Chapitre 5 · Première · Suites géométriques

Reconnaître et caractériser
une suite géométrique

Feuille 1 sur 6 — Vocabulaire, définition et premiers calculs de proche en proche

📘 Notion nouvelle ✏️ 5 exercices 🎯 Entrée en douceur

📌 Ce qu'il faut avoir en tête pour cette feuille

Définition
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q > 0\) si pour tout \(n\) :
\(u_{n+1} = q \times u_n\)
Autrement dit : d'un terme au suivant, on multiplie toujours par \(q\).
Comment vérifier ?
On calcule les quotients de termes consécutifs :
\(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{u_3}{u_2} = q\)
Si tous les quotients sont égaux et positifs, la suite est géométrique.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 5

Reconnaissance Quotients consécutifs
✓ Vu

Pour chacune des suites suivantes, dire si elle est géométrique. Si oui, préciser sa raison \(q\).

Suite a)
\(2 \;;\; 6 \;;\; 18 \;;\; 54\)
Ce sont les quatre premiers termes.
Suite b)
\(5 \;;\; 10 \;;\; 15 \;;\; 20\)
Ce sont les quatre premiers termes.
Suite c)
\(100 \;;\; 50 \;;\; 25 \;;\; 12{,}5\)
Ce sont les quatre premiers termes.
Suite d)
\(1 \;;\; 2 \;;\; 6 \;;\; 24\)
Ce sont les quatre premiers termes.

💡 Méthode : calcule \(\frac{u_1}{u_0}\), \(\frac{u_2}{u_1}\), \(\frac{u_3}{u_2}\). S'ils sont tous égaux, c'est une suite géométrique de raison égale à ce quotient.

💡 Indices

Calcule \(\frac{6}{2}\), puis \(\frac{18}{6}\), puis \(\frac{54}{18}\). Qu'obtiens-tu ?
Calcule \(\frac{10}{5}\), puis \(\frac{15}{10}\). Sont-ils égaux ? Si non, c'est une suite arithmétique, pas géométrique !
La suite diminue. Une raison strictement entre 0 et 1 est tout à fait possible : calcule \(\frac{50}{100}\).
a) \(2 \;;\; 6 \;;\; 18 \;;\; 54\)
Quotients\(\dfrac{6}{2} = 3 \;;\quad \dfrac{18}{6} = 3 \;;\quad \dfrac{54}{18} = 3\)
ConclusionTous égaux à 3.
✅ Suite géométrique de raison \(q = 3\).
b) \(5 \;;\; 10 \;;\; 15 \;;\; 20\)
Quotients\(\dfrac{10}{5} = 2 \;;\quad \dfrac{15}{10} = 1{,}5\)
ConclusionLes quotients ne sont pas tous égaux.
❌ Ce n'est pas une suite géométrique.
⚠️ On ajoute 5 à chaque fois : c'est une suite arithmétique de raison \(r = 5\), pas géométrique !
c) \(100 \;;\; 50 \;;\; 25 \;;\; 12{,}5\)
Quotients\(\dfrac{50}{100} = 0{,}5 \;;\quad \dfrac{25}{50} = 0{,}5 \;;\quad \dfrac{12{,}5}{25} = 0{,}5\)
✅ Suite géométrique de raison \(q = 0{,}5\).
🔎 Une raison entre 0 et 1 donne une suite décroissante — ici, on divise par 2 à chaque étape.
d) \(1 \;;\; 2 \;;\; 6 \;;\; 24\)
Quotients\(\dfrac{2}{1} = 2 \;;\quad \dfrac{6}{2} = 3\)
ConclusionLe premier quotient est 2, le second est 3 : ils sont différents.
❌ Ce n'est pas une suite géométrique.
💡 Ici, on multiplie par des valeurs différentes : ×2 puis ×3 puis ×4... Ce sont les factorielles — une suite connue, mais pas géométrique.

Exercice 2 / 5

Lecture d'une suite Raison · Premier terme
✓ Vu

Les suites suivantes sont géométriques. Dans chaque cas, noter \(u_0\) le premier terme et \(q\) la raison, puis compléter : \(u_{n+1} = \ldots \times u_n\).

a) \(4 \;;\; 12 \;;\; 36 \;;\; 108 \;;\; \ldots\)
b) \(200 \;;\; 100 \;;\; 50 \;;\; 25 \;;\; \ldots\)
c) \(1 \;;\; 1{,}05 \;;\; 1{,}1025 \;;\; \ldots\) (arrondir \(q\) si nécessaire)
d) \(7 \;;\; 7 \;;\; 7 \;;\; 7 \;;\; \ldots\)

💡 Indices

La raison \(q\) est toujours le quotient \(\frac{u_1}{u_0}\) (ou \(\frac{u_2}{u_1}\), c'est pareil).
Calcule \(\frac{7}{7}\). Quel est ce quotient ? C'est un cas particulier intéressant !
a) \(4 \;;\; 12 \;;\; 36 \;;\; 108 \;;\; \ldots\)
Premier terme\(u_0 = 4\)
Raison\(q = \dfrac{12}{4} = 3\)
Formule\(u_{n+1} = 3 \times u_n\)
b) \(200 \;;\; 100 \;;\; 50 \;;\; 25 \;;\; \ldots\)
Premier terme\(u_0 = 200\)
Raison\(q = \dfrac{100}{200} = 0{,}5\)
Formule\(u_{n+1} = 0{,}5 \times u_n\)
c) \(1 \;;\; 1{,}05 \;;\; 1{,}1025 \;;\; \ldots\)
Premier terme\(u_0 = 1\)
Raison\(q = \dfrac{1{,}05}{1} = 1{,}05\)
Formule\(u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n\)
💰 C'est la suite modélisant un capital placé à 5 % d'intérêts composés par an, en partant de 1 €. On retrouvera ce type d'exemple tout au long du chapitre.
d) \(7 \;;\; 7 \;;\; 7 \;;\; 7 \;;\; \ldots\)
Premier terme\(u_0 = 7\)
Raison\(q = \dfrac{7}{7} = 1\)
Formule\(u_{n+1} = 1 \times u_n\)
🔎 Une suite constante est un cas particulier de suite géométrique de raison \(q = 1\). Elle est aussi arithmétique de raison \(r = 0\) !

Exercice 3 / 5

Calcul de proche en proche Tableaux de valeurs
✓ Vu

Compléter les tableaux de valeurs. On utilisera la relation \(u_{n+1} = q \times u_n\) pour passer de case en case.

a) Suite géométrique de premier terme \(u_0 = 5\) et de raison \(q = 2\).

\(n\)01234
\(u_n\)5…………

b) Suite géométrique de premier terme \(u_0 = 800\) et de raison \(q = 0{,}5\).

\(n\)01234
\(u_n\)800…………

c) Suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(q = 1{,}1\).

\(n\)0123
\(u_n\)1000………

Arrondir à l'unité.

💡 Indices

À chaque étape, tu multiplies le terme courant par \(q\) pour obtenir le suivant. Pour la suite a), commence par \(u_1 = 5 \times 2 = \ldots\)
Multiplier par \(1{,}1\) revient à augmenter de 10 %. \(u_1 = 1000 \times 1{,}1 = 1100\). Continue…
a) \(u_0 = 5\), \(q = 2\)
\(n\)01234
\(u_n\)510204080

On multiplie par 2 à chaque fois : \(5 \to 10 \to 20 \to 40 \to 80\).

b) \(u_0 = 800\), \(q = 0{,}5\)
\(n\)01234
\(u_n\)80040020010050

On divise par 2 à chaque fois (multiplier par 0,5). La suite est décroissante.

c) \(u_0 = 1000\), \(q = 1{,}1\)
\(n\)0123
\(u_n\)1 0001 1001 2101 331
💰 \(q = 1{,}1\) correspond à une augmentation de 10 % par période — typique d'un capital placé à 10 % d'intérêts composés.

Exercice 4 / 5

Raisonnement Suite lacunaire
✓ Vu

On sait que \((u_n)\) est une suite géométrique. Des termes manquants sont indiqués par « ? ».

Retrouver la raison \(q\), puis compléter chaque suite.

a) \(u_0 = 3 \;;\; u_1 = {?} \;;\; u_2 = 27\)
b) \(u_0 = 4 \;;\; u_1 = {?} \;;\; u_2 = {?} \;;\; u_3 = 32\)
c) \(u_0 = {?} \;;\; u_1 = 6 \;;\; u_2 = {?} \;;\; u_3 = 54\)

💡 Indices

Tu sais que \(u_2 = q \times u_1\) et \(u_1 = q \times u_0\). Donc \(u_2 = q^2 \times u_0\). Peux-tu en déduire \(q\) ?
\(u_3 = q^3 \times u_0 = 32\). Donc \(q^3 = \frac{32}{4} = 8\). Quelle est la valeur de \(q\) ?
Utilise \(u_3 = q^2 \times u_1\) (car il y a 2 rangs d'écart entre \(u_1\) et \(u_3\)). Cela donne \(54 = q^2 \times 6\).
a) \(u_0 = 3\), \(u_2 = 27\)
Relation\(u_2 = q^2 \times u_0\)
Application\(27 = q^2 \times 3 \implies q^2 = 9 \implies q = 3\)
Terme manq.\(u_1 = 3 \times 3 = 9\)
Suite : \(3 \;;\; 9 \;;\; 27\) — raison \(q = 3\).
b) \(u_0 = 4\), \(u_3 = 32\)
Relation\(u_3 = q^3 \times u_0\)
Application\(32 = q^3 \times 4 \implies q^3 = 8 \implies q = 2\)
Termes manq.\(u_1 = 4 \times 2 = 8 \;;\; u_2 = 8 \times 2 = 16\)
Suite : \(4 \;;\; 8 \;;\; 16 \;;\; 32\) — raison \(q = 2\).
c) \(u_1 = 6\), \(u_3 = 54\)
Relation\(u_3 = q^2 \times u_1\) (2 rangs d'écart)
Application\(54 = q^2 \times 6 \implies q^2 = 9 \implies q = 3\)
Termes manq.\(u_0 = \dfrac{u_1}{q} = \dfrac{6}{3} = 2 \;;\; u_2 = 6 \times 3 = 18\)
Suite : \(2 \;;\; 6 \;;\; 18 \;;\; 54\) — raison \(q = 3\).
💡 Pour trouver \(u_0\) à partir de \(u_1\), on divise par \(q\) (on « remonte » d'un rang).

Exercice 5 / 5

Mise en situation Modélisation
✓ Vu
🦠
Une colonie de bactéries

Une colonie contient 50 bactéries à l'instant initial. La population double toutes les heures. On note \(u_n\) le nombre de bactéries après \(n\) heures.

1. Justifier que la suite \((u_n)\) est géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).
2. Compléter : \(u_{n+1} = \ldots \times u_n\).
3. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\) en complétant le tableau suivant.
Heures écoulées (\(n\))01234
Bactéries (\(u_n\))50…………
4. Sans tout calculer, anticiper : au bout de 10 heures, y aura-t-il plutôt des milliers ou des millions de bactéries ? Estimer grossièrement.

💡 Indices

« Doubler » à chaque heure, c'est multiplier par 2. Est-ce qu'on multiplie toujours par le même nombre ?
Après 10 heures, on a multiplié par 2 exactement 10 fois. Combien vaut \(2^{10}\) ? Et \(50 \times 2^{10}\) ?
1. Nature de la suite

À chaque heure, le nombre de bactéries est multiplié par 2. On multiplie toujours par le même nombre fixe, donc la suite est géométrique.

\(u_0 = 50\) (population initiale) et \(q = 2\) (doublement à chaque heure).
2. Formule de passage d'un terme au suivant
\(u_{n+1} = 2 \times u_n\)
3. Tableau de valeurs
\(n\)01234
\(u_n\)50100200400800
4. Estimation à 10 heures
Calcul\(u_{10} = 50 \times 2^{10} = 50 \times 1024\)
Résultat\(u_{10} = 51\,200\) bactéries
Après 10 heures : 51 200 bactéries — soit environ 50 000, donc plutôt des dizaines de milliers.
🌟 C'est la puissance des suites géométriques : même en partant de 50, le doublement répété mène très vite à des valeurs immenses. On appelle cela la croissance exponentielle.
🎉
Feuille terminée !
★★★★★

Tu maîtrises les bases des suites géométriques. La feuille 2 t'attend pour aller plus loin avec le terme général !

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