Chapitre 2 · Suites arithmétiques · 1ère

Le terme
général

Feuille d'exercices n°2 — sauter directement au rang voulu

uₙ = u₀ + n×r Problème de seuil Calcul direct

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① La formule du terme général
Plutôt que d'ajouter \(r\) étape par étape jusqu'au rang voulu, on peut sauter directement dessus.
\(u_n = u_0 + n \times r\)
⚠ Cette écriture suppose que \(u_0\) est bien le premier terme, au rang 0.
② Résoudre un problème de seuil
La formule permet aussi de répondre à des questions du type « à partir de quel rang \(u_n\) dépasse une certaine valeur ? », en résolvant une inéquation.
\(u_0 + n\times r > \text{seuil} \;\Longrightarrow\; n > \dots\)
🔁 Cette feuille réutilise la reconnaissance d'une suite arithmétique et le calcul de proche en proche vus en feuille 1 — repère les exercices marqués rappel feuille 1.
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Exercice 1 / 6

Calcul direct uₙ = u₀ + n×r
✓ Vu

Pour chaque suite arithmétique, calculer directement le terme demandé grâce à la formule \(u_n = u_0 + n\times r\) (sans passer par tous les termes intermédiaires).

a) \(u_0 = 6\), \(r = 4\). Calculer \(u_5\).
b) \(u_0 = -10\), \(r = 7\). Calculer \(u_8\).
c) \(u_0 = 100\), \(r = -6\). Calculer \(u_{12}\).
d) \(u_0 = 3\), \(r = 2{,}5\). Calculer \(u_{20}\).

💡 Indices

Remplace directement \(u_0\), \(n\) et \(r\) dans \(u_n = u_0 + n\times r\) : pas besoin de calculer les termes avant !
On calcule d'abord \(n \times r\), puis on ajoute \(u_0\).
a) u₀ = 6, r = 4, n = 5
Calcul\(u_5 = 6 + 5\times4 = 6+20\)
\(u_5 = 26\)
b) u₀ = −10, r = 7, n = 8
Calcul\(u_8 = -10 + 8\times7 = -10+56\)
\(u_8 = 46\)
c) u₀ = 100, r = −6, n = 12
Calcul\(u_{12} = 100 + 12\times(-6) = 100-72\)
\(u_{12} = 28\)
d) u₀ = 3, r = 2,5, n = 20
Calcul\(u_{20} = 3 + 20\times2{,}5 = 3+50\)
\(u_{20} = 53\)

Exercice 2 / 6

Reconnaissance + calcul direct rappel feuille 1
✓ Vu

Pour chaque suite donnée par ses premiers termes : vérifier qu'elle est bien arithmétique, donner \(u_0\) et \(r\), puis calculer le terme demandé grâce à la formule du terme général.

a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ... Calculer \(u_{15}\).
b) 50 ; 44 ; 38 ; 32 ; ... Calculer \(u_{10}\).
c) 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; ... Calculer \(u_{100}\).
d) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ... Peut-on calculer \(u_{20}\) avec la formule du terme général ?

💡 Indices

Comme en feuille 1 : calcule les écarts entre termes consécutifs avant toute chose.
La formule \(u_n = u_0+n\times r\) n'a de sens que pour une suite arithmétique. Vérifie d'abord les écarts !
a) 2 ; 5 ; 8 ; 11

Écarts constants égaux à 3 : arithmétique, \(u_0=2\), \(r=3\).

Calcul\(u_{15} = 2 + 15\times3 = 2+45\)
\(u_{15} = 47\)
b) 50 ; 44 ; 38 ; 32

Écarts constants égaux à \(-6\) : arithmétique, \(u_0=50\), \(r=-6\).

Calcul\(u_{10} = 50 + 10\times(-6) = 50-60\)
\(u_{10} = -10\)
c) 7 ; 7 ; 7 ; 7

Écarts constants égaux à 0 : arithmétique, \(u_0=7\), \(r=0\).

Calcul\(u_{100} = 7 + 100\times0\)
\(u_{100} = 7\)
d) 1 ; 4 ; 9 ; 16

\(4-1=3\) mais \(9-4=5\) : l'écart n'est pas constant, cette suite n'est pas arithmétique (ce sont les carrés des entiers).

✗ On ne peut pas utiliser la formule — elle n'est valable que pour une suite arithmétique.

Exercice 3 / 6

Problème de seuil Résolution d'inéquation
✓ Vu

Pour chaque suite arithmétique, déterminer à partir de quel rang \(n\) la condition indiquée est vérifiée, en résolvant une inéquation.

a) \(u_0 = 5\), \(r = 3\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n > 50\) ?
b) \(u_0 = 200\), \(r = -8\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n < 50\) ?
c) \(u_0 = 10\), \(r = 2{,}5\). À partir de quel rang a-t-on \(u_n \geqslant 100\) ?

💡 Indices

Remplace \(u_n\) par \(u_0 + n\times r\) dans l'inégalité, puis résous-la comme une inéquation classique du 1er degré.
\(n\) désigne un rang, donc un nombre entier : si tu trouves par exemple \(n > 18{,}75\), le plus petit rang qui convient est \(n = 19\).
a) u₀ = 5, r = 3, cherche uₙ > 50
Calcul\(5 + 3n > 50 \;\Longleftrightarrow\; 3n > 45 \;\Longleftrightarrow\; n > 15\)
À partir du rang \(n = 16\)
b) u₀ = 200, r = −8, cherche uₙ < 50
Calcul\(200 - 8n < 50 \;\Longleftrightarrow\; -8n < -150 \;\Longleftrightarrow\; n > 18{,}75\)
À partir du rang \(n = 19\)

💡 On divise par un nombre négatif (\(-8\)) : le sens de l'inégalité s'inverse.

c) u₀ = 10, r = 2,5, cherche uₙ ⩾ 100
Calcul\(10 + 2{,}5n \geqslant 100 \;\Longleftrightarrow\; 2{,}5n \geqslant 90 \;\Longleftrightarrow\; n \geqslant 36\)
À partir du rang \(n = 36\)

Exercice 4 / 6

Contexte concret rappel feuille 1
✓ Vu

Pour chaque situation, identifier \(u_0\) et \(r\), puis calculer directement le terme demandé — sans calculer tous les termes intermédiaires.

a) Un abonnement coûte 8 € le premier mois, puis augmente de 1 € chaque mois suivant. On note \(u_n\) le prix au bout de \(n\) mois après le premier. Calculer le prix au bout du 24e mois (\(u_{23}\)).
b) Une entreprise compte 850 employés et en perd 12 chaque année. On note \(u_n\) l'effectif \(n\) années plus tard. Calculer l'effectif dans 15 ans (\(u_{15}\)).
c) Une salle de cinéma a 18 fauteuils au premier rang, et 2 fauteuils de plus à chaque rangée suivante. On note \(u_n\) le nombre de fauteuils de la rangée de rang \(n\). Calculer le nombre de fauteuils de la 30e rangée (\(u_{29}\)).

💡 Indices

Comme en feuille 1 : \(u_0\) est la valeur de départ, \(r\) est ce qui varie à chaque étape (positif ou négatif).
Le 1er mois (ou 1ère rangée) correspond au rang 0 : le 24e mois correspond donc au rang 23.
a) Abonnement

\(u_0=8\), \(r=1\).

Calcul\(u_{23} = 8 + 23\times1\)
\(u_{23} = 31\) €
b) Employés

\(u_0=850\), \(r=-12\).

Calcul\(u_{15} = 850 + 15\times(-12) = 850-180\)
\(u_{15} = 670\) employés
c) Cinéma

\(u_0=18\), \(r=2\).

Calcul\(u_{29} = 18 + 29\times2 = 18+58\)
\(u_{29} = 76\) fauteuils

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) La formule \(u_n = u_0 + n\times r\) n'est valable que si \(u_0\) est bien le terme de rang 0.
b) Pour calculer \(u_{20}\), il suffit de remplacer \(n\) par 20 dans \(u_n = u_0 + n\times r\).
c) Pour résoudre un problème de seuil du type « à partir de quel rang \(u_n > 50\) ? », il faut résoudre une inéquation.
d) Si \(r\) est positif, alors plus \(n\) augmente, plus \(u_n\) augmente.
e) Si \(r\) est positif, alors \(u_n = u_0 - n\times r\).

💡 Indices

C'est le lien entre le signe de \(r\) et le sens de variation de la suite (on y reviendra en détail en feuille 4).
Repense à la définition : on ajoute toujours \(r\), quel que soit son signe.
a)

✓ VRAI — la formule \(u_n=u_0+n\times r\) suppose que \(u_0\) est bien le tout premier terme de la suite (rang 0).

b)

✓ VRAI — c'est exactement l'intérêt de la formule : on remplace \(n\) par le rang voulu, ici 20.

c)

✓ VRAI — on remplace \(u_n\) par son expression, puis on résout l'inéquation obtenue (voir exercice 3).

d)

✓ VRAI — si \(r>0\), on ajoute une quantité positive à chaque étape : la suite est croissante, donc \(u_n\) augmente quand \(n\) augmente.

e)

✗ FAUX — on ajoute toujours \(r\), qu'il soit positif ou négatif : la formule correcte est \(u_n = u_0 + n\times r\). Le signe de \(r\) suffit à traduire une hausse ou une baisse, pas besoin de changer le signe de l'opération.

Exercice 6 / 6

Problème rappel feuille 1
✓ Vu

Une suite \((u_n)\) est arithmétique, avec \(u_0 = -5\) et \(u_1 = -1\).

1) Calculer la raison \(r\) de cette suite.
2) Vérifier, en calculant de proche en proche, que \(u_3 = 7\).
3) Calculer directement \(u_{30}\) grâce à la formule du terme général.
4) Un élève affirme : « Je préfère toujours calculer de proche en proche, c'est plus sûr. » Que penses-tu de cette méthode pour calculer \(u_{30}\) ?

💡 Indices

La raison est l'écart entre deux termes consécutifs : \(r = u_1 - u_0\).
Repars de \(u_1=-1\) et ajoute \(r\) deux fois pour atteindre \(u_3\).
1) Calcul de r
Calcul\(r = u_1 - u_0 = -1-(-5)\)
\(r = 4\)
2) Vérification de proche en proche
Calcul\(u_1=-1 \to u_2 = -1+4=3 \to u_3 = 3+4=7\)
On retrouve bien \(u_3 = 7\) ✓
3) Calcul direct de u₃₀
Calcul\(u_{30} = u_0 + 30\times r = -5 + 30\times4 = -5+120\)
\(u_{30} = 115\)
4) Avis sur la méthode de l'élève

Calculer de proche en proche jusqu'à \(u_{30}\) demanderait 30 additions successives : c'est possible, mais long et source d'erreurs de calcul. La formule du terme général donne le même résultat en une seule étape — c'est justement tout l'intérêt de cette feuille !

💡 Les deux méthodes donnent le même résultat quand elles sont bien appliquées : la formule directe n'est pas « plus juste », elle est juste plus rapide.

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