La version « pas à pas » des fonctions affines : même idée de progression constante, mais rang par rang plutôt que sur une droite continue.
Un abonnement qui augmente chaque mois, une pile de gobelets qui grandit gobelet après gobelet, une température qui baisse heure après heure... Tu manipules des suites depuis toujours, sans forcément mettre un nom dessus. Ce chapitre te donne juste les outils pour les calculer sans te fatiguer.
8€ le premier mois, puis +1€ chaque mois suivant :
10 cm pour le premier gobelet seul, chaque gobelet ajouté fait monter la pile de 1,5 cm :
18 fauteuils au premier rang, 2 fauteuils de plus à chaque rangée suivante :
20°C au départ, puis −0,5°C chaque heure jusqu'au matin :
Dans chaque cas, on part d'une valeur de départ, et on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité pour passer à l'étape suivante — que ce soit +1€, +1,5 cm, +2 fauteuils ou −0,5°C. C'est exactement la définition d'une suite arithmétique, que tu vas retrouver juste en dessous.
Souviens-toi : on avait promis que les suites arithmétiques seraient la version pas à pas des fonctions affines. Au lieu d'une variable \(x\) qui varie continûment, on va manipuler des termes numérotés \(u_0, u_1, u_2, \dots\) qui n'existent qu'à des rangs entiers — un mois, un gobelet, une rangée, une heure. Tu connais déjà presque tout : le coefficient directeur \(a\) devient la raison \(r\), et le reste des réflexes va se réutiliser presque tel quel.
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, un par rang :
Le nombre de la suite qui se trouve à la position \(n\). On dit « \(u\) indice \(n\) ». \(u_0\) est le premier terme, \(u_1\) le suivant, etc.
Le nombre fixe qu'on ajoute (ou retranche) à chaque terme pour obtenir le suivant. L'équivalent exact du coefficient directeur \(a\) du chapitre 1.
Une suite \((u_n)\) est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel \(r\), appelé raison, tel que pour tout entier naturel \(n\) :
Autrement dit : pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours la même quantité \(r\). C'est une définition par récurrence : pour connaître \(u_5\), il faut en principe être passé par \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\).
Imagine une machine : tu entres un terme, elle lui ajoute toujours la même quantité \(r\), et recrache le terme suivant. Entre à nouveau ce résultat, elle ajoute encore \(r\)... C'est exactement le principe de la récurrence.
Oui : on ajoute à chaque fois 4 (\(7-3=4\), \(11-7=4\), \(15-11=4\)). C'est une suite arithmétique de raison \(r=4\).
Non : \(4-2=2\) mais \(8-4=4\). L'écart entre deux termes consécutifs n'est pas constant, donc ce n'est pas une suite arithmétique (ici, on multiplie par 2 à chaque fois — on en reparlera au prochain chapitre !).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 |
On ajoute \(r=3\) à chaque étape : \(5 \to 8 \to 11 \to 14 \to 17\).
Soit \((v_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(v_0 = -2\) et de raison \(r = 4\). Calcule \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(v_n\) | −2 | 2 | 6 | 10 |
Calculer \(u_{50}\) de proche en proche serait épuisant. Heureusement, on peut sauter directement au rang voulu.
Si \((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), alors pour tout entier naturel \(n\) :
Plus généralement, entre deux rangs quelconques \(p\) et \(n\) : \(u_n = u_p + (n-p)\times r\).
Chaque rang franchi ajoute une nouvelle fois \(r\) — exactement comme avancer de plusieurs carreaux au chapitre 1. Regarde ce qui se passe avec \(r = 2\), \(u_0 = 1\) :
Soit \((w_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(w_0 = -7\) et de raison \(r = 2{,}5\). Calcule \(w_{20}\).
Exactement le même problème qu'au chapitre 1 : et si on ne connaît que deux termes de la suite, sans savoir ni \(u_0\) ni \(r\) ?
Puis on injecte un terme connu dans \(u_n = u_0 + n\times r\) pour retrouver \(u_0\).
Comme au chapitre 1 : le rang le plus grand doit rester au même endroit (numérateur et dénominateur) que le terme correspondant, sous peine d'inverser le signe de \(r\).
Une suite arithmétique vérifie \(u_2 = 9\) et \(u_6 = -3\). Détermine \(r\) puis \(u_0\).
Étape 1 — Calcul de \(r\)
Étape 2 — Calcul de \(u_0\)
La même logique qu'au chapitre 1, appliquée cette fois au signe de la raison.
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
\((u_n)\) est croissante
\((u_n)\) est décroissante
\((u_n)\) est constante
Là encore, aucune surprise : on ajoute toujours \(r\) pour passer au terme suivant, donc si \(r\) est positif, on ne peut que monter.
Radiateur : \(r=-0{,}5<0\) → suite décroissante (la température baisse). Cinéma : \(r=2>0\) → suite croissante (il y a de plus en plus de fauteuils par rangée).
Dans un repère, les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) sont alignés — ils appartiennent tous à la droite d'équation \(y = rx + u_0\), celle-là même que tu tracerais pour la fonction affine associée.
Différence essentielle avec le chapitre 1 : une suite n'existe qu'aux rangs entiers \(0, 1, 2, 3, \dots\). On place donc des points isolés, jamais une ligne continue qui les relie — \(u_{2{,}5}\) n'a tout simplement aucun sens.
Une question fréquente : à partir de quel rang un terme dépasse-t-il (ou passe-t-il en dessous d') une valeur donnée ?
Résoudre un problème de seuil, c'est trouver le plus petit rang \(n\) à partir duquel \(u_n\) dépasse (ou descend en dessous d') un seuil \(k\) fixé à l'avance.
On part de la formule explicite \(u_n = u_0 + nr\), et on résout l'inéquation correspondante :
On isole \(n\) comme dans n'importe quelle inéquation du premier degré : on soustrait \(u_0\), puis on divise par \(r\).
Si la raison \(r\) est négative, diviser les deux membres par \(r\) inverse le sens de l'inéquation ! Ce réflexe, déjà vu pour les fonctions affines, reste valable ici :
Le plus petit rang entier vérifiant \(n>10\) est \(n=11\), c'est-à-dire l'année \(n+1 = 12\).
Le plus petit rang entier vérifiant \(n>20\) est \(n=21\).
Sur la représentation graphique (partie VI), un problème de seuil revient à tracer la droite horizontale \(y=k\) et à repérer à partir de quel point le nuage de points passe au-dessus (ou en dessous) de cette droite.
\(3+4n>50 \Rightarrow 4n>47 \Rightarrow n>11{,}75\), donc \(n=12\).
Un capital de 1000€ diminue de 40€ chaque mois (\(u_0=1000\), \(r=-40\)). À partir de quel mois le capital passe-t-il strictement en dessous de 200€ ?
Là où la suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, la suite géométrique va multiplier toujours par le même nombre. Une bonne partie des méthodes vues ici (récurrence, terme général, sens de variation) se retrouveront, mais avec des réflexes différents !
Garde en tête le parallèle : \(u_n = u_0 + nr\) est exactement la même formule que \(f(x) = ax+b\), avec \(x\) remplacé par \(n\). C'est ce même « moteur » mathématique que tu retrouveras encore en statistiques.