Chapitre 2 · Suites arithmétiques · 1^ère

Variations &
représentation

Feuille d'exercices n°4 — sens de variation et lecture graphique

r > 0 ⟹ croissante r < 0 ⟹ décroissante Points alignés

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Sens de variation

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend uniquement du signe de \(r\) (pas de \(u_0\)).

Signe de r	Variation de (uₙ)
\(r > 0\)	croissante ↗
\(r < 0\)	décroissante ↘
\(r = 0\)	constante →

② Représentation graphique

Les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) sont toujours alignés : \(u_0\) se lit à l'origine (rang 0), et \(r\) correspond à l'écart vertical entre deux points consécutifs.

⚠ Une suite n'est définie que pour \(n\) entier : on trace des points, jamais une droite continue.

🔁 Cette feuille réutilise le calcul de r et u₀ (feuille 3), l'expression de uₙ (feuille 2) et les problèmes de seuil (feuilles 2 et 3) — repère les exercices marqués rappel.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Sens de variation rappel feuille 3

✓ Vu

Pour chaque suite arithmétique, déterminer son sens de variation.

a) \(r = 5\)

b) \(r = -2\)

c) \(r = 0\)

d) \(u_0 = 10\), \(u_5 = 10\)

e) \(u_0 = 3\), \(u_8 = 27\)

💡 Indices

Seul le signe de \(r\) compte. Pour d) et e), il faut d'abord calculer \(r\) comme en feuille 3 : \(r=\dfrac{u_n-u_0}{n}\).

a) r = 5

\(r > 0\) → croissante ↗

b) r = −2

\(r < 0\) → décroissante ↘

c) r = 0

\(r = 0\) → constante →

d) u₀ = 10, u₅ = 10

Calcul\(r = \dfrac{10-10}{5} = 0\)

\(r = 0\) → constante →

e) u₀ = 3, u₈ = 27

Calcul\(r = \dfrac{27-3}{8} = 3\)

\(r > 0\) → croissante ↗

Exercice 2 / 6

Justification rigoureuse u_(n+1) − u_n

✓ Vu

Pour bien justifier un sens de variation, on calcule la différence \(u_{n+1}-u_n\) : elle doit être égale à \(r\), constante et de signe connu.

a) \(u_n = 5 + 3n\). Étudier le sens de variation de \((u_n)\).

b) \(u_n = 50 - 4n\). Étudier le sens de variation de \((u_n)\).

c) Une suite modélise une température qui évolue selon \(u_n = 20 - 1{,}5n\) (en °C). Étudier le sens de variation et interpréter le résultat dans le contexte.

💡 Indices

Remplace \(n\) par \(n+1\) dans l'expression, puis soustrais \(u_n\) : les termes en \(n\) doivent se simplifier pour ne laisser que \(r\).

a) uₙ = 5 + 3n

Calcul\(u_{n+1}-u_n = [5+3(n+1)]-[5+3n] = 3\)

\(u_{n+1}-u_n = 3 > 0\) → \((u_n)\) est croissante

b) uₙ = 50 − 4n

Calcul\(u_{n+1}-u_n = [50-4(n+1)]-[50-4n] = -4\)

\(u_{n+1}-u_n = -4 < 0\) → \((u_n)\) est décroissante

c) uₙ = 20 − 1,5n (température)

Calcul\(u_{n+1}-u_n = -1{,}5 < 0\)

\((u_n)\) est décroissante

Concrètement, cela signifie que la température diminue régulièrement de 1,5 °C à chaque étape.

Exercice 3 / 6

Lecture graphique Points alignés

✓ Vu

Pour chacun des deux nuages de points ci-dessous, représentant les premiers termes d'une suite arithmétique \((u_n)\) : lire \(u_0\) et \(r\) sur le graphique, puis en déduire le sens de variation.

Graphique a)

Ligne pointillée : simple repère visuel pour voir l'alignement.

Graphique b)

Ligne pointillée : simple repère visuel pour voir l'alignement.

💡 Indices

\(u_0\) est la valeur lue sur l'axe vertical, juste au-dessus de \(n=0\).

\(r\) est l'écart vertical entre deux points consécutifs (par exemple entre \(n=0\) et \(n=1\)).

On lit : \(u_0 = 2\), puis les points montent de 3 en 3 (\(2\to5\to8\to11\to14\)).

\(u_0=2\), \(r=3\) → suite croissante ↗

On lit : \(u_0 = 15\), puis les points descendent de 2 en 2 (\(15\to13\to11\to9\to7\)).

\(u_0=15\), \(r=-2\) → suite décroissante ↘

Exercice 4 / 6

Contexte concret rappel feuilles 1 à 3

✓ Vu

Un réservoir contient initialement 500 litres d'eau. Chaque heure, on en retire 25 litres pour l'irrigation. On note \(u_n\) le volume d'eau (en litres) au bout de \(n\) heures.

1) Justifier que \((u_n)\) est arithmétique, et donner \(u_0\) et \(r\).

2) Déterminer le sens de variation de \((u_n)\), et interpréter concrètement ce résultat.

3) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

4) À partir de quelle heure le réservoir sera-t-il vide ?

💡 Indices

« Vide » signifie \(u_n \leqslant 0\). Résous cette inéquation comme en feuille 2 et 3.

1) Nature de la suite

Chaque heure, on retranche toujours 25 litres : l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

\((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=500\), \(r=-25\)

2) Sens de variation

\(r=-25 < 0\) → \((u_n)\) est décroissante

Concrètement, le volume d'eau dans le réservoir diminue heure après heure.

3) Expression de uₙ

\(u_n = 500 - 25n\)

4) Réservoir vide

Calcul\(500-25n \leqslant 0 \;\Longleftrightarrow\; -25n \leqslant -500 \;\Longleftrightarrow\; n \geqslant 20\)

Le réservoir est vide à partir de la 20^e heure

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux Pièges classiques

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) Une suite arithmétique de raison \(r=0\) n'est ni croissante ni décroissante.

b) Si \(r>0\), la suite est croissante, quelle que soit la valeur de \(u_0\).

c) Sur un graphique, une suite arithmétique décroissante a des points qui descendent de gauche à droite.

d) Si les tout premiers termes d'une suite semblent diminuer, alors on peut affirmer que \(r\) est négatif, même sans savoir si la suite est arithmétique.

e) Sur un graphique représentant une suite arithmétique, on peut lire \(u_0\) directement : c'est l'ordonnée du point de rang \(n=0\).

💡 Indices

Repense à l'exercice 1 de la feuille 1 : une suite peut sembler diminuer sur quelques termes sans être arithmétique du tout.

✓ VRAI — si \(r=0\), tous les termes sont égaux à \(u_0\) : la suite est constante.

✓ VRAI — le sens de variation ne dépend que du signe de \(r\), jamais de la valeur de \(u_0\) (qui ne fait que « décaler » la suite verticalement).

✓ VRAI — c'est exactement ce que l'on observe sur le graphique b) de l'exercice 3.

✗ FAUX — pour parler de la raison \(r\) et affirmer qu'elle est négative, il faut d'abord être certain que la suite est bien arithmétique (écart constant sur tous les termes), pas seulement sur les premiers.

✓ VRAI — c'est la lecture directe de l'ordonnée à l'origine du nuage de points.

Exercice 6 / 6

Problème rappel feuilles 1 à 3

✓ Vu

Une entreprise artisanale vend des paniers de légumes. Le graphique ci-dessous représente le nombre de paniers vendus chaque mois depuis le lancement (le rang \(n=0\) correspond au mois de lancement).

1) À partir du graphique, donner \(u_0\) et \(r\), et déterminer le sens de variation de \((u_n)\).

2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3) Vérifier par le calcul que \(u_6 = 130\).

4) La demande est plafonnée à 200 paniers par mois. À partir de quel mois (rang \(n\)) l'entreprise atteindra-t-elle ou dépassera-t-elle ce seuil ?

💡 Indices

Comme en exercice 3 : lis \(u_0\) à l'origine, puis l'écart entre deux points consécutifs pour \(r\).

Résous l'inéquation \(u_n \geqslant 200\), comme dans les feuilles précédentes.

1) Lecture graphique

On lit \(u_0=40\), puis les points montent de 15 en 15 (\(40\to55\to70\to85\)).

\(u_0=40\), \(r=15\) → suite croissante ↗ (car \(r>0\))

2) Expression de uₙ

\(u_n = 40 + 15n\)

3) Vérification de u₆

Calcul\(u_6 = 40 + 15\times6 = 40+90\)

\(u_6 = 130\) ✓

4) Problème de seuil

Calcul\(40+15n \geqslant 200 \;\Longleftrightarrow\; 15n \geqslant 160 \;\Longleftrightarrow\; n \geqslant 10{,}67\)

À partir du rang \(n=11\), soit le 12^e mois d'activité