Cette fois, on croise deux séries de données à la fois — et on retrouve, encore, les outils des chapitres 1 et 2.
En 2nde, tu as appris à résumer une seule série de données (moyenne, médiane, quartiles). Ici, on s'intéresse à des situations où l'on mesure deux grandeurs en même temps sur les mêmes individus, pour voir si l'une semble influencer l'autre.
Pour chaque journée, on relève la température et le nombre de glaces vendues. Est-ce que l'une dépend de l'autre ?
Pour chaque élève, on relève le nombre d'heures de révision et la note obtenue. Y a-t-il une tendance ?
Bonne nouvelle : la boîte à outils est presque entièrement déjà dans ta poche. La formule pour calculer un coefficient directeur à partir de deux points (chapitre 1, retrouvée avec la raison au chapitre 2) va être réutilisée telle quelle pour trouver la tendance d'un nuage de points réel.
L'ensemble des points \((x_i\,;\,y_i)\) obtenus en plaçant chaque individu dans un repère, une coordonnée par grandeur mesurée.
Le point de coordonnées \((\bar x\,;\,\bar y)\), où \(\bar x\) et \(\bar y\) sont les moyennes (déjà connues depuis la 2nde) de chaque série.
| Température (°C) | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|
| Glaces vendues (dizaines) | 28 | 44 | 57 | 63 | 83 |
Abscisse : température (°C) — Ordonnée : glaces vendues (dizaines)
Oui, à peu près : les points ne sont pas parfaitement sur une droite (des données réelles ne le sont jamais), mais ils suivent clairement une tendance croissante. C'est exactement le genre de nuage où un ajustement affine a du sens.
Pour une série de points \((x_1;y_1), (x_2;y_2), \dots, (x_n;y_n)\), le point moyen est le point \(G(\bar x\,;\,\bar y)\), où :
Rien de nouveau dans le calcul : c'est la moyenne que tu connais depuis la 2nde, appliquée deux fois — une fois sur les \(x\), une fois sur les \(y\).
Pour 4 élèves, on relève le nombre d'heures de révision et la note obtenue : (1 ; 8), (2 ; 11), (3 ; 13), (4 ; 16). Calcule les coordonnées du point moyen \(G\).
Quand le nuage a une allure globalement rectiligne, on peut tracer une droite qui résume la tendance : c'est la droite d'ajustement affine.
Pour l'exemple des révisions (point moyen \(G(2{,}5\,;\,12)\)), on trace une droite d'ajustement qui passe par les points \((1\,;\,7)\) et \((4\,;\,16)\). Détermine son équation.
Une fois la droite trouvée, on peut s'en servir pour estimer une valeur qu'on n'a pas mesurée.
Estimer une valeur à l'intérieur de l'intervalle des données mesurées. Plutôt fiable.
Estimer une valeur en dehors de l'intervalle mesuré. Beaucoup plus risqué.
Rien ne garantit que la tendance observée entre 15°C et 35°C se poursuive à 45°C : au-delà d'un certain seuil, les clients restent peut-être chez eux plutôt que d'aller acheter des glaces ! Plus on s'éloigne des données mesurées, moins l'estimation est fiable.
Un nuage bien aligné montre que deux grandeurs évoluent ensemble, pas que l'une cause l'autre. Exemple classique : les ventes de glaces et le nombre de noyades augmentent toutes les deux en été — pas parce que manger une glace ferait se noyer, mais parce que la chaleur explique les deux à la fois !
Jusqu'ici, on a croisé deux grandeurs chiffrées (température, ventes). Mais on peut aussi croiser deux catégories — c'est ce qu'on appelle des caractères qualitatifs.
Se mesure par un nombre : température, taille, nombre d'heures de révision... (c'est ce qu'on a utilisé dans les parties précédentes)
Se range dans des catégories (non numériques) : couleur, parfum préféré, moyen de transport, genre musical...
Quand on observe deux caractères qualitatifs sur le même groupe d'individus, on range les effectifs (nombre d'individus) dans un tableau à double entrée : une ligne par modalité du premier caractère, une colonne par modalité du second.
| Chocolat | Fruits | Total | |
|---|---|---|---|
| Été | 40 | 120 | 160 |
| Hiver | 50 | 30 | 80 |
| Total | 90 | 150 | 240 |
Chaque cellule donne l'effectif des clients qui vérifient les deux modalités à la fois : par exemple, 120 clients interrogés en été préfèrent les fruits.
Comme pour une série simple, on peut transformer un effectif en fréquence (proportion, souvent en %) en divisant par un total :
Selon la question posée, le « total » peut être l'effectif global (240), celui d'une ligne (160 en été) ou celui d'une colonne (90 pour Chocolat) — comme pour les probabilités conditionnelles, il faut bien repérer sur quelle population on raisonne !
\(\dfrac{90}{240} = 0{,}375\) soit 37,5% des clients interrogés.
Parmi les clients interrogés en été seulement, quelle proportion préfère les fruits ?
Un tableau croisé se lit vite, mais un diagramme en barres ou un diagramme circulaire permet souvent de comparer les catégories plus rapidement.
Répartition des parfums, tous clients confondus (diagramme circulaire) :
D'après le diagramme en barres, quelle saison a vendu le plus de glaces aux fruits ? Et quelle fréquence (en %) des clients interrogés en hiver cela représente-t-il ?
Diagramme en barres et diagramme circulaire montrent la même information que le tableau croisé — c'est juste une autre façon de la présenter. Le barres sont pratiques pour comparer des effectifs entre catégories ; le circulaire est pratique pour visualiser une répartition en parts d'un tout (les pourcentages doivent alors sommer à 100%).