Chapitre 1 · Fonctions affines · 1ère

Sens de variation
d'une fonction affine

Le signe de a suffit — pas besoin de calculer b, ni de tracer la droite

a > 0 ↗ a < 0 ↘ a = 0 →

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① La propriété
Soit \(f(x) = ax+b\) une fonction affine :
a > 0↗   \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\)
a < 0↘   \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\)
a = 0→   \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\)
② Pourquoi ça marche
\(a\) est le taux d'accroissement de \(f\) : la variation de \(f(x)\) quand \(x\) augmente d'une unité. Si ce taux est positif, chaque pas vers la droite fait monter \(f(x)\) ; s'il est négatif, chaque pas la fait descendre.
⚠ Le sens de variation ne dépend que du signe de \(a\) — jamais de \(b\), et on n'a pas besoin de tracer la courbe.
🔁 Cette feuille réactive les acquis de 2nde : la définition d'une fonction affine (\(f(x)=ax+b\)) et la formule \(a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\) pour retrouver \(a\) à partir de deux points.
Corrections vues :
0 / 6

Exercice 1 / 6

Identifier le sens de variation rappel de la propriété
✓ Vu

Pour chaque fonction, indiquer si elle est croissante, décroissante ou constante, en justifiant par le signe de \(a\).

a) \(f(x) = 3x+5\)
b) \(g(x) = -2x+1\)
c) \(h(x) = 7\)
d) \(k(x) = -\dfrac{x}{2}+4\)
e) \(m(x) = x\)

💡 Indices

Réécris chaque fonction sous la forme \(ax+b\) pour repérer clairement le coefficient \(a\) : \(k(x)=-\tfrac12x+4\) et \(m(x)=1\times x+0\).
a) f(x) = 3x+5

\(a=3>0\) : \(f\) est croissante ↗

b) g(x) = -2x+1

\(a=-2<0\) : \(g\) est décroissante ↘

c) h(x) = 7

\(h\) est une fonction constante, donc \(a=0\) : \(h\) est constante →

d) k(x) = -x/2+4

\(a=-\dfrac12<0\) : \(k\) est décroissante ↘

e) m(x) = x

\(m(x)=1\times x+0\), donc \(a=1>0\) : \(m\) est croissante ↗

Exercice 2 / 6

Calculer a à partir de deux points rappel 2nde
✓ Vu

On rappelle la formule \(a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\).

a) Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(1)=4\) et \(f(4)=13\). Calculer \(a\), sans calculer \(b\).
b) En déduire le sens de variation de \(f\).
c) Une fonction affine \(g\) vérifie \(g(-3)=10\) et \(g(2)=-5\). Calculer \(a\).
d) En déduire le sens de variation de \(g\).

💡 Indices

Comme dans la leçon : le sens de variation ne dépend que du signe de \(a\), inutile de chercher \(b\).
a) Calcul de a (f)
Calcul\(a = \dfrac{13-4}{4-1} = \dfrac{9}{3} = 3\)
b) Sens de variation de f

\(a=3>0\) : \(f\) est croissante.

c) Calcul de a (g)
Calcul\(a = \dfrac{-5-10}{2-(-3)} = \dfrac{-15}{5} = -3\)
d) Sens de variation de g

\(a=-3<0\) : \(g\) est décroissante.

Exercice 3 / 6

Cas particuliers rappel définitions
✓ Vu
a) \(f(x)=6x\) est-elle une fonction affine particulière ? Laquelle ? Quel est son sens de variation ?
b) \(g(x)=-9\) est-elle une fonction affine particulière ? Laquelle ? Quel est son sens de variation ?
c) Une fonction affine \(h\) vérifie \(h(2)=5\) et \(h(7)=5\). Que peut-on en déduire sur \(a\) et sur le sens de variation de \(h\), sans calcul supplémentaire ?

💡 Indices

Applique quand même la formule \(a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\) : que vaut le numérateur ici ?
a) f(x) = 6x

Ici \(b=0\) : \(f\) est une fonction linéaire. Comme \(a=6>0\) : \(f\) est croissante.

b) g(x) = -9

Ici \(a=0\) : \(g\) est une fonction constante. Son sens de variation est : \(g\) est constante.

c) h(2) = h(7) = 5
Calcul\(a = \dfrac{5-5}{7-2} = \dfrac{0}{5} = 0\)

Comme \(a=0\), on en déduit que \(h\) est constante — ce qui est cohérent, puisque \(f\) prend la même valeur en deux points différents.

Exercice 4 / 6

Vrai / Faux rappel de la propriété
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) Une fonction affine de coefficient directeur \(a=-5\) est croissante.
b) Le sens de variation d'une fonction affine dépend uniquement du signe de \(a\).
c) Pour connaître le sens de variation d'une fonction affine, il est indispensable de calculer \(b\).
d) Une fonction constante n'est ni croissante ni décroissante.
e) Si \(a>0\), alors quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi.

💡 Indices

Repense à l'exercice 2 : on a trouvé le sens de variation sans jamais calculer \(b\).
a)

✗ FAUX — \(a=-5<0\), donc cette fonction est décroissante, pas croissante.

b)

✓ VRAI — c'est exactement la propriété du rappel : seul le signe de \(a\) détermine le sens de variation.

c)

✗ FAUX — comme illustré à l'exercice 2, on peut conclure sur le sens de variation en connaissant uniquement \(a\), sans jamais calculer \(b\).

d)

✓ VRAI — une fonction constante (\(a=0\)) ne croît ni ne décroît : elle garde toujours la même valeur.

e)

✓ VRAI — c'est la définition même d'une fonction croissante, cohérente avec l'interprétation de \(a\) comme taux d'accroissement.

Exercice 5 / 6

Comparer sans calculer Application
✓ Vu

Dans chaque cas, comparer les deux valeurs sans les calculer, en utilisant uniquement le sens de variation.

a) Soit \(f(x)=3x-7\). Comparer \(f(2)\) et \(f(5)\).
b) Soit \(g(x)=-4x+1\). Comparer \(g(1)\) et \(g(6)\).
c) Une fonction affine \(h\) est décroissante. Comparer \(h(-2)\) et \(h(0)\).
d) Une fonction affine \(k\) vérifie \(k(0)=5\) et est croissante. Comparer \(k(-3)\) et \(k(0)\).

💡 Indices

Une fonction croissante conserve l'ordre des \(x\) ; une fonction décroissante l'inverse.
a) f(2) et f(5)

\(a=3>0\) : \(f\) est croissante. Comme \(2<5\) :

\(f(2) < f(5)\)
b) g(1) et g(6)

\(a=-4<0\) : \(g\) est décroissante. Comme \(1<6\), les valeurs sont dans l'ordre inverse :

\(g(1) > g(6)\)
c) h(-2) et h(0)

\(h\) est décroissante et \(-2<0\), donc les valeurs sont dans l'ordre inverse des \(x\) :

\(h(-2) > h(0)\)
d) k(-3) et k(0)

\(k\) est croissante et \(-3<0\), donc :

\(k(-3) < k(0)\), c'est-à-dire \(k(-3)<5\)

Exercice 6 / 6

Problème rappel 2nde et exercices précédents
✓ Vu

Le prix d'un trajet en taxi est modélisé par une fonction affine \(f(x)=ax+b\), où \(x\) est la distance parcourue en km et \(f(x)\) le prix en euros. On sait que pour 3 km, le prix est de 9 €, et que pour 10 km, le prix est de 23 €.

1) Calculer le coefficient directeur \(a\), sans calculer \(b\).
2) Interpréter concrètement la valeur de \(a\) dans ce contexte.
3) \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Est-ce cohérent avec le contexte ? Justifier.
4) Sans calculer \(f(0)\), peut-on affirmer qu'il est plus petit que \(f(3)=9\) € ? Justifier à l'aide du sens de variation.
5) Déterminer complètement l'expression de \(f(x)\) en calculant \(b\), puis calculer le prix d'un trajet de 15 km.

💡 Indices

Injecte le point \((3\,;\,9)\) dans \(f(x)=ax+b\) avec la valeur de \(a\) trouvée en question 1, comme dans la leçon.
1) Calcul de a
Calcul\(a = \dfrac{23-9}{10-3} = \dfrac{14}{7} = 2\)
2) Interprétation

\(a=2\) signifie que chaque kilomètre supplémentaire parcouru augmente le prix de 2 €.

3) Sens de variation

\(a=2>0\) : \(f\) est croissante. C'est cohérent avec le contexte : plus la distance parcourue est grande, plus le prix du trajet est élevé.

4) Comparaison de f(0) et f(3)

✓ Oui — \(f\) est croissante et \(0<3\), donc \(f(0)<f(3)=9\) €, sans qu'il soit nécessaire de calculer \(f(0)\).

5) Expression complète de f et calcul du prix
Étape 1\(f(x) = 2x+b\)
Étape 2\(9 = 2\times3+b \;\Rightarrow\; b = 3\)
\(f(x) = 2x+3\)
Calcul\(f(15) = 2\times15+3 = 33\)

Un trajet de 15 km coûte donc 33 €.

🏠