Synthèse & Autonomie

Fonctions affines — Feuille n°5 — 2nde

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📋 Récapitulatif du chapitre

Identifier a et b
Dans \(f(x) = ax+b\) : \(a\) est le coefficient devant \(x\), \(b\) le terme constant.
Calculer a
\(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) — même ordre au numérateur et dénominateur.
Calculer b
Injecter un point connu dans \(f(x)=ax+b\), résoudre pour \(b\) par les flèches.
Tracer
Départ \((0\,;\,b)\) sur l'axe \(y\), méthode de l'escalier (ou numérateur/dénominateur si \(a\) est une fraction).
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

Identifier a et b Sens de variation Images
✓ Vu

Pour chaque fonction, identifier \(a\) et \(b\), préciser la nature et le sens de variation, puis calculer les images demandées.

a)
\(f(x) = -3x + 7\)
Calculer \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\)
b)
\(g(x) = \dfrac{2}{5}x\)
Calculer \(g(0)\), \(g(5)\), \(g(-10)\)
c)
\(h(x) = 4\)
Calculer \(h(-3)\), \(h(0)\), \(h(100)\)
d)
\(k(x) = -\dfrac{3}{4}x - 2\)
Calculer \(k(0)\), \(k(4)\), \(k(-4)\)

💡 Indices

Pour b), il n'y a pas de terme constant : \(b = 0\), c'est une fonction linéaire. Pour c), il n'y a pas de \(x\) : \(a = 0\), c'est une fonction constante.
a) f(x) = −3x + 7

\(a = -3\), \(b = 7\) — fonction affine, décroissante (\(a < 0\)).

f(0)\(= -3 \times 0 + 7 = \mathbf{7}\)
f(2)\(= -3 \times 2 + 7 = -6 + 7 = \mathbf{1}\)
f(−1)\(= -3 \times (-1) + 7 = 3 + 7 = \mathbf{10}\)
b) g(x) = 2/5 x

\(a = \frac{2}{5}\), \(b = 0\) — fonction linéaire, croissante.

g(0)\(= \frac{2}{5} \times 0 = \mathbf{0}\)
g(5)\(= \frac{2}{5} \times 5 = \mathbf{2}\)
g(−10)\(= \frac{2}{5} \times (-10) = \mathbf{-4}\)
c) h(x) = 4

\(a = 0\), \(b = 4\) — fonction constante.

h(−3) = h(0) = h(100) = 4 — la valeur ne change jamais.
d) k(x) = −3/4 x − 2

\(a = -\frac{3}{4}\), \(b = -2\) — fonction affine, décroissante.

k(0)\(= 0 - 2 = \mathbf{-2}\)
k(4)\(= -\frac{3}{4} \times 4 - 2 = -3 - 2 = \mathbf{-5}\)
k(−4)\(= -\frac{3}{4} \times (-4) - 2 = 3 - 2 = \mathbf{1}\)

Exercice 2 / 5

Méthode complète Deux points
✓ Vu

Déterminer l'expression complète \(f(x) = ax + b\) de chaque fonction affine.

a)
\(f(2) = 3\) et \(f(5) = 12\)
b)
\(g(-1) = 8\) et \(g(3) = 0\)
c)
\(h(0) = -5\) et \(h(6) = 1\)
d)
\(k(3) = 3\) et \(k(7) = 1\)

💡 Indices

1) Calculer \(a\) avec la formule. 2) Injecter un point dans \(f(x) = ax + b\). 3) Résoudre pour \(b\). 4) Vérifier avec l'autre point.
Pour c), l'un des points est \((0\,;\,-5)\). Donc \(b = h(0) = -5\) directement, sans équation.
a) f(2) = 3 et f(5) = 12

Étape 1 — a

Calcul\(a = \dfrac{12-3}{5-2} = \dfrac{9}{3} = 3\)

Étape 2 — b

On injecte \((2\,;\,3)\) dans \(f(x) = 3x+b\) : \(3 = 6+b\).

\(b\) \(+ 6\) \(= 3\)
\(-6\)
\(-6\)
\(b = -3\)
\(f(x) = 3x - 3\). Vérif : \(f(5) = 15 - 3 = 12\) ✓
b) g(−1) = 8 et g(3) = 0

Étape 1 — a

Calcul\(a = \dfrac{0-8}{3-(-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\)

Étape 2 — b

On injecte \((3\,;\,0)\) dans \(g(x) = -2x+b\) : \(0 = -6+b\).

\(- 6\) \(+ b = 0\)
\(+6\)
\(+6\)
\(b = 6\)
\(g(x) = -2x + 6\). Vérif : \(g(-1) = 2 + 6 = 8\) ✓
c) h(0) = −5 et h(6) = 1

Étape 1 — a

Calcul\(a = \dfrac{1-(-5)}{6-0} = \dfrac{6}{6} = 1\)

Étape 2 — b

Astuce : le point \((0\,;\,-5)\) donne directement \(b = -5\).
\(h(x) = x - 5\). Vérif : \(h(6) = 6 - 5 = 1\) ✓
d) k(3) = 3 et k(7) = 1

Étape 1 — a

Calcul\(a = \dfrac{1-3}{7-3} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}\)

Étape 2 — b

On injecte \((3\,;\,3)\) dans \(k(x) = -\frac{1}{2}x+b\) : \(3 = -\frac{3}{2}+b\).

\(- \dfrac{3}{2}\) \(+ b = 3\)
\(+\dfrac{3}{2}\)
\(+\dfrac{3}{2}\)
\(b = \dfrac{9}{2}\)
\(k(x) = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{9}{2}\). Vérif : \(k(7) = -\frac{7}{2}+\frac{9}{2} = \frac{2}{2} = 1\) ✓

Exercice 3 / 5

Graphique → formule Tracer
✓ Vu

Le graphique représente trois droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\).

O x y −1 1 2 3 4 1 2 3 4 −1 −2 \(d_1\) \(d_2\) \(d_3\)

1 carreau = 1 unité

1. Pour chaque droite, relever deux points à coordonnées entières et déterminer \(a\) et \(b\).
2. Écrire l'expression de \(d_1(x)\), \(d_2(x)\) et \(d_3(x)\).
3. Trouver la valeur de \(x\) pour laquelle \(d_1\) et \(d_2\) ont la même image (résoudre par les flèches).

💡 Indices

Pour \(d_3\), la droite monte de 1 quand on avance de 2. Donc \(a = \frac{1}{2}\). Regarde où elle coupe l'axe des ordonnées pour lire \(b\).
"Même image" signifie \(d_1(x) = d_2(x)\). Remplace par les expressions et résous l'équation.
1 et 2. Expressions des droites

\(d_1\) (bleue) — Points : \((0\,;\,-2)\) et \((1\,;\,-1)\).
\(a = \frac{-1-(-2)}{1-0} = 1\) ; \(b = -2\) (lecture directe).

\(d_1(x) = x - 2\)

\(d_2\) (rouge) — Points : \((0\,;\,4)\) et \((2\,;\,0)\).
\(a = \frac{0-4}{2-0} = -2\) ; \(b = 4\) (lecture directe).

\(d_2(x) = -2x + 4\)

\(d_3\) (verte) — Points : \((0\,;\,1)\) et \((2\,;\,2)\).
\(a = \frac{2-1}{2-0} = \frac{1}{2}\) ; \(b = 1\) (lecture directe).

\(d_3(x) = \dfrac{1}{2}x + 1\)
3. Intersection de d1 et d2

On résout \(d_1(x) = d_2(x)\), soit \(x - 2 = -2x + 4\).

\(x - 2 = \) \(-2x\) \(+ 4\)
\(+2x\)
\(+2x\)
\(3x\) \(- 2\) \(= 4\)
\(+2\)
\(+2\)
\(3\)\(x = 6\)
\(\div 3\)
\(\div 3\)
\(x = 2\)
\(d_1\) et \(d_2\) se croisent en \(x = 2\). Vérif : \(d_1(2) = 0\) et \(d_2(2) = 0\) ✓ — les deux droites se croisent sur l'axe des abscisses.

Exercice 4 / 5

Antécédents Tracer Méthode complète
✓ Vu

Soit la fonction affine \(f\) telle que \(f(-2) = 7\) et \(f(4) = -2\).

1. Calculer \(a\) et \(b\), puis écrire l'expression de \(f(x)\).
2. Calculer \(f(0)\) et \(f(2)\), puis tracer la droite sur papier quadrillé.
Échelle : 1 carreau = 1 unité — prévoir \(x\) de \(-3\) à \(5\) et \(y\) de \(-4\) à \(8\).
3. Trouver l'antécédent de \(1\) par \(f\) (méthode des flèches).
4. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = -5\) ?

💡 Indices

Pour l'antécédent de 1 : résoudre \(f(x) = 1\). Pour la question 4 : résoudre \(f(x) = -5\). Dans les deux cas, remplace \(f(x)\) par son expression et utilise les flèches.
1. Expression de f(x)

Étape 1 — a

Calcul\(a = \dfrac{-2-7}{4-(-2)} = \dfrac{-9}{6} = -\dfrac{3}{2}\)

Étape 2 — b

On injecte \((-2\,;\,7)\) dans \(f(x) = -\frac{3}{2}x + b\) : \(7 = -\frac{3}{2} \times (-2)+b = 3+b\).

\(b\) \(+ 3\) \(= 7\)
\(-3\)
\(-3\)
\(b = 4\)
\(f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 4\). Vérif : \(f(4) = -6 + 4 = -2\) ✓
2. Tableau de valeurs
f(0)\(= 0 + 4 = \mathbf{4}\)
f(2)\(= -3 + 4 = \mathbf{1}\)

Points à placer : \((0\,;\,4)\) et \((2\,;\,1)\). Pente \(a = -\frac{3}{2}\) : avancer de 2, descendre de 3.

3. Antécédent de 1

On résout \(-\frac{3}{2}x + 4 = 1\) :

\(-\dfrac{3}{2}x\) \(+ 4\) \(= 1\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-\dfrac{3}{2}\)\(x = -3\)
\(\div \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\div \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(x = -3 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 2\)
L'antécédent de \(1\) est \(x = 2\). Vérif : \(f(2) = -3 + 4 = 1\) ✓
4. f(x) = −5

On résout \(-\frac{3}{2}x + 4 = -5\) :

\(-\dfrac{3}{2}x\) \(+ 4\) \(= -5\)
\(-4\)
\(-4\)
\(-\dfrac{3}{2}\)\(x = -9\)
\(\div \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\div \left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
\(x = -9 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = 6\)
\(f(x) = -5\) pour \(x = 6\). Vérif : \(f(6) = -9 + 4 = -5\) ✓

Exercice 5 / 5

Problème ouvert Comparer deux offres
✓ Vu

Deux salles de sport proposent des abonnements :

Salle A
Inscription : 30 €
Mensualité : 15 € / mois
Salle B
Pas d'inscription
Mensualité : 25 € / mois
1. Écrire les fonctions \(A(x)\) et \(B(x)\) donnant le coût total (en €) en fonction du nombre de mois \(x\).
2. Identifier \(a\) et \(b\) pour chaque fonction. Que représentent-ils concrètement ?
3. Tracer les deux droites sur un même repère.
Échelle : 1 carreau = 1 mois en abscisse, 1 carreau = 10 € en ordonnée — prévoir \(x\) de \(0\) à \(8\) et \(y\) de \(0\) à \(200\).
4. À partir de combien de mois la salle A devient-elle moins chère que la salle B ? (méthode des flèches)
5. Un élève a un budget de 130 €. Combien de mois peut-il s'abonner à la salle A ? À la salle B ?

💡 Indices

"Salle A moins chère" signifie \(A(x) < B(x)\), mais pour trouver le seuil exact, résoudre d'abord l'égalité \(A(x) = B(x)\).
Pour la salle A avec 130 € : résoudre \(15x + 30 \leqslant 130\). Pour la salle B : résoudre \(25x \leqslant 130\). Le résultat doit être un nombre entier de mois.
1. Expressions
\(A(x) = 15x + 30\) et \(B(x) = 25x\)
2. Identifier a et b

Salle A : \(a = 15\) (mensualité, le coût augmente de 15 € par mois) ; \(b = 30\) (frais d'inscription, payés une seule fois dès le départ).
Salle B : \(a = 25\) (mensualité plus élevée) ; \(b = 0\) (pas d'inscription — c'est une fonction linéaire, la droite passe par l'origine).

3. Tableau de valeurs pour tracer
\(x\) (mois) 0 2 4 6 8
A(x) € 30 60 90 120 150
B(x) € 0 50 100 150 200
mois coût (€) O 1 2 3 4 5 6 7 8 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 A B x=3

1 carreau = 1 mois · 1 carreau = 10 €

4. À partir de quand A est moins chère ?

On résout l'inéquation \(A(x) < B(x)\), soit \(15x + 30 < 25x\) :

\(15x + 30 < \) \(25x\)
\(-15x\)
\(-15x\)
\(30\) \(< 10x\)
\(\div 10\)
\(\div 10\)
\(3 < x\)
La salle A est moins chère pour \(x > 3\), c'est-à-dire à partir de 4 mois. On peut le vérifier sur le graphique : la droite A passe en dessous de la droite B après le point d'intersection en \(x = 3\).
5. Budget de 130 €

Salle A :

\(15x\) \(+ 30\) \(\leqslant 130\)
\(-30\)
\(-30\)
\(15\)\(x \leqslant 100\)
\(\div 15\)
\(\div 15\)
\(x \leqslant 6{,}6\ldots\)
Salle A : au maximum 6 mois (on arrondit à l'entier inférieur). \(A(6) = 120\) € ≤ 130 € ✓ ; \(A(7) = 135\) € > 130 € ✗

Salle B :

\(25\)\(x \leqslant 130\)
\(\div 25\)
\(\div 25\)
\(x \leqslant 5{,}2\)
Salle B : au maximum 5 mois. \(B(5) = 125\) € ≤ 130 € ✓ ; \(B(6) = 150\) € > 130 € ✗

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