Chapitre 4 · Première · Second degré

Racines et signe
d'une fonction du second degré

Feuille 4 sur 5 — Lecture des racines, tableau de signe et inéquations (forme factorisée)

🔁 Révisions F1 + F3 ✏️ 5 exercices 📘 Notion nouvelle

📌 Ce qu'il faut avoir en tête pour cette feuille

Lire les racines
Sous forme factorisée \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
\(f(x) = 0 \iff x = x_1 \text{ ou } x = x_2\)
\(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(f\) (déjà repérée en feuille 1).
Signe de \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\)
Le signe de \(f\) dépend du signe de \(a\) (feuille 1) :
• à l'extérieur des racines : signe de \(a\)
• entre les racines : signe opposé à \(a\)
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

🔁 Révision F1 Lire les racines
✓ Vu

Pour chaque fonction : donner la valeur de \(a\) (comme en feuille 1), puis lire directement ses racines.

a)
\(f(x) = 3(x-2)(x+5)\)
b)
\(g(x) = -2(x+1)(x-4)\)
c)
\(h(x) = 5(x-3)^2\)
d)
\(k(x) = -x(x-6)\)

💡 Indices

\((x+1)\) s'écrit aussi \((x-(-1))\) : la racine associée est donc \(-1\), pas \(1\).
\((x-3)^2 = (x-3)(x-3)\) : les deux facteurs donnent la même racine. On parle de racine double.
\(-x(x-6) = -1\times(x-0)\times(x-6)\) : on retrouve la forme \(a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(a=-1\).
a) \(f(x) = 3(x-2)(x+5)\)
\(a=3\). Racines : \(x_1=2\) et \(x_2=-5\).
b) \(g(x) = -2(x+1)(x-4)\)
\(a=-2\). Racines : \(x_1=-1\) et \(x_2=4\).
c) \(h(x) = 5(x-3)^2\)
\(a=5\). Racine double : \(x_0=3\).
🌟 Ici la parabole ne touche l'axe des abscisses qu'en un seul point : son sommet !
d) \(k(x) = -x(x-6)\)
\(a=-1\). Racines : \(x_1=0\) et \(x_2=6\).

Exercice 2 / 5

Construction Tableau de signe
✓ Vu

Construire le tableau de signe de chacune des fonctions suivantes, à partir du coefficient \(a\) et des racines données.

a) \(f\) telle que \(a=2\), racines \(-1\) et \(3\)
b) \(g\) telle que \(a=-4\), racines \(0\) et \(5\)

💡 Indices

Place d'abord les racines dans l'ordre croissant sur la ligne du haut. À l'extérieur : signe de \(a\). Entre les racines : signe opposé.
a) \(a=2>0\), racines \(-1\) et \(3\)
x
−∞
−1
3
+∞
Signe de f(x)
+
0
−
0
+
b) \(a=-4<0\), racines \(0\) et \(5\)
x
−∞
0
5
+∞
Signe de g(x)
−
0
+
0
−

Exercice 3 / 5

Lecture Inéquations
✓ Vu

On donne le tableau de signe d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) :

x
−∞
−2
4
+∞
Signe de f(x)
−
0
+
0
−
1. Résoudre \(f(x) = 0\).
2. Résoudre \(f(x) > 0\).
3. Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).

💡 Indices

Le symbole \(\leqslant\) inclut l'égalité : il faut donc inclure les racines dans la solution.
1. \(f(x) = 0\)
\(\mathcal{S} = \{-2\,;\,4\}\)
2. \(f(x) > 0\)
\(\mathcal{S} = \left]-2\,;\,4\right[\)
🌟 On lit uniquement la zone où le tableau affiche « + », sans les bornes puisque l'inégalité est stricte.
3. \(f(x) \leqslant 0\)
\(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,-2\right] \cup \left[4\,;\,+\infty\right[\)
⚠️ On inclut cette fois \(-2\) et \(4\) (crochets fermés), car \(f(x)=0\) vérifie bien \(f(x)\leqslant0\).

Exercice 4 / 5

Synthèse 🔁 F1 + F3 + F4
✓ Vu

Soit \(f(x) = -(x-1)(x-5)\).

1. Développer \(f(x)\), puis donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) (comme en feuille 1).
2. Donner l'orientation de la parabole et la nature de son sommet (comme en feuille 2-3).
3. Donner les racines de \(f\).
4. Construire le tableau de signe de \(f\).
5. Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).

💡 Indices

Développe \((x-1)(x-5)\) puis n'oublie pas de distribuer le signe « − » devant.
1. Développer et coefficients
Développement\((x-1)(x-5) = x^2-6x+5\)
On distribue le −\(f(x) = -x^2+6x-5\)
\(a=-1\) ; \(b=6\) ; \(c=-5\)
2. Orientation et sommet
\(a=-1<0\) → parabole ouverte vers le bas, sommet maximum.
3. Racines
\(x_1=1\) et \(x_2=5\)
4. Tableau de signe
x
−∞
1
5
+∞
Signe de f(x)
−
0
+
0
−
5. \(f(x) \leqslant 0\)
\(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,1\right] \cup \left[5\,;\,+\infty\right[\)

Exercice 5 / 5

Problème 🔁 Synthèse complète
✓ Vu
🏀
La trajectoire d'un ballon de basket (suite de la feuille 2)

On reprend la fonction hauteur du ballon (en mètres) en fonction de la distance horizontale \(x\) (en mètres) :

\(h(x) = -0{,}5x^2 + 4x\)
1. Factoriser \(h(x)\) en mettant \(-0{,}5x\) en facteur commun.
2. En déduire les racines de \(h\).
3. Construire le tableau de signe de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Résoudre \(h(x) > 0\), puis interpréter : sur quel intervalle de distances le ballon est-il strictement au-dessus du sol ?

💡 Indices

\(-0{,}5x^2+4x = -0{,}5x \times x + (-0{,}5x)\times(-8)\) : vérifie en développant que \(-0{,}5x(x-8)\) redonne bien \(h(x)\).
1. Factorisation
Facteur commun\(h(x) = -0{,}5x(x-8)\)
\(h(x) = -0{,}5x(x-8)\)
2. Racines
\(x_1=0\) et \(x_2=8\)
🌟 Ce sont les deux instants où le ballon touche le sol : au tir (\(x=0\)) et à la réception (\(x=8\)).
3. Tableau de signe
x
−∞
0
8
+∞
Signe de h(x)
−
0
+
0
−
\(a=-0{,}5<0\) : signe « − » à l'extérieur des racines, « + » entre les racines — conforme au tableau.
4. \(h(x) > 0\) et interprétation
\(\mathcal{S} = \left]0\,;\,8\right[\)
🌟 Le ballon est strictement au-dessus du sol pour toute distance horizontale comprise entre 0 et 8 mètres — ce qui correspond exactement à la durée de son vol, entre le tir et la réception.
🎉
Feuille terminée !
★★★★★

Tu sais lire les racines, construire un tableau de signe et résoudre des inéquations. Rendez-vous en feuille 5 pour la synthèse finale du chapitre !

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