Un vrai nouveau départ : pour la première fois de l'année, le taux d'évolution n'est plus constant.
Jusqu'ici, tout reposait sur une seule idée : une quantité qui varie toujours de la même façon (le coefficient directeur \(a\), la raison \(r\)). Ce chapitre change complètement de décor : on va étudier des phénomènes où le rythme d'évolution change en cours de route — ça ralentit, puis ça repart, ou l'inverse. Ce sont les fonctions polynômes du second degré, et leur courbe caractéristique : la parabole.
Lancé en l'air, un ballon monte de moins en moins vite, atteint un sommet, puis redescend de plus en plus vite.
L'eau jaillit, ralentit en montant, puis retombe : même allure en cloche que le ballon.
Vendre trop cher fait fuir les clients, vendre trop peu cher rapporte peu par vente : il existe un prix qui maximise les revenus.
Le câble porteur dessine une courbe qui descend, puis remonte symétriquement de l'autre côté.
Une courbe en cloche (ou en U), avec un seul sommet (un maximum ou un minimum) et une forme symétrique de part et d'autre de ce sommet. C'est exactement l'allure d'une parabole — le sujet de ce chapitre !
Les trois nombres qui définissent \(f(x) = ax^2+bx+c\), avec toujours \(a \neq 0\) (sinon ce n'est plus du second degré !).
Une valeur de \(x\) qui annule \(f\), c'est-à-dire telle que \(f(x) = 0\). Graphiquement : là où la courbe coupe l'axe des abscisses.
Une fonction polynôme du second degré est une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = ax^2+bx+c\)
La plus courante, celle de la définition.
\(f(x) = ax^2+c\)
Un cas particulier plus simple à étudier, quand il n'y a pas de terme en \(x\) (autrement dit \(b=0\)).
\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\)
Celle qui donne directement les racines \(x_1\) et \(x_2\) — on l'utilisera beaucoup en section IV.
\(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
\(a = -1\), \(b = 0\) (il n'y a pas de terme en \(x\)), \(c = 4\).
\(a = 6\), \(b = -9\), \(c = 0\) (il n'y a pas de terme constant, donc \(c=0\)).
Rappelle-toi de la définition : il faut obligatoirement \(a \neq 0\) pour parler de fonction du second degré. Si le coefficient devant \(x^2\) vaut 0, il n'y a tout simplement plus de terme en \(x^2\) : ce n'est plus le sujet de ce chapitre !
Non ! Il n'y a pas de terme en \(x^2\), autrement dit \(a = 0\). Ce n'est pas autorisé par la définition : \(k\) est en réalité une simple fonction affine, celle du chapitre 1.
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Son orientation dépend uniquement du signe de \(a\) :
Vers le bas : ici \(a = -4 < 0\).
Toute parabole possède un axe de symétrie vertical, qui passe par son sommet. Le programme ne donne pas de formule toute faite pour le trouver — mais une astuce simple fonctionne à tous les coups :
Si tu trouves deux valeurs \(x_1\) et \(x_2\) qui donnent la même image \(f(x_1) = f(x_2)\), alors l'axe de symétrie passe forcément par leur milieu : \(x = \dfrac{x_1+x_2}{2}\).
Le sens de variation d'une fonction du second degré se lit directement sur le signe de \(a\) et la position du sommet :
Décroissante puis croissante — le sommet est un minimum
Croissante puis décroissante — le sommet est un maximum
On a trouvé \(a=1>0\) et un sommet en \(S(2\,;\,-3)\) : la fonction décroît jusqu'en 2, puis croît.
| \(x\) | −∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↘ | −3 | ↗ |
\(a>0\) donc la fonction est décroissante jusqu'en \(x=3\) (où elle vaut \(-2\)), puis croissante ensuite.
Soit \(g(x) = -2x^2+8\). Sans tracer la courbe, donne le sens de variation de \(g\), la nature de son sommet, et ses coordonnées.
Ici \(a=-2<0\) : la parabole est ouverte vers le bas, donc \(g\) est croissante puis décroissante, et son sommet est un maximum.
Comme \(g\) est écrite sous forme réduite (\(b=0\)), le sommet est déjà situé sur l'axe des ordonnées : son abscisse vaut donc \(x=0\). Son ordonnée est alors \(g(0) = -2\times0^2+8 = 8\).
Bonne nouvelle : dès que \(f\) est donnée sous forme factorisée, trouver ses racines devient immédiat, sans aucun calcul compliqué.
Si \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), alors les racines de \(f\) sont exactement \(x_1\) et \(x_2\) : on les lit directement, sans aucun calcul.
\(x_1 = 4\) et \(x_2 = -7\) — elles se lisent directement dans les parenthèses.
On teste le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par les racines, puis on applique la règle des signes d'un produit.
| \(x\) | −∞ | −3 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Ici \(a=2>0\) : le signe est celui de \(a\) à l'extérieur des racines, et l'opposé entre les racines.
Positif entre les racines : quand \(a<0\), c'est l'inverse du cas précédent — négatif à l'extérieur, positif entre les racines.
Soit \(h(x) = -3(x-2)(x-5)\). Donne ses racines, puis étudie son signe.
Racines
Signe
| \(x\) | −∞ | 2 | 5 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(h(x)\) | − | 0 | + | 0 | − |
Ici \(a=-3<0\) : c'est l'inverse de l'exemple précédent — négatif à l'extérieur, positif entre les racines.
On retourne à des évolutions régulières — mais cette fois en multipliant plutôt qu'en ajoutant. Le second degré aura été une parenthèse : les prochains chapitres renouent avec la logique des tout premiers.
Reconnaître une parabole, situer son sommet sans formule, et lire racines et signe sur la forme factorisée : ces trois réflexes reviendront régulièrement, y compris dans d'autres matières (physique, SES).