Chapitre 4 · Première · Second degré

Tableau de variation

Feuille 3 sur 5 — Construire et lire le tableau de variation d'une fonction du second degré

🔁 Révisions F1 + F2 ✏️ 5 exercices 📘 Notion nouvelle

📌 Ce qu'il faut avoir en tête pour cette feuille

Cas \(a>0\) : le sommet est un minimum
\(f\) décroît avant le sommet, puis croît après.
x
−∞
\(x_S\)
+∞
f(x)
↘
\(y_S\)
↗
Cas \(a<0\) : le sommet est un maximum
\(f\) croît avant le sommet, puis décroît après.
x
−∞
\(x_S\)
+∞
f(x)
↗
\(y_S\)
↘
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

🔁 Révision F1 + F2 Nature du sommet
✓ Vu

Pour chaque fonction, on donne le coefficient \(a\) et les coordonnées du sommet \(S\) (calculés comme en feuille 2). Préciser si ce sommet est un minimum ou un maximum de la fonction.

a)
\(a = 4\) ; \(S(2\,;\,-5)\)
b)
\(a = -2\) ; \(S(-1\,;\,7)\)
c)
\(a = 0{,}5\) ; \(S(0\,;\,3)\)
d)
\(a = -6\) ; \(S(5\,;\,-2)\)

💡 Indices

Seul le signe de \(a\) compte : \(a>0\) → minimum, \(a<0\) → maximum. Les coordonnées de \(S\) ne changent pas la réponse.
a) \(a=4>0\)
Le sommet \(S(2\,;\,-5)\) est un minimum.
b) \(a=-2<0\)
Le sommet \(S(-1\,;\,7)\) est un maximum.
c) \(a=0{,}5>0\)
Le sommet \(S(0\,;\,3)\) est un minimum.
d) \(a=-6<0\)
Le sommet \(S(5\,;\,-2)\) est un maximum.

Exercice 2 / 5

Construction Tableau de variation
✓ Vu

Construire le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes, à partir du coefficient \(a\) et des coordonnées du sommet donnés.

a) \(f\) telle que \(a=2\) et \(S(3\,;\,-1)\)
b) \(g\) telle que \(a=-3\) et \(S(-2\,;\,5)\)

💡 Indices

Place d'abord \(-\infty\), l'abscisse du sommet, et \(+\infty\) sur la ligne du haut. Puis trace les flèches selon le signe de \(a\) (voir le rappel en haut de la feuille).
a) \(a=2>0\) → minimum
x
−∞
3
+∞
f(x)
↘
−1
↗
b) \(a=-3<0\) → maximum
x
−∞
−2
+∞
g(x)
↗
5
↘

Exercice 3 / 5

Lecture Comparaison d'images
✓ Vu

On donne le tableau de variation d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) :

x
−∞
4
+∞
f(x)
↘
−3
↗
1. Quel est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
2. Comparer \(f(1)\) et \(f(3)\) sans calculer, uniquement à l'aide du tableau.
3. Comparer \(f(5)\) et \(f(9)\) sans calculer.
4. Peut-on comparer \(f(2)\) et \(f(6)\) uniquement à l'aide de ce tableau ? Justifier.

💡 Indices

1 et 3 sont tous les deux avant 4 : on est dans la partie où \(f\) est décroissante.
2 est avant 4 (partie décroissante) et 6 est après 4 (partie croissante) : les deux valeurs ne sont pas dans le même sens de variation.
1. Minimum
Le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(-3\), atteint en \(x=4\).
2. \(f(1)\) et \(f(3)\)
\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,4]\). Comme \(1 < 3\), on a \(f(1) > f(3)\).
3. \(f(5)\) et \(f(9)\)
\(f\) est croissante sur \([4\,;\,+\infty[\). Comme \(5 < 9\), on a \(f(5) < f(9)\).
4. \(f(2)\) et \(f(6)\)
Non, on ne peut pas conclure avec le seul tableau.
⚠️ 2 appartient à la partie décroissante et 6 à la partie croissante : ce ne sont pas les mêmes règles de comparaison. Il faudrait calculer \(f(2)\) et \(f(6)\) pour trancher.

Exercice 4 / 5

Synthèse 🔁 F1 + F2 + F3
✓ Vu

Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x\). On donne \(f(0) = f(4) = 0\).

1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\), puis en déduire l'orientation de la parabole (comme en feuille 1).
2. À l'aide de \(f(0) = f(4)\), déterminer les coordonnées du sommet \(S\) (comme en feuille 2).
3. Construire le tableau de variation complet de \(f\).

💡 Indices

L'axe de symétrie passe par le milieu de 0 et 4. L'ordonnée du sommet s'obtient en calculant \(f\) en cette valeur.
1. Coefficients et orientation
\(a = -2\) ; \(b = 8\) ; \(c = 0\). Comme \(a=-2<0\), la parabole est ouverte vers le bas.
2. Sommet
Abscisse\(x_S = \dfrac{0+4}{2} = 2\)
Ordonnée\(f(2) = -2\times4+8\times2 = -8+16=8\)
Sommet : \(S(2\,;\,8)\)
3. Tableau de variation
x
−∞
2
+∞
f(x)
↗
8
↘

Exercice 5 / 5

Problème 🔁 Synthèse complète
✓ Vu
🌾
Un enclos rectangulaire

Un agriculteur dispose de 40 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire. Si \(x\) désigne la longueur d'un des côtés (en mètres), l'aire de l'enclos (en m²) est modélisée par :

\(A(x) = x(20-x)\)
1. Développer \(A(x)\) et donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).
2. Justifier que la parabole associée est ouverte vers le bas.
3. On remarque que \(A(0) = A(20) = 0\). En déduire les coordonnées du sommet de la parabole.
4. Construire le tableau de variation de \(A\) sur \([0\,;\,20]\), puis conclure : quelle longueur \(x\) permet d'obtenir l'aire maximale, et quelle est cette aire ?

💡 Indices

Distribue \(x\) sur \((20-x)\) : \(A(x) = 20x - x^2\), qu'on réordonne en \(-x^2+20x\).
1. Développer et coefficients
Développement\(A(x) = 20x - x^2 = -x^2+20x\)
\(a = -1\) ; \(b = 20\) ; \(c = 0\)
2. Orientation
\(a=-1<0\), donc la parabole est bien ouverte vers le bas.
3. Sommet
Abscisse\(x_S = \dfrac{0+20}{2} = 10\)
Ordonnée\(A(10) = 10\times(20-10) = 10\times10=100\)
Sommet : \(S(10\,;\,100)\)
4. Tableau de variation et conclusion
x
0
10
20
A(x)
↗
100
↘
🌟 L'aire est maximale pour \(x = 10\,\text{m}\), avec une aire de \(100\,\text{m}^2\) — l'enclos idéal est donc un carré de 10 m de côté !
🎉
Feuille terminée !
★★★★★

Tu sais construire et lire un tableau de variation, et t'en servir pour résoudre un problème d'optimisation. La feuille 4 t'attend pour attaquer les racines et le signe d'une fonction du second degré !

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