Le point de départ de l'année : on consolide à fond les outils de 2nde, parce qu'on va les retrouver, sous une autre forme, dans les deux prochains chapitres.
Tu connais les fonctions affines depuis la 3ème, et tu as appris l'an dernier à retrouver leur formule à partir de deux points. Ce chapitre est un rappel condensé de tout ça — mais attention, ce n'est pas une simple révision gratuite : ces outils vont resservir très concrètement dès les deux prochains chapitres.
Le coefficient directeur \(a\), c'est une vitesse d'évolution constante. Dans le chapitre suivant, tu retrouveras exactement la même idée, version « pas à pas », avec les suites arithmétiques. Et plus tard dans l'année, la formule pour calculer \(a\) à partir de deux points sera réutilisée telle quelle pour ajuster un nuage de points en statistiques. Autant avoir les fondations béton dès maintenant.
Pour une fonction affine \(f(x) = ax + b\) :
La pente, le taux d'accroissement de la fonction : de combien \(f(x)\) monte (ou descend) quand \(x\) avance d'une unité.
Le point de départ, la valeur de \(f(0)\). L'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Une fonction affine \(f\) est une fonction qui, à un nombre \(x\), fait correspondre le nombre \(ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés.
\(f(x) = ax\) est une fonction linéaire : proportionnalité pure, la droite passe par l'origine.
\(f(x) = b\) est une fonction constante : droite horizontale, aucune pente.
La représentation graphique d'une fonction affine \(f : x \mapsto ax + b\) est une droite d'équation \(y = ax + b\). Chaque fois que \(x\) avance d'une unité, \(f(x)\) varie toujours de la même quantité \(a\) — c'est cette régularité qui dessine une droite.
Rappel de la méthode de l'escalier : on place \((0\,;\,b)\), puis on avance en abscisse et on monte (ou descend) de \(a\). Et si on avance de plus d'un carreau ? Regarde, c'est toujours proportionnel :
Le point clé de 2nde qu'on va réutiliser toute l'année : et si on ne connaît que deux images de \(f\), sans sa formule ?
Puis on injecte un point connu dans \(f(x) = ax + b\) pour trouver \(b\).
Une fonction affine \(g\) vérifie \(g(-1) = 4\) et \(g(3) = -8\). Détermine l'expression complète de \(g(x)\).
Étape 1 — Calcul de \(a\)
Étape 2 — Calcul de \(b\)
Conclusion
Voici la seule vraie nouveauté de ce chapitre : on formalise cette année le lien entre le signe de \(a\) et la façon dont la fonction évolue.
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine.
\(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\)
\(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\)
Rappelle-toi : \(a\) est le taux d'accroissement de \(f\), c'est-à-dire la variation de \(f(x)\) quand \(x\) augmente d'une unité. Si ce taux est positif, chaque pas vers la droite fait monter \(f(x)\) : la fonction croît. S'il est négatif, chaque pas vers la droite fait descendre \(f(x)\) : elle décroît. C'est exactement la même logique que la pente d'une route : positive, ça monte ; négative, ça descend.
Une fonction affine \(h\) vérifie \(h(-2) = 9\) et \(h(3) = -1\). Sans calculer \(b\), donne le sens de variation de \(h\).
Ce chapitre n'est pas une fin en soi : c'est la boîte à outils que tu vas rouvrir très vite.
Même idée de « taux d'accroissement constant », mais version pas à pas (discret) plutôt que continue. Le coefficient directeur \(a\) deviendra la raison \(r\) de la suite. Le sens de variation que tu viens d'apprendre se retrouvera à l'identique : raison positive → suite croissante, raison négative → suite décroissante.
Quand on cherchera à ajuster une droite à un nuage de points, la formule \(a = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) que tu viens de manipuler sera réutilisée telle quelle pour estimer la tendance d'une série de données réelles.