Chapitre 4 · Première · Second degré

Synthèse du chapitre

Feuille 5 sur 5 — Écritures, sommet, tableau de variation, racines et signe : tout le chapitre réuni

🔁 Révisions F1 à F4 ✏️ 5 exercices 🏁 Bilan final

📌 Carte mémoire du chapitre

1. Définition et écritures
\(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\neq0\). Trois écritures : développée, réduite (\(b=0\)), factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
2. Orientation et sommet
\(a>0\) → creux vers le haut (min) ; \(a<0\) → vers le bas (max). Si \(f(x_1)=f(x_2)\), l'axe passe par \(x=\frac{x_1+x_2}{2}\).
3. Tableau de variation
Décrit le sens de variation de part et d'autre du sommet, selon le signe de \(a\).
4. Racines et signe
Sous forme factorisée, les racines s'obtiennent directement. Signe de \(a\) à l'extérieur des racines, opposé entre les deux.
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

Parcours complet 🔁 F1 à F4
✓ Vu

Soit \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\).

1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).
2. Vérifier que \(f(x) = 2(x+1)(x-3)\) en développant cette expression.
3. Donner l'orientation de la parabole et la nature de son sommet.
4. Vérifier que \(f(0) = f(2)\), puis en déduire les coordonnées du sommet \(S\).
5. Construire le tableau de variation de \(f\).
6. Donner les racines de \(f\) à l'aide de la forme factorisée.
7. Construire le tableau de signe de \(f\), puis résoudre \(f(x) \leqslant 0\).

💡 Indices

Calcule séparément \(f(0)\) et \(f(2)\) pour vérifier qu'ils sont égaux, puis applique la méthode du milieu.
1. Coefficients
\(a=2\) ; \(b=-4\) ; \(c=-6\)
2. Vérification
Développement\(2(x+1)(x-3) = 2(x^2-3x+x-3) = 2(x^2-2x-3) = 2x^2-4x-6\)
On retrouve bien \(f(x)\). ✓
3. Orientation et sommet
\(a=2>0\) → ouverte vers le haut, sommet = minimum.
4. Sommet
f(0)\(f(0) = -6\)
f(2)\(f(2) = 8-8-6 = -6\)
Abscisse\(x_S = \dfrac{0+2}{2} = 1\)
Ordonnée\(f(1) = 2-4-6 = -8\)
Sommet : \(S(1\,;\,-8)\)
5. Tableau de variation
x
−∞
1
+∞
f(x)
↘
−8
↗
6. Racines
\(x_1=-1\) et \(x_2=3\) (lues sur \(f(x)=2(x+1)(x-3)\))
7. Tableau de signe et inéquation
x
−∞
−1
3
+∞
Signe de f(x)
+
0
−
0
+
\(f(x)\leqslant0 \iff x\in[-1\,;\,3]\)

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux 🔁 Bilan du chapitre
✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) \(f(x) = 5x - 3\) est une fonction du second degré.
b) Si \(a>0\), la parabole associée est ouverte vers le bas.
c) Si \(a<0\), le sommet de la parabole est un maximum.
d) Si \(f(1)=f(7)\), alors l'axe de symétrie de la parabole est la droite \(x=4\).
e) Dans \(f(x)=3(x-2)(x+5)\), les racines de \(f\) sont \(2\) et \(5\).
f) Entre ses deux racines, le signe de \(f\) est toujours le même que celui de \(a\).

💡 Indices

\((x+5) = (x-(-5))\) : relis attentivement le signe devant la racine.
a) Faux
❌ Aucun terme en \(x^2\) : c'est une fonction affine.
b) Faux
❌ Si \(a>0\), la parabole est ouverte vers le haut.
c) Vrai
✅ \(a<0\) → parabole ouverte vers le bas → le sommet est bien un maximum.
d) Vrai
✅ \(\dfrac{1+7}{2}=4\) : l'axe de symétrie est bien \(x=4\).
e) Faux
❌ Les racines sont \(2\) et \(-5\), pas \(2\) et \(5\).
⚠️ Piège classique : \((x+5)=(x-(-5))\), la racine associée est \(-5\).
f) Faux
❌ Entre les racines, le signe de \(f\) est opposé à celui de \(a\).

Exercice 3 / 5

Problème 🔁 Synthèse complète
✓ Vu
📈
Le bénéfice d'une entreprise

Le bénéfice mensuel d'une entreprise (en milliers d'euros), en fonction de la quantité \(x\) produite (en centaines d'unités), est modélisé par :

\(B(x) = -2x^2 + 40x - 150\)
1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\), puis l'orientation de la parabole.
2. Vérifier que \(B(0)=B(20)\), puis en déduire les coordonnées du sommet.
3. Construire le tableau de variation de \(B\).
4. On admet que \(B(x) = -2(x-5)(x-15)\). Donner les racines de \(B\).
5. Construire le tableau de signe de \(B\), puis résoudre \(B(x) \geqslant 0\).
6. Conclure : pour quelle quantité produite le bénéfice est-il maximal, et quel est ce bénéfice maximal ? Pour quelles quantités l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

💡 Indices

Dans \(-2(x-5)(x-15)\), les racines se lisent directement, comme en feuille 4.
1. Coefficients et orientation
\(a=-2\) ; \(b=40\) ; \(c=-150\). Comme \(a<0\), parabole ouverte vers le bas.
2. Sommet
B(0)\(B(0) = -150\)
B(20)\(B(20) = -800+800-150=-150\)
Abscisse\(x_S=\dfrac{0+20}{2}=10\)
Ordonnée\(B(10) = -200+400-150=50\)
Sommet : \(S(10\,;\,50)\)
3. Tableau de variation
x
−∞
10
+∞
B(x)
↗
50
↘
4. Racines
\(x_1=5\) et \(x_2=15\)
5. Tableau de signe et inéquation
x
−∞
5
15
+∞
Signe de B(x)
−
0
+
0
−
\(B(x)\geqslant0 \iff x\in[5\,;\,15]\)
6. Conclusion
🌟 Le bénéfice est maximal (50 milliers d'€) pour une production de 1000 unités (\(x=10\)). L'entreprise est bénéficiaire (\(B(x)\geqslant0\)) pour une production comprise entre 500 et 1500 unités (\(x\in[5\,;\,15]\)).

Exercice 4 / 5

Bilan 🔁 Synthèse complète
✓ Vu
🚀
Le vol d'une fusée d'exercice

Une petite fusée est lancée depuis le sol. Son altitude \(h(t)\) (en mètres), en fonction du temps \(t\) (en secondes) depuis le lancement, est modélisée par :

\(h(t) = -5t^2 + 30t\)
1. Donner les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\), et vérifier que \(h\) est bien une fonction du second degré.
2. Factoriser \(h(t)\) en mettant \(-5t\) en facteur commun, puis donner les racines de \(h\).
3. À l'aide des racines, déterminer les coordonnées du sommet de la trajectoire.
4. Construire le tableau de variation de \(h\).
5. Construire le tableau de signe de \(h\), puis résoudre \(h(t) > 0\).
6. Conclure : combien de temps dure le vol de la fusée, et quelle altitude maximale atteint-elle ?

💡 Indices

\(-5t^2+30t = -5t\times t + (-5t)\times(-6)\).
1. Coefficients
\(a=-5\) ; \(b=30\) ; \(c=0\). Comme \(a\neq0\), \(h\) est bien une fonction du second degré.
2. Factorisation et racines
Factorisation\(h(t) = -5t(t-6)\)
Racines : \(t_1=0\) et \(t_2=6\)
3. Sommet
Abscisse\(t_S = \dfrac{0+6}{2} = 3\)
Ordonnée\(h(3) = -45+90=45\)
Sommet : \(S(3\,;\,45)\)
4. Tableau de variation
t
0
3
6
h(t)
↗
45
↘
On restreint ici le tableau à \([0\,;\,6]\), seul intervalle de temps ayant un sens physique.
5. Tableau de signe et inéquation
t
−∞
0
6
+∞
Signe de h(t)
−
0
+
0
−
\(h(t)>0 \iff t\in\left]0\,;\,6\right[\)
6. Conclusion
🌟 La fusée est en vol pendant 6 secondes (de \(t=0\) à \(t=6\)), et atteint une altitude maximale de 45 mètres après 3 secondes de vol.

Exercice 5 / 5

Bilan final 🔁 Retour à la Feuille 1
✓ Vu
🥞
Le stand de crêpes, pour de bon cette fois

Tu te souviens du vendeur de crêpes de la feuille 1 ? Son chiffre d'affaires (en euros), selon le prix \(x\) (en euros) d'une crêpe, était modélisé par \(C(x) = -20x^2+100x\). Cette fois, on va jusqu'au bout : à quel prix doit-il vendre ses crêpes pour maximiser son chiffre d'affaires ?

1. Rappeler les valeurs de \(a\), \(b\), \(c\), et l'orientation de la parabole associée à \(C\).
2. Factoriser \(C(x)\) en mettant \(-20x\) en facteur commun, puis donner ses racines.
3. À l'aide des racines, déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.
4. Construire le tableau de variation de \(C\).
5. Construire le tableau de signe de \(C\), puis résoudre \(C(x) > 0\). Ce résultat a-t-il un sens dans le contexte (un prix de crêpe peut-il être négatif) ?
6. Conclure : quel prix \(x\) permet de maximiser le chiffre d'affaires, et quel est ce chiffre d'affaires maximal ?

💡 Indices

Un prix de vente négatif n'a pas de sens : on ne retient donc que la partie de la solution avec \(x \geqslant 0\).
1. Coefficients et orientation
\(a=-20\) ; \(b=100\) ; \(c=0\). Comme \(a<0\), parabole ouverte vers le bas.
2. Factorisation et racines
Factorisation\(C(x) = -20x(x-5)\)
Racines : \(x_1=0\) et \(x_2=5\)
3. Sommet
Abscisse\(x_S=\dfrac{0+5}{2}=2{,}5\)
Ordonnée\(C(2{,}5) = -20\times6{,}25+100\times2{,}5=-125+250=125\)
Sommet : \(S(2{,}5\,;\,125)\)
4. Tableau de variation
x
−∞
2,5
+∞
C(x)
↗
125
↘
5. Tableau de signe et inéquation
x
−∞
0
5
+∞
Signe de C(x)
−
0
+
0
−
\(C(x)>0 \iff x\in\left]0\,;\,5\right[\)
🌟 Ce résultat a bien un sens : un prix négatif n'existe pas, donc seule la partie \(x\in\left]0\,;\,5\right[\) est pertinente. Le chiffre d'affaires est positif tant que le prix de la crêpe reste strictement entre 0 et 5 €.
6. Conclusion
🌟 Le vendeur maximise son chiffre d'affaires en fixant le prix de la crêpe à 2,50 €, pour un chiffre d'affaires maximal de 125 € sur la journée.
🏆
Chapitre terminé !
★★★★★

Bravo, tu maîtrises désormais l'ensemble du chapitre sur le second degré : écritures, sommet, tableau de variation, racines et signe. Tu es prêt·e pour la suite !

🏠