)\(x \leqslant 25\)
\(\div 2{,}5\)
\(\div 2{,}5\)
\(x \leqslant 10\)
Le client peut parcourir au maximum 10 km.

Exercice 5 / 5

Piège ou pas piège ? Reconnaissance
✓ Vu

Parmi les expressions suivantes, dire si chacune définit bien une fonction affine de \(x\). Si oui, donner \(a\) et \(b\). Si non, expliquer pourquoi.

a)
\(f(x) = 3x + 2\)
b)
\(g(x) = x^2 + 1\)
c)
\(h(x) = \dfrac{x}{3} - 2\)
d)
\(k(x) = \dfrac{3}{x} + 1\)
e)
\(p(x) = (x+1) \times 2\)
f)
\(q(x) = 2x - x + 4\)

💡 Indices

Une fonction affine doit être de la forme \(ax + b\) : \(x\) apparaît exactement au degré 1, jamais au degré 2 (\(x^2\)) ni au dénominateur (\(\frac{1}{x}\)).
Pour e), développe d'abord \((x+1) \times 2\). Pour f), réunis les termes en \(x\) avant de conclure.
Critère : une fonction affine est de la forme \(ax + b\) où \(a\) et \(b\) sont des constantes. \(x\) doit apparaître seulement au degré 1.
a) \(f(x) = 3x + 2\)
✅ Oui. \(a = 3\), \(b = 2\).
b) \(g(x) = x^2 + 1\)
❌ Non. Le terme \(x^2\) est au degré 2 : ce n'est pas une fonction affine, c'est une fonction du second degré.
c) \(h(x) = \frac{x}{3} - 2\)
Réécriture\(h(x) = \dfrac{1}{3}x - 2\)
✅ Oui. \(a = \dfrac{1}{3}\), \(b = -2\).
d) \(k(x) = \frac{3}{x} + 1\)
❌ Non. Ici \(x\) est au dénominateur : ce n'est pas de la forme \(ax + b\).
e) \(p(x) = (x+1) \times 2\)
Développe\(p(x) = 2x + 2\)
✅ Oui. \(a = 2\), \(b = 2\). Il fallait développer pour le voir !
f) \(q(x) = 2x - x + 4\)
Réduis\(q(x) = x + 4\)
✅ Oui. \(a = 1\), \(b = 4\). Il fallait réduire pour simplifier.

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