Représentation
graphique

Fonctions affines — Feuille n°2 — 2nde

Tracer · Lire Méthode escalier 5 exercices

📌 L'essentiel à avoir en tête

① Placer le point de départ
Commencer par \(b\) : placer le point \((0\,;\,b)\) sur l'axe des ordonnées.
② La méthode de l'escalier
Depuis ce point : avancer de 1 vers la droite, monter (ou descendre) de a. Répéter pour obtenir d'autres points.
③ Si a est une fraction \(\frac{p}{q}\)
Avancer du dénominateur \(q\) vers la droite, monter/descendre du numérateur \(p\). On évite ainsi les décimales imprécises.
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Exercice 1 / 5

Lire un graphique Trouver a et b
✓ Vu

Le graphique ci-dessous représente trois droites. Pour chacune, donner l'expression de la fonction \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\).

O x y 1 2 3 4 5 −1 −2 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 f g h

1 carreau = 1 unité

1. Quelle est l'ordonnée à l'origine de chaque droite ? (valeur en \(x = 0\))
2. Quel est le coefficient directeur de chaque droite ? (combien monte-t-on quand on avance d'1 ?)
3. En déduire l'expression de \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\).

💡 Indices

\(b\) est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire la valeur de \(y\) quand \(x = 0\). Repère ce point sur chaque droite.
Prends deux points entiers sur la droite. Si en avançant d'1 vers la droite, la droite monte de 2, alors \(a = 2\). Si elle descend d'1, alors \(a = -1\).
Méthode : on lit \(b\) à l'intersection avec l'axe \(y\), puis on choisit deux points entiers pour calculer \(a = \frac{\text{montée}}{\text{avancée}}\).
Droite f (bleue)

Coupe l'axe \(y\) en \((0\,;\,1)\) → \(b = 1\). En avançant de 1, la droite monte de 2 → \(a = 2\).

\(f(x) = 2x + 1\)
Droite g (rouge)

Coupe l'axe \(y\) en \((0\,;\,2)\) → \(b = 2\). En avançant de 1, la droite descend de 1 → \(a = -1\).

\(g(x) = -x + 2\)
Droite h (verte)

Droite horizontale au niveau \(y = 3\) → \(b = 3\), ne monte jamais → \(a = 0\).

\(h(x) = 3\) — fonction constante

Exercice 2 / 5

Tracer une droite a entier
✓ Vu

Pour chaque fonction, calculer un tableau de valeurs puis tracer la droite sur papier quadrillé.

a)
\(f(x) = 3x - 2\)
b)
\(g(x) = -2x + 4\)
c)
\(h(x) = x - 1\)

Utiliser au minimum les valeurs \(x \in \{-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\}\). Vérifier que deux points suffisent à tracer la droite.
Échelle : 1 carreau = 1 unité — prévoir \(x\) de \(-2\) à \(3\) et \(y\) de \(-6\) à \(6\) sur les deux axes.

💡 Indices

Une droite est entièrement déterminée par deux points. Calculer \(f(0) = b\) et \(f(1) = a + b\) suffit. Les autres valeurs permettent de vérifier.
Pour \(g(x) = -2x + 4\), quand \(x\) augmente de 1, \(g(x)\) diminue de 2. La droite descend de gauche à droite.
a) \(f(x) = 3x - 2\)
\(x\)−1012
f(x)−5−214
O x y −1 1 2 3 1 2 3 4 −1 −2 (0 ; −2) (1 ; 1)

1 carreau = 1 unité

b) \(g(x) = -2x + 4\)
\(x\)−1012
g(x)6420
O x y −1 1 2 3 1 2 3 4 5 −1 (0 ; 4) (2 ; 0)

1 carreau = 1 unité

c) \(h(x) = x - 1\)
\(x\)−1012
h(x)−2−101
O x y −1 1 2 3 1 2 −1 (0 ; −1) (1 ; 0)

1 carreau = 1 unité

⚠ Piège : ne pas oublier que tracer une droite nécessite une règle ! Trois points alignés (ou non) permettent aussi de vérifier les calculs.

Exercice 3 / 5

a fraction Méthode num./dén.
✓ Vu

Tracer sur papier quadrillé les droites représentant les fonctions suivantes, en utilisant la méthode numérateur/dénominateur.
Échelle : 1 carreau = 1 unité — prévoir \(x\) de \(-1\) à \(5\) et \(y\) de \(-2\) à \(4\) sur les deux axes.

a)
\(f(x) = \dfrac{2}{3}x + 1\)
b)
\(g(x) = -\dfrac{3}{4}x + 2\)
c)
\(h(x) = \dfrac{1}{2}x - 1\)

💡 Indices

Pour \(a = \frac{2}{3}\) : depuis le point de départ \((0\,;\,1)\), avancer de 3 carreaux vers la droite (dénominateur), puis monter de 2 carreaux (numérateur). On arrive sur \((3\,;\,3)\).
Pour \(a = -\frac{3}{4}\), le numérateur est négatif : on avance de 4 vers la droite et on descend de 3. La droite est décroissante.
Méthode : pour \(a = \frac{p}{q}\), depuis le point de départ \((0\,;\,b)\) : avancer de \(q\) (dénominateur) en abscisse, puis de \(p\) (numérateur) en ordonnée. On obtient un second point exact.
a) \(f(x) = \frac{2}{3}x + 1\)

Départ : \((0\,;\,1)\). Avancer de +3 en \(x\), monter de +2 en \(y\). Arrivée : \((3\,;\,3)\).

O x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 −1 −2 départ (0 ; 1) +3 +2 (3 ; 3)

1 carreau = 1 unité

b) \(g(x) = -\frac{3}{4}x + 2\)

Départ : \((0\,;\,2)\). Avancer de +4 en \(x\), descendre de −3 en \(y\). Arrivée : \((4\,;\,-1)\).

O x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 −1 −2 départ (0 ; 2) +4 −3 (4 ; −1)

1 carreau = 1 unité

c) \(h(x) = \frac{1}{2}x - 1\)

Départ : \((0\,;\,-1)\). Avancer de +2 en \(x\), monter de +1 en \(y\). Arrivée : \((2\,;\,0)\).

O x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 −1 −2 départ (0 ; −1) +2 +1 (2 ; 0)

1 carreau = 1 unité

Exercice 4 / 5

Sens de variation Croissante · Décroissante
✓ Vu

Sans tracer de graphique, dire si chaque fonction est croissante, décroissante ou constante sur \(\mathbb{R}\). Justifier avec le signe de \(a\).

a)
\(f(x) = 5x - 3\)
b)
\(g(x) = -4x + 1\)
c)
\(h(x) = -2\)
d)
\(k(x) = \dfrac{1}{3}x + 7\)
e)
\(p(x) = -\dfrac{2}{5}x\)
f)
\(q(x) = 0{,}1x - 100\)

💡 Indices

\(a > 0\) → croissante (monte de gauche à droite). \(a < 0\) → décroissante (descend). \(a = 0\) → constante (droite horizontale).
Règle : le signe de \(a\) détermine seul le sens de variation. \(b\) n'a aucune influence là-dessus.
a) \(f(x) = 5x - 3\)
\(a = 5 > 0\) → Croissante
b) \(g(x) = -4x + 1\)
\(a = -4 < 0\) → Décroissante
c) \(h(x) = -2\)
\(a = 0\) → Constante (droite horizontale)
d) \(k(x) = \frac{1}{3}x + 7\)
\(a = \frac{1}{3} > 0\) → Croissante (très faible pente, mais croissante)
e) \(p(x) = -\frac{2}{5}x\)
\(a = -\frac{2}{5} < 0\) → Décroissante
f) \(q(x) = 0{,}1x - 100\)
\(a = 0{,}1 > 0\) → Croissante. La valeur de \(b = -100\) ne change rien au sens !

Exercice 5 / 5

Situation concrète Lire · Interpréter
✓ Vu

Un randonneur part à pied. Sa distance (en km) depuis son point de départ est modélisée par \(d(t) = 4t\), où \(t\) est le temps en heures.

Un cycliste part du même endroit, mais 1 heure plus tard, et roule à 12 km/h. Sa distance est \(c(t) = 12(t - 1)\) pour \(t \geqslant 1\).

1. Quelle est la vitesse du randonneur ? Quelle est la nature de la fonction \(d\) ?
2. Calculer \(d(0)\), \(d(1)\), \(d(2)\), \(d(3)\) et \(c(1)\), \(c(2)\), \(c(3)\).
3. À quel moment le cycliste rattrape-t-il le randonneur ? (résoudre \(d(t) = c(t)\) par la méthode des flèches)
4. À quelle distance du départ se trouvent-ils à cet instant ?

💡 Indices

"Le cycliste rattrape le randonneur" signifie qu'ils sont à la même distance : \(d(t) = c(t)\), soit \(4t = 12(t - 1)\). Développer d'abord, puis résoudre.
\(12(t-1) = 12t - 12\). L'équation devient \(4t = 12t - 12\).
1. Vitesse et nature de la fonction

Le coefficient directeur de \(d(t) = 4t\) est \(a = 4\) : la vitesse du randonneur est 4 km/h.
\(b = 0\) → c'est une fonction linéaire (proportionnalité : distance = vitesse × temps).

2. Tableaux de valeurs
\(t\) (h)0123
d(t) km04812
c(t) km—01224

À \(t = 1\) h, le randonneur est à 4 km, le cycliste vient juste de partir (0 km).

3. Quand le cycliste rattrape-t-il le randonneur ?

On développe d'abord : \(c(t) = 12t - 12\). L'équation \(d(t) = c(t)\) donne :

\(4t = \) \(12t\) \(- 12\)
\(-12t\)
\(-12t\)
\(-8t = -12\)
\(\div (-8)\)
\(\div (-8)\)
\(t = \dfrac{-12}{-8} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\)
Le cycliste rattrape le randonneur après 1 h 30 min de course (\(t = 1{,}5\) h).
4. Distance à cet instant
d(1,5)\(= 4 \times 1{,}5 = \mathbf{6}\) km
Vérif. c(1,5)\(= 12 \times (1{,}5 - 1) = 12 \times 0{,}5 = \mathbf{6}\) km ✓
Ils se retrouvent à 6 km du point de départ.

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