Chapitre 3 · Statistiques à deux variables · 1^ère

La droite
d'ajustement

Feuille d'exercices n°3 — déterminer l'équation d'une droite d'ajustement affine

Équation de droite Fiche 3 / 6

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Droite d'ajustement

passe toujours par \(G(\bar x\,;\,\bar y)\)

notion du jour

② Coefficient directeur

\(a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

rappel chapitre 1

③ Ordonnée à l'origine

\(y=ax+b\) → \(b = y_A - a\,x_A\)

rappel chapitre 1

④ Point moyen G

\(G(\bar x\,;\,\bar y)\)

rappel fiche 2

🔁 La méthode : on trace à la règle une droite qui passe par \(G\) et qui suit au mieux l'allure du nuage. On lit ensuite les coordonnées de deux points quelconques de cette droite (pas forcément des points du nuage !) pour calculer \(a\) puis \(b\), exactement comme au chapitre 1.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 5

Calcul rappel chapitre 1 : équation d'une droite

✓ Vu

Détermine l'équation réduite \(y = ax+b\) de la droite passant par les points \(A(3\,;\,5)\) et \(B(7\,;\,17)\).

1) Calcule le coefficient directeur \(a\).

2) Calcule l'ordonnée à l'origine \(b\).

3) Vérifie ton résultat avec le point \(B\).

💡 Indices

Utilise \(y=ax+b\) avec les coordonnées de \(A\) (ou de \(B\)), puisque la droite passe par ce point.

1) Coefficient directeur

Calcul\(a = \dfrac{17-5}{7-3} = \dfrac{12}{4} = 3\)

\(a = 3\)

2) Ordonnée à l'origine

Avec A\(5 = 3\times 3 + b \Rightarrow b = 5-9=-4\)

\(y = 3x - 4\)

3) Vérification avec B

Calcul\(3\times 7 - 4 = 21-4 = 17\)

✓ On retrouve bien l'ordonnée de B

Exercice 2 / 5

Lecture graphique rappel fiche 2 : point moyen G

✓ Vu

Un glacier relève, sur 5 jours, la température extérieure et le montant de ses ventes (en euros) :

Température (°C)	15	20	25	30	35
Ventes (€)	30	50	60	90	120

Le point moyen \(G\) et une droite d'ajustement passant par \(G\) ont déjà été tracés. Deux points \(A\) et \(B\) de cette droite ont été repérés (ce ne sont pas forcément des points du nuage).

Ventes de glaces selon la température

Abscisse : température (°C) — Ordonnée : ventes (€)

1) Lis les coordonnées de \(A\) et de \(B\) sur le graphique.

2) Calcule le coefficient directeur \(a\) de la droite \((AB)\).

3) Calcule l'ordonnée à l'origine \(b\).

4) Donne l'équation réduite de la droite d'ajustement, puis vérifie qu'elle passe bien par \(G(25\,;\,70)\).

💡 Indices

Remplace \(x\) par 25 dans l'équation trouvée : tu dois retomber sur \(y=70\).

1) Lecture graphique

\(A(15\,;\,30)\) et \(B(35\,;\,110)\)

2) Coefficient directeur

Calcul\(a = \dfrac{110-30}{35-15} = \dfrac{80}{20} = 4\)

\(a = 4\)

3) Ordonnée à l'origine

Avec A\(30 = 4\times 15 + b \Rightarrow b = 30-60=-30\)

\(b = -30\)

4) Équation et vérification

Vérif. en G\(4\times 25 - 30 = 100-30 = 70\)

\(y = 4x - 30\) — passe bien par \(G(25\,;\,70)\)

Exercice 3 / 5

Construction rappel fiche 2 : ferme & point moyen G

✓ Vu

Reprends les données de la ferme (fiche 2) : quantité de pluie (mm) et œufs en moins pondus par les poules. Le nuage et le point moyen \(G(10\,;\,6)\) sont déjà placés ci-dessous.

Trace ta droite d'ajustement

Abscisse : pluie (mm) — Ordonnée : œufs en moins

1) Sur ton repère (papier ou quadrillage recopié), trace à la règle une droite passant par \(G\) et suivant au mieux le nuage.

2) Lis les coordonnées de deux points de ta droite.

3) Calcule l'équation réduite de ta droite.

💡 Indices

Ta droite doit obligatoirement passer par \(G(10\,;\,6)\) : c'est la seule contrainte imposée, le reste dépend de ton tracé.

Attention : comme la droite est tracée à la règle « à l'œil », ta réponse peut légèrement différer de celle-ci — c'est normal, tant que ta droite passe par \(G\) et suit la tendance du nuage.

Un exemple de droite acceptable

On peut tracer une droite passant par \(G(10\,;\,6)\), par exemple par les points \((0\,;\,1)\) et \((20\,;\,11)\).

Coefficient a\(a = \dfrac{11-1}{20-0} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\)

Ordonnée b\(1 = 0{,}5\times 0 + b \Rightarrow b = 1\)

\(y = 0{,}5x + 1\) (une réponse parmi d'autres possibles)

Exercice 4 / 5

Calcul rappel fiche 2 : G donné

✓ Vu

Un artisan a calculé que le point moyen de ses ventes mensuelles est \(G(12\,;\,150)\). Il trace une droite d'ajustement passant par \(G\), et repère sur cette droite le point \(A(20\,;\,230)\).

1) Calcule le coefficient directeur de la droite \((GA)\).

2) Détermine l'ordonnée à l'origine \(b\).

3) Donne l'équation réduite de la droite d'ajustement.

💡 Indices

\(G\) est un point de la droite comme un autre : tu peux l'utiliser exactement comme \(A\) ou \(B\) dans la formule de \(a\).

1) Coefficient directeur

Calcul\(a = \dfrac{230-150}{20-12} = \dfrac{80}{8} = 10\)

\(a = 10\)

2) Ordonnée à l'origine

Avec G\(150 = 10\times 12 + b \Rightarrow b = 150-120=30\)

\(b = 30\)

3) Équation réduite

\(y = 10x + 30\)

Exercice 5 / 5

Vrai / Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et corrige-la si besoin.

a) Une droite d'ajustement affine doit toujours passer par le point moyen \(G\).

b) Il n'existe qu'une seule droite d'ajustement possible pour un nuage donné.

c) Les deux points utilisés pour calculer \(a\) et \(b\) doivent obligatoirement être des points du nuage.

Vrai

Comme la droite est tracée « à l'œil » à la règle, deux élèves peuvent obtenir des droites légèrement différentes, toutes deux acceptables si elles passent par \(G\) et suivent la tendance du nuage.

Faux

N'importe quels deux points de la droite tracée conviennent, qu'ils correspondent ou non à des données réelles.

Faux