Chapitre 3 · Statistiques à deux variables · 1^ère

Interpoler,
extrapoler

Feuille d'exercices n°4 — utiliser la droite d'ajustement pour estimer une valeur

Estimations Fiche 4 / 6

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Interpoler / extrapoler

dans l'intervalle observé / en dehors

notion du jour

② Droite d'ajustement

\(y=ax+b\)

rappel fiche 3

③ Point moyen G

\(G(\bar x\,;\,\bar y)\)

rappel fiche 2

④ Nuage de points

un point par individu observé

rappel fiche 1

⚠️ Interpoler, c'est estimer une valeur pour un \(x\) situé à l'intérieur de l'intervalle des données observées : l'estimation est raisonnablement fiable. Extrapoler, c'est estimer pour un \(x\) situé en dehors de cet intervalle : rien ne garantit que la tendance se poursuive au-delà des données observées, l'estimation est donc moins fiable.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 5

Calcul rappel fiche 3 : droite d'ajustement

✓ Vu

Reprends le glacier de la fiche 3 : la droite d'ajustement trouvée était \(y = 4x - 30\), où \(x\) est la température (°C) et \(y\) les ventes (€). Les données avaient été observées pour des températures allant de 15°C à 35°C.

1) Estime les ventes pour une température de 27°C.

2) Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ? Justifie.

💡 Indices

Compare 27 à l'intervalle des données observées : \([15\,;\,35]\).

1) Estimation

Calcul\(y = 4\times 27 - 30 = 108-30 = 78\)

Environ 78 € de ventes estimées

2) Interpolation ou extrapolation ?

\(27 \in [15\,;\,35]\) : la valeur 27 se situe à l'intérieur de l'intervalle des températures observées.

Interpolation — estimation raisonnablement fiable

Exercice 2 / 5

Lecture graphique rappel fiche 1 + fiche 3

✓ Vu

Voici de nouveau le nuage du glacier avec sa droite d'ajustement \(y=4x-30\). La zone grisée représente l'intervalle des températures réellement observées, entre 15°C et 35°C.

Ventes de glaces selon la température

Abscisse : température (°C) — Ordonnée : ventes (€)

1) Calcule l'estimation des ventes pour \(x=22\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?

2) Calcule l'estimation des ventes pour \(x=40\). Est-ce une interpolation ou une extrapolation ?

3) Laquelle des deux estimations te semble la plus fiable ? Pourquoi ?

💡 Indices

Regarde si le point demandé se trouve dans la zone grisée (observée) ou en dehors.

1) Estimation pour x = 22

Calcul\(y = 4\times 22 - 30 = 88-30 = 58\)

58 € — interpolation, car \(22 \in [15\,;\,35]\)

2) Estimation pour x = 40

Calcul\(y = 4\times 40 - 30 = 160-30 = 130\)

130 € — extrapolation, car \(40 \notin [15\,;\,35]\)

3) Fiabilité

L'estimation pour \(x=22\) est plus fiable : elle interpole entre des données réellement observées. Celle pour \(x=40\) suppose que la tendance se poursuit au-delà de ce qui a été mesuré, ce qui n'est pas garanti (au-delà d'une certaine chaleur, les ventes pourraient stagner, par exemple).

L'estimation par interpolation (x = 22) est la plus fiable

Exercice 3 / 5

Résoudre une équation

✓ Vu

Une entreprise de livraison a établi, pour des distances observées entre 3 km et 25 km, la relation d'ajustement \(y = 2x + 5\), où \(x\) est la distance (km) et \(y\) le temps de livraison estimé (min).

1) Estime le temps de livraison pour une distance de 18 km. S'agit-il d'une interpolation ?

2) Un client habite à une distance telle que le temps de livraison estimé est de 53 minutes. Calcule cette distance en résolvant l'équation \(53 = 2x+5\).

3) Que penser d'une estimation du temps de livraison pour une distance de 60 km ?

💡 Indices

Isole \(x\) : commence par soustraire 5 de chaque côté, puis divise par 2.

1) Estimation directe

Calcul\(y = 2\times 18 + 5 = 36+5 = 41\)

41 min — interpolation, car \(18 \in [3\,;\,25]\)

2) Résolution de l'équation

Étape 1\(53 - 5 = 2x \Rightarrow 48 = 2x\)

Étape 2\(x = \dfrac{48}{2} = 24\)

24 km — interpolation, car \(24 \in [3\,;\,25]\)

3) Estimation pour 60 km

60 km est très en dehors de l'intervalle observé \([3\,;\,25]\) : c'est une extrapolation risquée, sur une distance plus de deux fois supérieure à la plus grande distance observée. Le temps de livraison réel pourrait être bien différent (autoroute, changement de zone, etc.).

Estimation peu fiable, à utiliser avec beaucoup de prudence

Exercice 4 / 5

Vrai / Faux

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et corrige-la si besoin.

a) Une interpolation est généralement plus fiable qu'une extrapolation.

b) On peut extrapoler aussi loin que l'on veut sans perte de fiabilité.

c) Une estimation obtenue par extrapolation est automatiquement fausse.

Vrai

Plus on s'éloigne de l'intervalle observé, plus le risque que la tendance change (ou s'arrête) est grand.

Faux

Une extrapolation n'est pas forcément fausse : elle est simplement moins fiable, car elle repose sur une hypothèse (la tendance continue) qui n'a pas été vérifiée par des données réelles.

Faux

Exercice 5 / 5

Synthèse rappel fiche 1 + fiche 2 + fiche 3

✓ Vu

Un apiculteur relève, sur 5 ruches, le nombre de jours d'ensoleillement supplémentaire au printemps et la production de miel supplémentaire (kg) :

Jours d'ensoleillement sup.	2	4	6	8	10
Miel sup. (kg)	1	2	4	5	8

Une droite d'ajustement a été tracée, passant par le point moyen \(G\). Deux points \(C\) et \(D\) de cette droite ont été repérés.

Miel supplémentaire selon l'ensoleillement

Abscisse : jours d'ensoleillement sup. — Ordonnée : miel sup. (kg)

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) à partir du tableau.

2) Lis les coordonnées de \(C\) et \(D\), puis détermine l'équation réduite de la droite d'ajustement.

3) Estime la production de miel supplémentaire pour 7 jours d'ensoleillement supplémentaire. Est-ce une interpolation ?

4) Estime la production pour 25 jours d'ensoleillement supplémentaire. Cette estimation te semble-t-elle raisonnable ?

💡 Indices

Compare 25 à l'intervalle des données observées, \([2\,;\,10]\).

1) Point moyen

Abscisse\(\bar x = \dfrac{2+4+6+8+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{1+2+4+5+8}{5} = \dfrac{20}{5} = 4\)

\(G(6\,;\,4)\)

2) Équation de la droite

Lecture graphique : \(C(2\,;\,2)\) et \(D(10\,;\,6)\).

Coefficient a\(a = \dfrac{6-2}{10-2} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5\)

Ordonnée b\(2 = 0{,}5\times 2 + b \Rightarrow b = 1\)

\(y = 0{,}5x + 1\)

3) Estimation pour 7 jours

Calcul\(y = 0{,}5\times 7 + 1 = 3{,}5+1 = 4{,}5\)

4,5 kg — interpolation, car \(7 \in [2\,;\,10]\)

4) Estimation pour 25 jours

Calcul\(y = 0{,}5\times 25 + 1 = 12{,}5+1 = 13{,}5\)

25 est très en dehors de l'intervalle observé \([2\,;\,10]\) : c'est une extrapolation forte. Rien ne garantit que la production de miel continue à augmenter aussi régulièrement au-delà de 10 jours (les abeilles pourraient atteindre un maximum de production, par exemple).

13,5 kg — extrapolation peu fiable, à interpréter avec prudence