Chapitre 2 · Suites arithmétiques · 1ère

Retrouver la
raison

Feuille d'exercices n°3 — remonter à r et u₀ à partir de la formule du terme général

r = (uₙ−u₀)/n u₀ = uₙ − n×r Calcul inverse

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Retrouver la raison
Si l'on connaît \(u_0\) et un terme \(u_n\) à un rang donné, on peut retrouver \(r\) en résolvant l'équation \(u_n = u_0 + n\times r\) : c'est la formule du terme général de la feuille 2, utilisée « à l'envers ».
\(r = \dfrac{u_n - u_0}{n}\)
⚠ On divise par le rang \(n\), jamais par le terme lui-même.
② Retrouver u₀
De la même manière, si l'on connaît \(r\) et un terme \(u_n\), on retrouve \(u_0\) en résolvant la même équation.
\(u_0 = u_n - n \times r\)
🔁 Cette feuille réutilise le calcul de proche en proche (feuille 1) et le terme général (feuille 2) — repère les exercices marqués rappel.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Calcul inverse Rangs consécutifs
✓ Vu

Pour chaque suite arithmétique, deux termes consécutifs sont donnés. Calculer la raison \(r\).

a) \(u_3 = 17\), \(u_4 = 23\).
b) \(u_{10} = -5\), \(u_{11} = -9\).
c) \(u_0 = 6\), \(u_1 = 6\).

💡 Indices

Pour deux rangs consécutifs, \(r\) est simplement la différence entre le second et le premier terme : \(r = u_{p+1} - u_p\).
a) u₃ = 17, u₄ = 23
Calcul\(r = u_4 - u_3 = 23-17\)
\(r = 6\)
b) u₁₀ = −5, u₁₁ = −9
Calcul\(r = u_{11} - u_{10} = -9-(-5)\)
\(r = -4\)
c) u₀ = 6, u₁ = 6
Calcul\(r = u_1 - u_0 = 6-6\)
\(r = 0\) (suite constante)

Exercice 2 / 6

Calcul inverse r = (uₙ − u₀) / n
✓ Vu

Cette fois, le rang \(n\) est plus grand : utiliser la formule \(r = \dfrac{u_n-u_0}{n}\) pour retrouver la raison.

a) \(u_0 = 7\), \(u_7 = 35\).
b) \(u_0 = 100\), \(u_{10} = 50\).
c) \(u_0 = 3\), \(u_{20} = 63\).

💡 Indices

Au numérateur : la différence des termes (\(u_n-u_0\)). Au dénominateur : le rang \(n\). Ne mélange pas les deux !
Ici les termes diminuent (100 puis 50) : attends-toi à un \(r\) négatif.
a) u₀ = 7, u₇ = 35
Calcul\(r = \dfrac{35-7}{7} = \dfrac{28}{7}\)
\(r = 4\)
b) u₀ = 100, u₁₀ = 50
Calcul\(r = \dfrac{50-100}{10} = \dfrac{-50}{10}\)
\(r = -5\)
c) u₀ = 3, u₂₀ = 63
Calcul\(r = \dfrac{63-3}{20} = \dfrac{60}{20}\)
\(r = 3\)

Exercice 3 / 6

Retrouver u₀ rappel feuille 2
✓ Vu

Pour chaque suite, \(r\) et un terme \(u_n\) à un rang donné sont connus. Calculer \(u_0\) en résolvant l'équation \(u_n = u_0 + n\times r\), puis donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

a) \(r = 4\), \(u_3 = 17\).
b) \(r = -3\), \(u_6 = -2\).
c) \(r = 2{,}5\), \(u_4 = 13\).

💡 Indices

Résous l'équation \(u_n = u_0 + n\times r\) en isolant \(u_0\) : \(u_0 = u_n - n\times r\) (formule de la feuille 2, utilisée à l'envers).
Une fois \(u_0\) et \(r\) connus, l'expression est \(u_n = u_0 + n\times r\).
a) r = 4, u₃ = 17
u₀\(u_0 = 17 - 3\times4 = 17-12\)
\(u_0 = 5\)  →  \(u_n = 5 + 4n\)
b) r = −3, u₆ = −2
u₀\(u_0 = -2 - 6\times(-3) = -2+18\)
\(u_0 = 16\)  →  \(u_n = 16 - 3n\)
c) r = 2,5, u₄ = 13
u₀\(u_0 = 13 - 4\times2{,}5 = 13-10\)
\(u_0 = 3\)  →  \(u_n = 3 + 2{,}5n\)

Exercice 4 / 6

Contexte concret rappel feuille 2
✓ Vu

Une vidéo mise en ligne cumule un nombre de vues qui évolue de façon arithmétique semaine après semaine. On note \(u_n\) le nombre de vues \(n\) semaines après la mise en ligne. On sait qu'elle avait \(u_0 = 280\) vues à sa mise en ligne, et \(u_{15} = 730\) vues au bout de 15 semaines.

1) Calculer la raison \(r\) de cette suite.
2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Calculer le nombre de vues au bout de 8 semaines (\(u_8\)).
4) À partir de combien de semaines la vidéo dépassera-t-elle 1000 vues ?

💡 Indices

C'est exactement la méthode de l'exercice 2 : \(r=\dfrac{u_{15}-u_0}{15}\).
Résous l'inéquation \(280 + 30n > 1000\), comme en feuille 2 (exercice 3).
1) Calcul de r
Calcul\(r = \dfrac{730-280}{15} = \dfrac{450}{15}\)
\(r = 30\)
2) Expression de uₙ
\(u_n = 280 + 30n\)
3) Calcul de u₈
Calcul\(u_8 = 280 + 30\times8 = 280+240\)
\(u_8 = 520\) vues
4) Problème de seuil
Calcul\(280 + 30n > 1000 \;\Longleftrightarrow\; 30n > 720 \;\Longleftrightarrow\; n > 24\)
À partir de la 25e semaine

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) Pour calculer \(r\) à partir de \(u_0\) et \(u_n\), on calcule \(r = \dfrac{u_n - u_0}{n}\).
b) Pour retrouver \(u_0\) à partir de \(r\) et \(u_n\), on résout l'équation \(u_n = u_0 + n\times r\).
c) Si \(u_5 = 20\) et \(r = 3\), alors \(u_0 = 20 - 5\times3 = 5\).
d) \(u_0\) et un terme \(u_n\) suffisent toujours à retrouver entièrement la suite (\(u_0\) et \(r\)).
e) Pour calculer \(r\) à partir de \(u_0=8\) et \(u_6=26\), on peut écrire directement \(r = 26-8 = 18\).

💡 Indices

Refais toi-même le calcul de l'exercice 3 avec ces valeurs.
As-tu bien divisé par le rang (\(6\)) ?
a)

✓ VRAI — c'est la formule du terme général, résolue pour \(r\).

b)

✓ VRAI — c'est la même équation, résolue cette fois pour \(u_0\).

c)

✓ VRAI — \(u_0 = u_5 - 5\times r = 20 - 15 = 5\). Le calcul est correct.

d)

✓ VRAI — connaître \(u_0\) et n'importe quel autre terme \(u_n\) suffit à retrouver \(r\) (exercice 2), et donc toute la suite.

e)

✗ FAUX — il manque la division par le rang : \(r = \dfrac{26-8}{6} = \dfrac{18}{6} = 3\), et non 18.

Exercice 6 / 6

Problème rappel feuilles 1 & 2
✓ Vu

Une suite arithmétique \((u_n)\) vérifie \(u_0 = 2\) et \(u_{10} = 42\).

1) Déterminer la raison \(r\).
2) Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3) Calculer \(u_5\) de proche en proche à partir de \(u_0\), puis vérifier ce résultat en utilisant directement l'expression de \(u_n\).
4) À partir de quel rang \(n\) a-t-on \(u_n > 150\) ?

💡 Indices

C'est la méthode de l'exercice 2 : \(r = \dfrac{u_{10}-u_0}{10}\).
Résous l'inéquation \(2 + 4n > 150\), comme en feuille 2 (exercice 3).
1) Calcul de r
Calcul\(r = \dfrac{42-2}{10} = \dfrac{40}{10}\)
\(r = 4\)
2) Expression de uₙ
\(u_n = 2 + 4n\)
3) Vérification croisée
Proche en proche\(u_0=2 \to u_1=6 \to u_2=10 \to u_3=14 \to u_4=18 \to u_5=22\)
Formule directe\(u_5 = 2 + 4\times5 = 2+20 = 22\)
Les deux méthodes donnent bien \(u_5 = 22\) ✓
4) Problème de seuil
Calcul\(2 + 4n > 150 \;\Longleftrightarrow\; 4n > 148 \;\Longleftrightarrow\; n > 37\)
À partir du rang \(n = 38\)

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