Chapitre 3 · Statistiques à deux variables · 1^ère

Le point
moyen G

Feuille d'exercices n°2 — calculer et placer le point moyen

Calcul de moyennes Fiche 2 / 6

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Point moyen G

\(G(\bar x\,;\,\bar y)\)

notion du jour

② Moyenne d'une série

\(\bar x = \dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}\)

rappel 2nde / fiche 1

③ Nuage de points

un point \((x_i\,;\,y_i)\) par individu

rappel fiche 1

④ Signe du coefficient directeur

\(a>0\) ↗ \(a<0\) ↘

rappel chapitre 1

🔁 Le point moyen \(G\) résume à lui seul tout un nuage de points : son abscisse est la moyenne des \(x_i\), son ordonnée est la moyenne des \(y_i\). C'est ce point qui servira de point de passage obligé pour la droite d'ajustement, en fiche 3.

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Exercice 1 / 6

Calcul de G rappel fiche 1 : moyenne d'une série

✓ Vu

Une salle de sport relève, sur 5 semaines, le nombre d'heures d'ouverture supplémentaires et le nombre d'adhérents supplémentaires obtenus dans la semaine :

Heures sup.	2	4	6	8	10
Adhérents sup.	3	5	7	9	11

1) Calcule la moyenne \(\bar x\) des heures d'ouverture supplémentaires.

2) Calcule la moyenne \(\bar y\) des adhérents supplémentaires.

3) En déduire les coordonnées du point moyen \(G\) de ce nuage.

💡 Indices

Le point moyen \(G\) a pour coordonnées \((\bar x\,;\,\bar y)\) : rien de plus que les deux moyennes calculées juste avant.

1) Moyenne des abscisses

Calcul\(\bar x = \dfrac{2+4+6+8+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\)

\(\bar x = 6\)

2) Moyenne des ordonnées

Calcul\(\bar y = \dfrac{3+5+7+9+11}{5} = \dfrac{35}{5} = 7\)

\(\bar y = 7\)

3) Point moyen

\(G(6\,;\,7)\)

Exercice 2 / 6

Lecture graphique rappel fiche 1 : lire un nuage

✓ Vu

Une piscine municipale relève, sur 5 journées, la température extérieure et le nombre d'entrées. Le nuage ci-dessous représente ces données ; le point moyen \(G\) y est déjà placé (en doré).

Température (°C)	10	15	20	25	30
Entrées	40	60	80	100	120

Entrées à la piscine selon la température

Abscisse : température (°C) — Ordonnée : nombre d'entrées

1) Donne les coordonnées de \(G\) en lisant le graphique.

2) Retrouve ces coordonnées par le calcul, à partir du tableau.

3) Que remarques-tu en comparant \(G\) et le 3^e point du nuage ? Est-ce toujours le cas ?

💡 Indices

Pense à ce que tu as observé en fiche 1 : quand le nuage est parfaitement régulier, la moyenne peut retomber exactement sur l'un des points. Ce n'est pas une règle générale.

1) Lecture graphique

\(G(20\,;\,80)\)

2) Vérification par le calcul

Abscisse\(\bar x = \dfrac{10+15+20+25+30}{5} = \dfrac{100}{5} = 20\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{40+60+80+100+120}{5} = \dfrac{400}{5} = 80\)

On retrouve bien \(G(20\,;\,80)\)

3) Coïncidence ou règle générale ?

Ici, \(G\) tombe exactement sur le point \((20\,;\,80)\) du nuage. C'est parce que les données sont parfaitement régulières (chaque valeur augmente du même pas). En général, \(G\) ne correspond à aucun des points du nuage : ce n'est qu'un point moyen, pas forcément un point réellement observé.

Non, ce n'est pas toujours le cas — ici c'est une coïncidence due à la régularité des données

Exercice 3 / 6

Moyennes décimales

✓ Vu

Pour 6 élèves, on relève le nombre d'heures de révision avant un contrôle et la note obtenue :

Heures de révision	1	2	3	4	5	6
Note / 20	8	10	11	13	15	17

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\). Arrondis \(\bar y\) au centième si besoin.

💡 Indices

Une moyenne n'est pas toujours un nombre entier : ce n'est pas grave, \(G\) peut très bien avoir des coordonnées décimales.

Calcul des moyennes

Abscisse\(\bar x = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{8+10+11+13+15+17}{6} = \dfrac{74}{6} \approx 12{,}33\)

\(G(3{,}5\,;\,12{,}33)\)

À retenir : rien n'oblige \(\bar x\) et \(\bar y\) à être des nombres entiers, même si les données de départ le sont.

Exercice 4 / 6

Construction rappel fiche 1 : construire un nuage

✓ Vu

Sur une ferme, on relève pendant 5 jours la quantité de pluie tombée et le nombre d'œufs en moins pondus par les poules (par rapport à un jour sans pluie) :

Pluie (mm)	0	5	10	15	20
Œufs en moins	1	3	5	9	12

Place le nuage, puis G

Abscisse : pluie (mm) — Ordonnée : œufs en moins · graduation tous les 5 (x) et tous les 4 (y), quadrillage secondaire tous les 1 (y)

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\).

2) Place les 5 points du nuage sur le repère fourni.

3) Place \(G\) sur le même repère, avec un symbole différent (une croix, par exemple).

💡 Indices

Sur l'axe des ordonnées, chaque ligne fine correspond à 1 unité : compte les lignes une par une à partir d'un repère étiqueté (4, 8 ou 12).

1) Point moyen

Abscisse\(\bar x = \dfrac{0+5+10+15+20}{5} = \dfrac{50}{5} = 10\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{1+3+5+9+12}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\)

\(G(10\,;\,6)\)

2) et 3) Nuage complété

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et corrige-la si besoin.

a) Le point moyen \(G\) a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.

b) Le point \(G\) doit obligatoirement être l'un des points du nuage.

c) On peut calculer \(G\) même si le nuage n'est pas du tout aligné.

Vrai

Comme vu dans l'exercice 2, \(G\) coïncide parfois avec un point du nuage, mais ce n'est pas une obligation : dans la plupart des cas, \(G\) n'est le point d'aucun individu réel.

Faux

Le calcul de \(\bar x\) et \(\bar y\) ne dépend que des valeurs de la série, pas de l'allure du nuage.

Vrai

Exercice 6 / 6

Synthèse rappel fiche 1 + chapitre 1

✓ Vu

Un marchand de glaces relève, sur 5 jours, la température extérieure et le montant de ses ventes (en euros) :

Température (°C)	18	22	25	28	32
Ventes (€)	40	55	65	80	100

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\).

2) Ce nuage te semble-t-il globalement aligné ? Quelle est sa tendance ?

3) Si on traçait une droite d'ajustement passant par \(G\), son coefficient directeur serait-il positif ou négatif ?

💡 Indices

Rappelle-toi du chapitre 1 : une droite qui monte a un coefficient directeur positif.

1) Point moyen

Abscisse\(\bar x = \dfrac{18+22+25+28+32}{5} = \dfrac{125}{5} = 25\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{40+55+65+80+100}{5} = \dfrac{340}{5} = 68\)

\(G(25\,;\,68)\)

2) Allure du nuage

Plus il fait chaud, plus les ventes augmentent, presque à chaque fois.

Nuage globalement aligné, de tendance croissante

3) Signe du coefficient directeur

Une droite qui résume un nuage croissant monte elle aussi de la gauche vers la droite.

\(a\) serait positif