Chapitre 2 · Suites arithmétiques · 1^ère

Reconnaître &
calculer

Feuille d'exercices n°1 — premiers pas dans le chapitre

uₙ₊₁ = uₙ + r Écart constant Reconnaissance / Calcul

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Reconnaître une suite arithmétique

Une suite est arithmétique quand on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité \(r\) pour passer d'un terme au suivant — l'écart entre deux termes consécutifs doit rester constant.

\(u_{n+1} = u_n + r\)

⚠ Si l'écart change d'un terme à l'autre, la suite n'est pas arithmétique.

② Calculer de proche en proche

Connaissant \(u_0\) et \(r\), on retrouve \(u_1\), puis \(u_2\), etc. en ajoutant \(r\) une étape après l'autre.

\(u_0 \xrightarrow{+r} u_1 \xrightarrow{+r} u_2 \xrightarrow{+r} u_3 \; \dots\)

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Reconnaissance Calcul d'écarts

✓ Vu

Pour chaque suite donnée par ses premiers termes, dire si elle est arithmétique. Si oui, préciser sa raison \(r\).

a) 3 ; 7 ; 11 ; 15

b) 5 ; 8 ; 10 ; 13

c) 20 ; 17 ; 14 ; 11

d) 1 ; 2 ; 4 ; 8

e) 6 ; 6 ; 6 ; 6

💡 Indices

Calcule chaque écart (2^e terme − 1^er terme, puis 3^e − 2^e, etc.) et compare-les.

Une raison peut très bien valoir 0 : la suite est alors constante, mais reste arithmétique !

a) 3 ; 7 ; 11 ; 15

\(7-3=4\), \(11-7=4\), \(15-11=4\) : l'écart est toujours \(4\).

✓ Arithmétique, \(r = 4\)

b) 5 ; 8 ; 10 ; 13

\(8-5=3\) mais \(10-8=2\) : l'écart n'est pas constant.

✗ Pas arithmétique

c) 20 ; 17 ; 14 ; 11

\(17-20=-3\), \(14-17=-3\), \(11-14=-3\) : l'écart est toujours \(-3\).

✓ Arithmétique, \(r = -3\)

d) 1 ; 2 ; 4 ; 8

\(2-1=1\) mais \(4-2=2\) : l'écart n'est pas constant (ici on multiplie par 2 à chaque fois — ce sera le sujet du prochain chapitre !).

✗ Pas arithmétique

e) 6 ; 6 ; 6 ; 6

\(6-6=0\) à chaque fois : l'écart est constant, égal à \(0\).

✓ Arithmétique, \(r = 0\) (suite constante)

Exercice 2 / 6

Calcul direct Tableau de valeurs

✓ Vu

Compléter chaque tableau de valeurs, en ajoutant la raison \(r\) à chaque étape.

a) \((u_n)\) arithmétique de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(r = 5\).

\(n\)	0	1	2	3	4
\(u_n\)	2	?	?	?	?

b) \((v_n)\) arithmétique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(r = -3\).

\(n\)	0	1	2	3	4
\(v_n\)	10	?	?	?	?

💡 Indices

Chaque case s'obtient en ajoutant \(r\) à la case précédente : \(u_{n+1} = u_n + r\).

Pour b), \(r=-3\) : à chaque étape, on retranche 3 (les valeurs peuvent devenir négatives, ce n'est pas un problème).

a) u₀ = 2, r = 5

\(n\)	0	1	2	3	4
\(u_n\)	2	7	12	17	22

On ajoute \(5\) à chaque étape : \(2 \to 7 \to 12 \to 17 \to 22\).

b) v₀ = 10, r = −3

\(n\)	0	1	2	3	4
\(v_n\)	10	7	4	1	−2

On retranche \(3\) à chaque étape : \(10 \to 7 \to 4 \to 1 \to -2\).

Exercice 3 / 6

Contexte concret Modélisation simple

✓ Vu

Pour chaque situation, préciser le premier terme \(u_0\) et la raison \(r\) de la suite arithmétique associée, puis calculer le terme demandé.

a) Une bibliothèque possède 200 livres. Chaque mois, elle achète 15 nouveaux livres. On note \(u_n\) le nombre de livres au bout de \(n\) mois. Calculer \(u_3\).

b) Un plongeur atteint 5 m de profondeur au bout de la 1^ère minute, puis descend de 2 m supplémentaires chaque minute. On note \(u_n\) sa profondeur (en m) \(n\) minutes après la 1^ère minute. Calculer \(u_4\).

c) Une bougie mesure 18 cm et perd 1,5 cm de hauteur par heure en brûlant. On note \(u_n\) sa hauteur (en cm) au bout de \(n\) heures. Calculer \(u_4\).

💡 Indices

\(u_0\) est la valeur de départ (avant toute évolution), \(r\) est la quantité ajoutée (positive) ou retranchée (négative) à chaque étape.

Une fois \(u_0\) et \(r\) identifiés, avance de proche en proche jusqu'au rang demandé.

a) Bibliothèque

\(u_0 = 200\), \(r = 15\).

Calcul\(200 \to 215 \to 230 \to 245\)

\(u_3 = 245\) livres

b) Plongeur

\(u_0 = 5\), \(r = 2\).

Calcul\(5 \to 7 \to 9 \to 11 \to 13\)

\(u_4 = 13\) m

c) Bougie

\(u_0 = 18\), \(r = -1{,}5\).

Calcul\(18 \to 16{,}5 \to 15 \to 13{,}5 \to 12\)

\(u_4 = 12\) cm

Exercice 4 / 6

Calcul direct Raison décimale ou négative

✓ Vu

Calculer les termes demandés, de proche en proche.

a) \((u_n)\) arithmétique, \(u_0 = 4\) et \(r = 1{,}5\). Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

b) \((v_n)\) arithmétique, \(v_0 = -3\) et \(r = -2\). Calculer \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\) et \(v_4\).

💡 Indices

Ajoute \(1{,}5\) à chaque étape ; le résultat alterne entre un nombre entier et un nombre avec « ,5 ».

\(v_0 = -3\) et \(r = -2\) : chaque nouveau terme est encore plus « en dessous de 0 » que le précédent.

a) u₀ = 4, r = 1,5

Calcul\(4 \to 5{,}5 \to 7 \to 8{,}5\)

\(u_1 = 5{,}5\), \(u_2 = 7\), \(u_3 = 8{,}5\)

b) v₀ = −3, r = −2

Calcul\(-3 \to -5 \to -7 \to -9 \to -11\)

\(v_1 = -5\), \(v_2 = -7\), \(v_3 = -9\), \(v_4 = -11\)

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) La suite 4 ; 8 ; 12 ; 16 est arithmétique de raison 4.

b) Si une suite est croissante, alors elle est nécessairement arithmétique.

c) La suite 1 ; 3 ; 9 ; 27 est arithmétique.

d) Une suite arithmétique de raison \(r = 0\) est constante.

e) Pour être sûr qu'une suite de plusieurs termes est arithmétique, il suffit de vérifier que les deux premiers écarts sont égaux.

💡 Indices

Cherche un contre-exemple : une suite qui augmente, mais pas toujours de la même quantité.

Deux écarts égaux, est-ce suffisant si la suite compte 4 termes ou plus ? Regarde l'exercice 1.

✓ VRAI — \(8-4=4\), \(12-8=4\), \(16-12=4\) : l'écart est bien constant, égal à \(4\).

✗ FAUX — une suite peut être croissante sans que l'écart entre ses termes soit constant. Par exemple 1 ; 2 ; 4 ; 8 est croissante, mais pas arithmétique (l'écart passe de 1 à 2 à 4).

✗ FAUX — \(3-1=2\) mais \(9-3=6\) : l'écart n'est pas constant. Ici, on multiplie par 3 à chaque fois (suite géométrique).

✓ VRAI — si \(r=0\), on ajoute \(0\) à chaque étape : tous les termes sont donc égaux à \(u_0\).

✗ FAUX — deux écarts égaux ne suffisent pas dès qu'il y a plus de 3 termes : il faut vérifier tous les écarts disponibles. Une suite peut très bien coïncider avec une suite arithmétique sur ses deux premiers écarts, puis « décrocher » ensuite.

Exercice 6 / 6

Problème Synthèse légère

✓ Vu

Une salle de spectacle compte plusieurs rangées de fauteuils. La 1^ère rangée (rang 0) compte 24 fauteuils, et chaque rangée suivante compte 3 fauteuils de plus que la précédente. On note \(u_n\) le nombre de fauteuils de la rangée de rang \(n\).

1) Justifier que \((u_n)\) est une suite arithmétique, et donner \(u_0\) et \(r\).

2) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

3) Un technicien affirme que la 2^e rangée (donc de rang 1) compte 26 fauteuils. A-t-il raison ?

4) Si la raison avait été négative au lieu d'être positive, qu'aurait-on pu dire du nombre de fauteuils au fil des rangées ?

💡 Indices

On ajoute toujours la même quantité (3 fauteuils) d'une rangée à l'autre : reconnais-tu la définition d'une suite arithmétique ?

Calcule toi-même \(u_1\) avec la formule \(u_1 = u_0 + r\), puis compare avec l'affirmation du technicien.

1) Nature de la suite

D'une rangée à la suivante, on ajoute toujours \(3\) fauteuils : l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

\((u_n)\) est arithmétique, avec \(u_0 = 24\) et \(r = 3\)

2) Calcul de u₁, u₂, u₃

Calcul\(24 \to 27 \to 30 \to 33\)

\(u_1 = 27\), \(u_2 = 30\), \(u_3 = 33\)

3) Affirmation du technicien

On a calculé \(u_1 = 27\), et non 26.

✗ Il a tort — la 2^e rangée compte 27 fauteuils, pas 26.

4) Raison négative

Si \(r\) avait été négatif, on aurait retranché une quantité constante à chaque rangée : le nombre de fauteuils aurait alors diminué rangée après rangée, au lieu d'augmenter.

🔭 On y reviendra plus formellement dans une prochaine feuille, avec le sens de variation d'une suite arithmétique.