Chapitre 2 · Suites arithmétiques · 1^ère

Problèmes de
synthèse

Feuille d'exercices n°5 — mobiliser toutes les notions du chapitre

Modélisation Toutes les notions Bilan de chapitre

📌 Récapitulatif du chapitre

① Définition

\(u_{n+1} = u_n + r\)

feuille 1

② Terme général

\(u_n = u_0 + n\times r\)

feuille 2

③ Calcul inverse

\(r = \dfrac{u_n-u_0}{n}\)

feuille 3

④ Sens de variation

\(r>0\) ↗ \(r<0\) ↘ \(r=0\) →

feuille 4

🔁 Cette feuille mobilise toutes les notions du chapitre dans des problèmes concrets, chacun combinant plusieurs compétences plutôt qu'une seule à la fois.

Corrections vues :

0 / 6

Problème 1 / 6

Modélisation rappel feuilles 1 & 2

✓ Vu

Une salle de sport facture 30 € de frais d'inscription (payés une seule fois), puis 25 € par mois d'abonnement. On note \(u_n\) le montant total payé après \(n\) mois d'abonnement (\(u_0=30\) correspond aux frais d'inscription, avant tout mois payé).

1) Justifier que \((u_n)\) est arithmétique, et donner \(u_0\) et \(r\).

2) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) de proche en proche.

3) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

4) Un client a payé au total 405 €. Combien de mois d'abonnement a-t-il payés ?

💡 Indices

Résous l'équation \(u_n = 405\), c'est-à-dire \(30+25n=405\).

1) Nature de la suite

Chaque mois payé ajoute toujours 25 € au montant total : l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

\((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=30\), \(r=25\)

2) Calcul de proche en proche

Calcul\(30 \to 55 \to 80 \to 105\)

\(u_1=55\), \(u_2=80\), \(u_3=105\)

3) Expression de uₙ

\(u_n = 30 + 25n\)

4) Résolution

Calcul\(30+25n=405 \;\Longleftrightarrow\; 25n=375 \;\Longleftrightarrow\; n=15\)

Le client a payé 15 mois d'abonnement

Problème 2 / 6

Sens de variation rappel feuille 4

✓ Vu

Une association compte aujourd'hui 220 adhérents. Chaque année, elle perd 8 adhérents. On note \(u_n\) le nombre d'adhérents \(n\) années après aujourd'hui.

1) Justifier que \((u_n)\) est arithmétique, et donner \(u_0\) et \(r\).

2) Étudier le sens de variation de \((u_n)\) en calculant \(u_{n+1}-u_n\).

3) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

4) À partir de quelle année l'association comptera-t-elle moins de 100 adhérents ?

💡 Indices

Résous l'inéquation \(220-8n < 100\).

1) Nature de la suite

\((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=220\), \(r=-8\)

2) Sens de variation

Calcul\(u_{n+1}-u_n = -8 < 0\)

\((u_n)\) est décroissante

3) Expression de uₙ

\(u_n = 220 - 8n\)

4) Problème de seuil

Calcul\(220-8n < 100 \;\Longleftrightarrow\; -8n < -120 \;\Longleftrightarrow\; n > 15\)

À partir de la 16^e année

Problème 3 / 6

Lecture graphique rappel feuille 4

✓ Vu

Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue par un randonneur (en km) selon le nombre d'heures de marche, à allure constante. On note \(u_n\) la distance parcourue (en km) après \(n\) heures.

1) Lire \(u_0\) et \(r\) sur le graphique.

2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3) Calculer la distance parcourue après 7 heures de marche.

4) Un refuge se trouve à 30 km du départ. Le randonneur y arrivera-t-il pile au bout d'un nombre entier d'heures de marche, à ce rythme ? Justifier.

💡 Indices

Résous l'équation \(u_n = 30\) : le résultat pour \(n\) est-il un nombre entier ?

1) Lecture graphique

On lit \(u_0=0\), puis les points montent de 4 en 4 (\(0\to4\to8\to12\)).

\(u_0=0\), \(r=4\)

2) Expression de uₙ

\(u_n = 4n\)

3) Distance après 7 heures

Calcul\(u_7 = 4\times7\)

\(u_7 = 28\) km

4) Le refuge à 30 km

Calcul\(4n = 30 \;\Longleftrightarrow\; n = 7{,}5\)

✗ Non — \(n=7{,}5\) n'est pas un nombre entier d'heures.

Après 7 h, il aura parcouru \(u_7=28\) km (pas encore arrivé) ; après 8 h, \(u_8=32\) km (il aura déjà dépassé le refuge). Il ne peut pas arriver pile à 30 km à une heure entière de marche.

Problème 4 / 6

Comparaison de suites rappel feuilles 2 & 4

✓ Vu

Deux opérateurs de téléphonie proposent chacun une offre :

📱 Offre A : 20 € par mois, sans frais initiaux.

📱 Offre B : 10 € de frais de mise en service (payés une fois), puis 16 € par mois.

On note \(a_n\) le coût total avec l'offre A après \(n\) mois, et \(b_n\) le coût total avec l'offre B après \(n\) mois.

1) Donner l'expression de \(a_n\) et de \(b_n\) en fonction de \(n\).

2) Calculer \(a_2\) et \(b_2\). Quelle offre est la plus avantageuse après 2 mois ?

3) À partir de quel mois l'offre B devient-elle plus avantageuse que l'offre A ?

💡 Indices

« B plus avantageuse que A » signifie \(b_n < a_n\). Résous cette inéquation.

1) Expressions

\(a_n = 20n\) (\(a_0=0\), \(r=20\)) \(b_n = 10 + 16n\) (\(b_0=10\), \(r=16\))

2) Comparaison après 2 mois

a₂\(a_2 = 20\times2 = 40\) €

b₂\(b_2 = 10+16\times2 = 42\) €

L'offre A est la plus avantageuse après 2 mois (40 € < 42 €)

3) À partir de quand B devient meilleure

Calcul\(10+16n < 20n \;\Longleftrightarrow\; 10 < 4n \;\Longleftrightarrow\; n > 2{,}5\)

À partir du 3^e mois, l'offre B devient plus avantageuse

Problème 5 / 6

Calcul inverse rappel feuilles 1 & 3

✓ Vu

Un artisan a relevé le nombre de pièces produites dans son atelier : à la semaine 0 (démarrage), 12 pièces ; à la semaine 4, 32 pièces. On suppose que cette production évolue de façon arithmétique, et on note \(u_n\) le nombre de pièces produites à la semaine \(n\).

1) Calculer la raison \(r\) de cette suite.

2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3) Vérifier, en calculant de proche en proche, que \(u_2 = 22\).

4) L'atelier a une capacité maximale de 60 pièces par semaine. À partir de quelle semaine cette capacité sera-t-elle atteinte ou dépassée par le modèle ? Ce modèle a-t-il un sens de continuer à l'utiliser indéfiniment ?

💡 Indices

C'est la méthode de la feuille 3 : \(r=\dfrac{u_4-u_0}{4}\).

1) Calcul de r

Calcul\(r = \dfrac{32-12}{4} = \dfrac{20}{4}\)

\(r = 5\)

2) Expression de uₙ

\(u_n = 12 + 5n\)

3) Vérification

Calcul\(u_0=12 \to u_1=17 \to u_2=22\)

On retrouve bien \(u_2=22\) ✓

4) Capacité maximale

Calcul\(12+5n \geqslant 60 \;\Longleftrightarrow\; 5n \geqslant 48 \;\Longleftrightarrow\; n \geqslant 9{,}6\)

À partir de la semaine \(n=10\)

Non, ce modèle ne peut pas être utilisé indéfiniment : un atelier a une capacité physique limitée, la production ne peut pas continuer à augmenter de 5 pièces chaque semaine sans fin. Le modèle arithmétique n'est donc réaliste que sur une période limitée.

Problème 6 / 6

Bilan du chapitre rappel feuilles 1 à 4

✓ Vu

Un club de sport a enregistré le nombre de licenciés chaque année depuis sa création (année de rang \(n=0\)) :

Année (n)	0	1	2	3
Licenciés (uₙ)	85	102	119	136

1) Vérifier que \((u_n)\) est arithmétique, et donner \(u_0\) et \(r\).

2) Étudier le sens de variation de \((u_n)\).

3) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

4) Le club vise 300 licenciés. En supposant que la tendance se poursuit, à partir de quelle année ce seuil sera-t-il atteint ou dépassé ?

5) Le président du club affirme : « À ce rythme, dans 20 ans, nous aurons plus de 400 licenciés. » A-t-il raison ?

💡 Indices

Calcule les écarts entre termes consécutifs, comme en feuille 1.

Calcule toi-même \(u_{20}\) et compare avec 400.

1) Vérification et nature de la suite

\(102-85=17\), \(119-102=17\), \(136-119=17\) : l'écart est constant.

\((u_n)\) est arithmétique, \(u_0=85\), \(r=17\)

2) Sens de variation

\(r=17 > 0\) → \((u_n)\) est croissante

3) Expression de uₙ

\(u_n = 85 + 17n\)

4) Seuil des 300 licenciés

Calcul\(85+17n \geqslant 300 \;\Longleftrightarrow\; 17n \geqslant 215 \;\Longleftrightarrow\; n \geqslant 12{,}6\)

À partir de l'année \(n=13\)

5) Vérification de l'affirmation du président

Calcul\(u_{20} = 85 + 17\times20 = 85+340\)

✓ Il a raison — \(u_{20} = 425\), et \(425 > 400\).