Chapitre 3 · Statistiques à deux variables · 1^ère

Bilan du
chapitre

Feuille d'exercices n°6 — problèmes de synthèse

Tout le chapitre Fiche 6 / 6

📌 La boîte à outils du chapitre

① Nuage de points

un point \((x_i;y_i)\) par individu

fiche 1

② Point moyen G

\(G(\bar x\,;\,\bar y)\)

fiche 2

③ Droite d'ajustement

\(y=ax+b\), passe par G

fiche 3

④ Interpoler / extrapoler

dans l'intervalle observé / en dehors

fiche 4

⑤ Corrélation ≠ causalité

chercher une variable confondante

fiche 5

⑥ Tableau croisé qualitatif

\(\text{fréquence} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{total choisi}}\)

fiche bonus

🎯 Les trois problèmes ci-dessous mobilisent toutes les notions du chapitre, de la lecture du nuage jusqu'à l'esprit critique face à la corrélation — y compris le croisement de deux caractères qualitatifs. Prends ton temps : chaque question s'appuie sur la précédente.

Corrections vues :

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Problème 1 — Le club de natation

Problème de synthèse nuage · G · droite · interpolation · causalité

✓ Vu

Un entraîneur relève, pour 6 nageurs, le nombre d'heures d'entraînement par semaine et leur temps sur 100 m nage libre (en secondes) :

Heures d'entraînement	4	6	8	10	12	14
Temps au 100 m (s)	80	74	68	64	58	52

Le nuage, le point moyen \(G\) et une droite d'ajustement ont été tracés. Deux points \(C\) et \(D\) de cette droite sont repérés.

Temps au 100 m selon l'entraînement

Abscisse : graduation tous les 2, quadrillage secondaire tous les 1 — Ordonnée : graduation tous les 10, quadrillage secondaire tous les 5

a) Le nuage te semble-t-il globalement aligné ? Décris sa tendance.

b) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) à partir du tableau.

c) Lis les coordonnées de \(C\) et \(D\), puis détermine l'équation réduite de la droite d'ajustement.

d) Vérifie que cette droite passe bien par \(G\).

e) Estime le temps au 100 m d'un nageur qui s'entraîne 13 heures par semaine. S'agit-il d'une interpolation ?

f) Estime le temps au 100 m d'un nageur qui s'entraînerait 20 heures par semaine. Ce résultat te semble-t-il réaliste ?

g) L'entraîneur affirme : « s'entraîner plus fait forcément nager plus vite ». Cette étude prouve-t-elle, à elle seule, un lien de cause à effet ?

💡 Indices

Compare 20 à l'intervalle observé \([4\,;\,14]\), et regarde si le temps obtenu est physiquement plausible pour un être humain.

Un nuage aligné montre une évolution commune ; il faut un raisonnement extérieur (ici, physiologique) pour parler de causalité.

a) Allure du nuage

Plus le nombre d'heures d'entraînement augmente, plus le temps au 100 m diminue, presque à chaque fois.

Nuage globalement aligné, de tendance décroissante

b) Point moyen

Abscisse\(\bar x = \dfrac{4+6+8+10+12+14}{6} = \dfrac{54}{6} = 9\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{80+74+68+64+58+52}{6} = \dfrac{396}{6} = 66\)

\(G(9\,;\,66)\)

c) Équation de la droite

Lecture graphique : \(C(6\,;\,75)\) et \(D(11\,;\,60)\).

Coefficient a\(a = \dfrac{60-75}{11-6} = \dfrac{-15}{5} = -3\)

Ordonnée b\(75 = -3\times 6 + b \Rightarrow b = 75+18=93\)

\(y = -3x + 93\)

d) Vérification en G

Calcul\(-3\times 9 + 93 = -27+93 = 66\)

✓ La droite passe bien par \(G(9\,;\,66)\)

e) Estimation pour 13 heures

Calcul\(y = -3\times 13 + 93 = -39+93 = 54\)

54 s — interpolation, car \(13 \in [4\,;\,14]\)

f) Estimation pour 20 heures

Calcul\(y = -3\times 20 + 93 = -60+93 = 33\)

20 est très en dehors de l'intervalle observé \([4\,;\,14]\) : c'est une extrapolation extrême. Un temps de 33 secondes au 100 m est irréaliste (bien plus rapide que le record du monde) : au-delà d'un certain volume d'entraînement, le temps ne peut plus continuer à diminuer aussi régulièrement.

Résultat non réaliste — extrapolation beaucoup trop risquée

g) Corrélation et causalité

Un mécanisme physiologique direct est plausible (s'entraîner développe les capacités physiques), mais l'étude statistique seule ne le prouve pas : d'autres facteurs (talent naturel, technique, sommeil...) pourraient aussi jouer un rôle.

Non, la statistique seule ne prouve jamais la causalité, même si elle est ici plausible

Problème 2 — Le maraîcher bio

Problème de synthèse construction · G · droite · extrapolation

✓ Vu

Un maraîcher relève, sur 5 parcelles, la quantité d'engrais bio utilisée (en kg) et le rendement en tomates obtenu (en kg) :

Engrais (kg)	1	2	3	4	5
Rendement (kg)	40	55	65	75	95

À toi de construire le nuage

Abscisse : engrais (kg) — Ordonnée : rendement (kg)

a) Place les 5 points du nuage sur le repère fourni.

b) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) et place-le sur le même repère.

c) Trace à la règle une droite d'ajustement passant par \(G\). Lis les coordonnées de deux points de ta droite et détermine son équation réduite.

d) Estime le rendement pour 3,5 kg d'engrais. Est-ce une interpolation ?

e) Estime le rendement pour 10 kg d'engrais. Le maraîcher en conclut qu'il devrait mettre encore plus d'engrais pour maximiser son rendement : que penses-tu de ce raisonnement ?

💡 Indices

Une extrapolation lointaine suppose que la tendance continue indéfiniment. En agriculture, un excès d'engrais peut aussi nuire aux plantes.

Remarque : comme la droite est tracée à la règle, ta réponse à la question c) peut légèrement différer — c'est normal, tant qu'elle passe par \(G\) et suit la tendance du nuage.

a) et b) Nuage et point moyen

Abscisse\(\bar x = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = \dfrac{15}{5} = 3\)

Ordonnée\(\bar y = \dfrac{40+55+65+75+95}{5} = \dfrac{330}{5} = 66\)

\(G(3\,;\,66)\)

c) Équation de la droite

Une droite acceptable passe par exemple par \(E(1\,;\,40)\) et \(F(5\,;\,92)\).

Coefficient a\(a = \dfrac{92-40}{5-1} = \dfrac{52}{4} = 13\)

Ordonnée b\(40 = 13\times 1 + b \Rightarrow b = 27\)

\(y = 13x + 27\) (une réponse parmi d'autres possibles)

d) Estimation pour 3,5 kg

Calcul\(y = 13\times 3{,}5 + 27 = 45{,}5+27 = 72{,}5\)

72,5 kg — interpolation, car \(3{,}5 \in [1\,;\,5]\)

e) Estimation pour 10 kg et esprit critique

Calcul\(y = 13\times 10 + 27 = 130+27 = 157\)

10 kg est très en dehors de l'intervalle observé \([1\,;\,5]\) : cette extrapolation suppose que la tendance reste linéaire indéfiniment. Or, en réalité, un excès d'engrais finit souvent par nuire aux plantes plutôt que d'augmenter le rendement : le raisonnement du maraîcher n'est pas fiable.

157 kg — extrapolation non fiable, le raisonnement du maraîcher est risqué

Problème 3 — Le club sportif

Problème de synthèse tableau croisé · fréquences · diagrammes

✓ Vu

Un club sportif interroge ses 180 adhérents sur leur activité principale (Natation ou Fitness), selon leur tranche d'âge. Voici le tableau croisé obtenu (une case a été effacée) :

	Natation	Fitness	Total
Moins de 30 ans	48	72	120
30 ans et plus	?	36	60
Total	72	108	180

Activité selon la tranche d'âge

Natation Fitness

Répartition sur les 180 adhérents

Natation Fitness

a) Retrouve l'effectif manquant du tableau (adhérents de 30 ans et plus pratiquant la natation).

b) Quelle est la fréquence de « pratiquer la natation » parmi tous les adhérents interrogés ?

c) Calcule la fréquence de « pratiquer la natation » chez les moins de 30 ans, puis chez les 30 ans et plus. Que remarques-tu en comparant ces deux valeurs à celle de la question b) ?

d) Vérifie par le calcul que les pourcentages affichés sur le diagramme circulaire (40% et 60%) sont corrects.

e) Le président du club affirme : « Comme la fréquence est la même dans les deux tranches d'âge, l'âge n'a aucune influence sur le choix de l'activité. » Que penses-tu de cette affirmation ?

💡 Indices

Utilise le total de la ligne « 30 ans et plus » (60) ou le total de la colonne « Natation » (72) : les deux donnent le même résultat.

Distingue ce que ce tableau précis montre (une observation sur cet échantillon de 180 adhérents) de ce qu'il prouverait en général — un peu comme pour la corrélation et la causalité au problème 1.

a) Case manquante

Par la ligne\(60 - 36 = 24\)

Vérification (colonne)\(72 - 48 = 24\) ✓ cohérent

24 adhérents de 30 ans et plus pratiquent la natation

b) Fréquence globale

Calcul\(\dfrac{72}{180} = 0{,}4\)

40% de tous les adhérents interrogés pratiquent la natation

c) Fréquences par tranche d'âge

Moins de 30 ans\(\dfrac{48}{120} = 0{,}4\)

30 ans et plus\(\dfrac{24}{60} = 0{,}4\)

Les trois fréquences valent exactement 40% : la proportion de natation est la même dans chaque tranche d'âge que dans l'ensemble du club

d) Vérification du diagramme circulaire

Natation\(\dfrac{72}{180} = 0{,}4 = 40\%\)

Fitness\(\dfrac{108}{180} = 0{,}6 = 60\%\)

✓ Les pourcentages du diagramme sont exacts, et \(40\%+60\%=100\%\)

e) Interprétation du président

Sur cet échantillon précis de 180 adhérents, l'observation est juste : la fréquence de pratiquer la natation est identique (40%) dans les deux tranches d'âge, donc rien dans ces données ne suggère un lien entre l'âge et l'activité choisie. Mais attention : comme pour la corrélation et la causalité, une seule enquête — même sans lien apparent — ne prouve jamais qu'il n'existe aucune influence en général ; elle montre seulement que ce lien n'apparaît pas dans cet échantillon.

L'observation est correcte sur ces données, mais on ne peut pas en tirer une conclusion générale et définitive