Chapitre 4 · Première · Second degré

Allure de la parabole,
axe de symétrie et sommet

Feuille 2 sur 5 — Orientation, méthode des deux images égales et coordonnées du sommet

🔁 Révisions F1 ✏️ 5 exercices 📘 Notion nouvelle

📌 Ce qu'il faut avoir en tête pour cette feuille

Orientation de la parabole
Le signe de \(a\) (celui qu'on identifiait déjà en feuille 1) détermine tout :
• \(a>0\) → ouverte vers le haut (sommet = minimum)
• \(a<0\) → ouverte vers le bas (sommet = maximum)
Axe de symétrie et sommet
Si \(f(x_1) = f(x_2)\), l'axe de symétrie passe par leur milieu :
\(x = \dfrac{x_1+x_2}{2}\)
Le sommet a alors pour abscisse cette valeur, et pour ordonnée l'image de cette valeur par \(f\).
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

🔁 Révision F1 Orientation de la parabole
✓ Vu

Pour chaque fonction : donner la valeur de \(a\) (comme en feuille 1), puis en déduire si la parabole associée est ouverte vers le haut ou vers le bas.

a)
\(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
b)
\(g(x) = -5x^2 + 4\)
c)
\(h(x) = -x^2 - 3x\)
d)
\(k(x) = 0{,}5x^2\)

💡 Indices

Le coefficient devant \(x^2\) est \(-1\) (même s'il n'est pas écrit explicitement).
a) \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\)
\(a=3>0\) → parabole ouverte vers le haut.
b) \(g(x) = -5x^2 + 4\)
\(a=-5<0\) → parabole ouverte vers le bas.
c) \(h(x) = -x^2 - 3x\)
\(a=-1<0\) → parabole ouverte vers le bas.
d) \(k(x) = 0{,}5x^2\)
\(a=0{,}5>0\) → parabole ouverte vers le haut.

Exercice 2 / 5

Orientation 🔁 Formes d'écriture (F1)
✓ Vu

Pour chaque fonction ci-dessous, préciser sous quelle forme elle est écrite (développée, réduite ou factorisée, comme en feuille 1), puis donner l'orientation de sa parabole.

a) \(f(x) = 2(x-1)(x+4)\)
b) \(g(x) = -3x^2 + 6\)
c) \(h(x) = -7(x+2)(x-5)\)

💡 Le coefficient \(a\) est toujours visible, quelle que soit la forme d'écriture : c'est le nombre placé devant \(x^2\), ou devant les parenthèses en forme factorisée.

💡 Indices

Dans \(a(x-x_1)(x-x_2)\), le \(a\) est le nombre tout devant, en dehors des parenthèses.
a) \(f(x) = 2(x-1)(x+4)\)
Forme factorisée. \(a=2>0\) → ouverte vers le haut.
b) \(g(x) = -3x^2 + 6\)
Forme réduite (\(b=0\)). \(a=-3<0\) → ouverte vers le bas.
c) \(h(x) = -7(x+2)(x-5)\)
Forme factorisée. \(a=-7<0\) → ouverte vers le bas.

Exercice 3 / 5

Méthode Axe de symétrie
✓ Vu

Pour chaque fonction, on donne deux valeurs de \(x\) qui ont la même image. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.

a)
\(f(1) = f(7)\)
b)
\(g(-3) = g(5)\)
c)
\(h(0) = h(6)\)
d)
\(k(-4) = k(-1)\)

💡 Indices

L'axe de symétrie passe par le milieu des deux valeurs de \(x\) : \(x = \dfrac{x_1+x_2}{2}\).
Attention aux nombres négatifs dans la moyenne : \(\dfrac{-4+(-1)}{2}\).
a) \(f(1) = f(7)\)
Axe de symétrie : \(x = \dfrac{1+7}{2} = 4\)
b) \(g(-3) = g(5)\)
Axe de symétrie : \(x = \dfrac{-3+5}{2} = 1\)
c) \(h(0) = h(6)\)
Axe de symétrie : \(x = \dfrac{0+6}{2} = 3\)
d) \(k(-4) = k(-1)\)
Axe de symétrie : \(x = \dfrac{-4+(-1)}{2} = -2{,}5\)

Exercice 4 / 5

Calcul Coordonnées du sommet
✓ Vu

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).

1. Calculer \(f(0)\).
2. Trouver une autre valeur de \(x\) (différente de 0) telle que \(f(x) = f(0)\), en résolvant l'équation \(x^2-6x+5=5\).
3. En déduire l'axe de symétrie de la parabole.
4. Calculer les coordonnées du sommet \(S\).

💡 Indices

L'équation \(x^2-6x+5=5\) se simplifie en \(x^2-6x=0\), puis se factorise en \(x(x-6)=0\).
1. \(f(0)\)
\(f(0) = 0-0+5 = 5\)
2. Autre solution
Équation\(x^2-6x+5=5 \Rightarrow x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0\)
Solutions\(x=0\) ou \(x=6\)
L'autre valeur est \(x=6\) : \(f(0)=f(6)=5\)
3. Axe de symétrie
\(x = \dfrac{0+6}{2} = 3\)
4. Sommet
Calcul\(f(3) = 9-18+5 = -4\)
Sommet : \(S(3\,;\,-4)\)
🌟 Ici \(a=1>0\) (comme en feuille 1) : la parabole est ouverte vers le haut, donc ce sommet est un minimum.

Exercice 5 / 5

Problème 🔁 Synthèse F1 + F2
✓ Vu
🏀
La trajectoire d'un ballon de basket

Un joueur tire un ballon. Sa hauteur \(h(x)\) (en mètres), en fonction de la distance horizontale parcourue \(x\) (en mètres), est modélisée par :

\(h(x) = -0{,}5x^2 + 4x\)
1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\), puis vérifier que \(h\) est bien une fonction du second degré.
2. Sans calcul, dire si la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas, et donner la nature de son sommet (minimum ou maximum).
3. On donne \(h(0) = h(8) = 0\). En déduire l'abscisse du sommet de la trajectoire.
4. Calculer l'ordonnée du sommet, puis interpréter ce résultat dans le contexte du problème.

💡 Indices

L'ordonnée du sommet représente la hauteur maximale atteinte par le ballon, en mètres.
1. Coefficients
\(a = -0{,}5\) ; \(b = 4\) ; \(c = 0\). Comme \(a \neq 0\), \(h\) est bien une fonction du second degré.
2. Orientation
\(a=-0{,}5<0\) → parabole ouverte vers le bas, donc le sommet est un maximum.
🌟 Ce qui est cohérent avec le contexte : un ballon monte, atteint un maximum, puis redescend.
3. Abscisse du sommet
\(x = \dfrac{0+8}{2} = 4\)
4. Ordonnée et interprétation
Calcul\(h(4) = -0{,}5\times16+4\times4 = -8+16 = 8\)
Sommet : \(S(4\,;\,8)\)
🌟 Le ballon atteint une hauteur maximale de 8 mètres, après avoir parcouru 4 mètres horizontalement.
🎉
Feuille terminée !
★★★★★

Tu sais déterminer l'orientation d'une parabole et trouver son sommet sans formule. La feuille 3 t'attend pour construire le tableau de variation !

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