Chapitre 4 · Première · Second degré

Reconnaître et écrire
une fonction du second degré

Feuille 1 sur 5 — Définition, coefficients a, b, c et les trois écritures

📘 Notion nouvelle ✏️ 5 exercices 🎯 Entrée en douceur

📌 Ce qu'il faut avoir en tête pour cette feuille

Définition
Une fonction \(f\) est polynôme du second degré si elle s'écrit :
\(f(x) = ax^2+bx+c\), avec \(a \neq 0\)
Si \(a = 0\), il n'y a plus de terme en \(x^2\) : ce n'est plus du second degré !
Trois écritures possibles
• Développée : \(ax^2+bx+c\)
• Réduite (cas \(b=0\)) : \(ax^2+c\)
• Factorisée : \(a(x-x_1)(x-x_2)\)
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

Identification Coefficients a, b, c
✓ Vu

Pour chacune des fonctions suivantes, donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).

a)
\(f(x) = 2x^2 - 7x + 3\)
b)
\(g(x) = -x^2 + 5\)
c)
\(h(x) = 4x^2 - 9x\)
d)
\(k(x) = -3x^2\)

💡 Méthode : compare chaque expression au modèle \(ax^2+bx+c\). Si un terme n'apparaît pas, son coefficient vaut 0.

💡 Indices

Il n'y a pas de terme en \(x\) : donc \(b = 0\).
Il n'y a pas de terme constant (pas de nombre seul) : donc \(c = 0\).
Ici il n'y a ni terme en \(x\), ni terme constant : \(b=0\) et \(c=0\).
a) \(f(x) = 2x^2 - 7x + 3\)
\(a = 2\) ; \(b = -7\) ; \(c = 3\)
b) \(g(x) = -x^2 + 5\)
\(a = -1\) ; \(b = 0\) ; \(c = 5\)
🔎 Pas de terme en \(x\) → \(b=0\). C'est la forme réduite.
c) \(h(x) = 4x^2 - 9x\)
\(a = 4\) ; \(b = -9\) ; \(c = 0\)
🔎 Pas de terme constant → \(c=0\).
d) \(k(x) = -3x^2\)
\(a = -3\) ; \(b = 0\) ; \(c = 0\)

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux Condition \(a \neq 0\)
✓ Vu

Pour chaque fonction, dire si c'est une fonction du second degré. Si ce n'est pas le cas, préciser de quel type de fonction il s'agit.

a) \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
b) \(g(x) = 6x - 4\)
c) \(h(x) = -8x^2\)
d) \(k(x) = 5\)
e) \(m(x) = 0 \times x^2 + 3x - 1\)

💡 Indices

Repère systématiquement le coefficient devant \(x^2\). S'il vaut 0 (ou s'il n'y a pas de terme en \(x^2\) du tout), ce n'est pas du second degré.
Calcule d'abord \(0 \times x^2\). Que reste-t-il comme expression ?
a) \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
✅ Second degré : \(a = 3 \neq 0\).
b) \(g(x) = 6x - 4\)
❌ Pas du second degré.
⚠️ Aucun terme en \(x^2\) : c'est une fonction affine (chapitre 1).
c) \(h(x) = -8x^2\)
✅ Second degré : \(a = -8 \neq 0\), \(b=0\), \(c=0\).
d) \(k(x) = 5\)
❌ Pas du second degré.
⚠️ C'est une fonction constante : \(a=0\) et \(b=0\).
e) \(m(x) = 0 \times x^2 + 3x - 1\)
On simplifie\(0 \times x^2 = 0\), donc \(m(x) = 3x - 1\)
❌ Pas du second degré.
⚠️ Le piège classique : ici \(a = 0\), même si un « \(x^2\) » apparaît dans l'écriture de départ. C'est une fonction affine.

Exercice 3 / 5

Vocabulaire Les trois écritures
✓ Vu

Pour chaque fonction, préciser si elle est écrite sous forme développée, réduite ou factorisée.

a) \(f(x) = 3(x-2)(x+5)\)
b) \(g(x) = 2x^2 - 4x + 7\)
c) \(h(x) = -5x^2 + 9\)
d) \(k(x) = 7(x+1)(x-1)\)

💡 Rappel : la forme réduite est un cas particulier de la forme développée, sans terme en \(x\) (\(b=0\)).

💡 Indices

Si tu vois un produit de deux parenthèses \((x-\ldots)(x-\ldots)\), c'est la forme factorisée. Sinon, regarde s'il y a un terme en \(x\) tout seul (b) pour distinguer développée et réduite.
a) \(f(x) = 3(x-2)(x+5)\)
Forme factorisée.
b) \(g(x) = 2x^2 - 4x + 7\)
Forme développée (il y a un terme en \(x\), donc \(b \neq 0\)).
c) \(h(x) = -5x^2 + 9\)
Forme réduite (pas de terme en \(x\), donc \(b=0\)).
d) \(k(x) = 7(x+1)(x-1)\)
Forme factorisée.

Exercice 4 / 5

Calcul Développer puis identifier
✓ Vu

Soit \(f(x) = 2(x-3)(x+1)\).

1. Développer \(f(x)\) pour obtenir sa forme développée.
2. En déduire les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).
3. Justifier que \(f\) est bien une fonction du second degré.

💡 Indices

Développe d'abord \((x-3)(x+1)\) avec la double distributivité, puis multiplie tout le résultat par 2.
1. Développer
Distributivité\((x-3)(x+1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3\)
On multiplie par 2\(f(x) = 2(x^2-2x-3) = 2x^2 - 4x - 6\)
\(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\)
2. Coefficients
\(a = 2\) ; \(b = -4\) ; \(c = -6\)
3. Justifier
\(a = 2 \neq 0\), donc \(f\) est bien une fonction du second degré.
🌟 Une même fonction peut être écrite sous forme factorisée ou développée : ce sont deux écritures différentes de la même fonction, comme on l'a vu à l'exercice 3.

Exercice 5 / 5

Problème Modélisation
✓ Vu
💰
Le chiffre d'affaires d'un stand de crêpes

Un vendeur de crêpes vend chaque crêpe au prix de \(x\) euros. Le nombre de crêpes vendues dans la journée dépend du prix : plus il augmente le prix, moins il vend de crêpes. Son chiffre d'affaires (en euros) est modélisé par la fonction :

\(C(x) = -20x^2 + 100x\)
1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) pour cette fonction.
2. Justifier que \(C\) est une fonction du second degré.
3. Sous quelle forme (développée, réduite ou factorisée) cette fonction est-elle écrite ?
4. Calculer \(C(2)\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

💡 Indices

Remplace \(x\) par 2 dans l'expression de \(C(x)\), puis pense à donner l'unité (des euros) dans ta phrase de conclusion.
1. Coefficients
\(a = -20\) ; \(b = 100\) ; \(c = 0\)
2. Justifier
\(a = -20 \neq 0\), donc \(C\) est bien une fonction du second degré.
3. Forme d'écriture
Forme développée (pas de terme constant, mais présence d'un terme en \(x\), donc ce n'est pas la forme réduite ; et il n'y a pas de produit de parenthèses, donc ce n'est pas la forme factorisée).
4. Calcul et interprétation
Calcul\(C(2) = -20\times2^2+100\times2 = -80+200 = 120\)
\(C(2) = 120\)
🌟 En vendant chaque crêpe à 2 €, le vendeur réalise un chiffre d'affaires de 120 € sur la journée.
🎉
Feuille terminée !
★★★★★

Tu sais reconnaître et écrire une fonction du second degré. La feuille 2 t'attend pour attaquer l'allure de la parabole et le sommet !

🏠