Chapitre 5 · Première · Suites géométriques

Le terme général
\(u_n = u_0 \times q^{\,n}\)

Feuille 2 sur 6 — Formule explicite, calcul direct à un rang quelconque

🆕 Nouvelle notion ✏️ 5 exercices ♻️ Reprend la feuille 1

📌 Ce qu'il faut savoir pour cette feuille

Rappel feuille 1 — Vérifier
On vérifie qu'une suite est géométrique en calculant les quotients consécutifs :
\(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{u_2}{u_1} = \cdots = q\)
Rappel feuille 1 — Passer d'un terme au suivant
Pour calculer terme à terme :
\(u_{n+1} = q \times u_n\)
Utile sur de petits rangs, mais fastidieux au-delà.
✨ Nouveauté — Terme général (formule explicite)
Pour atteindre directement n'importe quel rang sans calcul intermédiaire :
\(u_n = u_0 \times q^{\,n}\)
On peut calculer n'importe quel terme directement, sans calcul intermédiaire, dès qu'on connaît \(u_0\) et \(q\).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 5

Comparaison des méthodes Formule explicite
✓ Vu

Soit \((u_n)\) la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(q = 2\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) en passant de terme en terme (comme à la feuille 1).
2. Calculer \(u_4\) directement à l'aide de la formule \(u_n = u_0 \times q^n\). Retrouve-t-on le même résultat ?
3. Calculer \(u_{10}\) directement. Comparer avec ce que représenterait le calcul terme à terme.
⏳ Terme à terme
On est obligé de passer par \(u_1, u_2, \ldots, u_9\) avant d'avoir \(u_{10}\). Dix multiplications.
⚡ Formule directe
Un seul calcul : \(u_{10} = u_0 \times q^{10}\). Quel que soit le rang, toujours aussi rapide.

💡 Indices

Applique \(u_4 = u_0 \times q^4 = 3 \times 2^4\). Calcule \(2^4\) d'abord : \(2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \ldots\)
\(u_{10} = 3 \times 2^{10}\). Sais-tu que \(2^{10} = 1024\) ? C'est un résultat à mémoriser !
1. Terme à terme
\(n\)01234
\(u_n\)36122448
2. Formule directe pour \(u_4\)
Formule\(u_4 = u_0 \times q^4 = 3 \times 2^4\)
Calcul\(2^4 = 16\), donc \(u_4 = 3 \times 16 = 48\)
✅ On retrouve bien \(u_4 = 48\) par les deux méthodes.
3. Calcul direct de \(u_{10}\)
Formule\(u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024\)
\(u_{10} = 3\,072\)
⚡ Terme à terme, il aurait fallu enchaîner 10 multiplications. Avec la formule : un seul calcul. L'avantage grandit encore pour \(u_{50}\) ou \(u_{100}\) !

Exercice 2 / 5

Application directe Terme général
✓ Vu

Pour chacune des suites géométriques suivantes, calculer le terme demandé en utilisant la formule \(u_n = u_0 \times q^{\,n}\). Détailler le calcul.

a) \(u_0 = 5\), \(q = 3\). Calculer \(u_4\).
b) \(u_0 = 1000\), \(q = 0{,}5\). Calculer \(u_6\).
c) \(u_0 = 1\), \(q = 1{,}05\). Calculer \(u_3\). (arrondir à \(10^{-4}\))
d) \(u_0 = 2\), \(q = 2\). Calculer \(u_8\).

💡 Toujours écrire d'abord la formule, puis l'application numérique, puis le résultat.

💡 Indices

\(1{,}05^3 = 1{,}05 \times 1{,}05 \times 1{,}05\). Commence par \(1{,}05 \times 1{,}05 = 1{,}1025\), puis multiplie par \(1{,}05\).
\(2^8 = 2^4 \times 2^4 = 16 \times 16\). C'est souvent plus rapide de factoriser les puissances de 2.
a) \(u_0=5\), \(q=3\), calculer \(u_4\)
Formule\(u_4 = 5 \times 3^4\)
Calcul\(3^4 = 81\), donc \(u_4 = 5 \times 81\)
\(u_4 = 405\)
b) \(u_0=1000\), \(q=0{,}5\), calculer \(u_6\)
Formule\(u_6 = 1000 \times 0{,}5^6\)
Calcul\(0{,}5^6 = \dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}\), donc \(u_6 = \dfrac{1000}{64}\)
\(u_6 = 15{,}625\)
🔎 \(q = 0{,}5\) revient à diviser par 2 à chaque rang. Après 6 rangs, on a divisé par \(2^6 = 64\).
c) \(u_0=1\), \(q=1{,}05\), calculer \(u_3\)
Formule\(u_3 = 1 \times 1{,}05^3\)
Calcul\(1{,}05^2 = 1{,}1025\) puis \(1{,}1025 \times 1{,}05 \approx 1{,}1576\)
\(u_3 \approx 1{,}1576\)
💰 Un capital de 1 € placé à 5 % d'intérêts composés vaut environ 1,16 € après 3 ans. Ce type de suite modélise la croissance d'un capital.
d) \(u_0=2\), \(q=2\), calculer \(u_8\)
Formule\(u_8 = 2 \times 2^8 = 2^9\)
Calcul\(2^9 = 512\)
\(u_8 = 512\)
💡 Astuce : \(u_0 \times q^n = 2 \times 2^8 = 2^1 \times 2^8 = 2^9\) grâce aux propriétés des puissances.

Exercice 3 / 5

Sens inverse Retrouver \(u_0\) puis \(u_n\)
✓ Vu

On connaît un terme intermédiaire et la raison. La stratégie est toujours : 1) retrouver \(u_0\) à partir de \(u_n = u_0 \times q^n\), puis 2) calculer le terme demandé.

a) Suite géométrique de raison \(q = 3\), avec \(u_2 = 12\). Retrouver \(u_0\), puis calculer \(u_5\).
b) Suite géométrique de raison \(q = 0{,}5\), avec \(u_3 = 500\). Retrouver \(u_0\), puis calculer \(u_7\).
c) Suite géométrique de raison \(q = 2\), avec \(u_0 = 4\). Calculer \(u_6\), puis vérifier la cohérence en retrouvant \(u_0\) depuis \(u_6\).

💡 De \(u_n = u_0 \times q^n\) on tire \(u_0 = \dfrac{u_n}{q^n}\). C'est toujours la même formule, utilisée dans l'autre sens.

💡 Indices

\(u_2 = u_0 \times 3^2 = 9u_0\). Donc \(9u_0 = 12\), d'où \(u_0 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\). Ensuite \(u_5 = u_0 \times 3^5\).
Pour « remonter » de \(u_6\) à \(u_0\) : \(u_0 = \frac{u_6}{q^6} = \frac{u_6}{2^6}\). On doit retrouver \(u_0 = 4\).
a) \(q = 3\), \(u_2 = 12\)
Trouver \(u_0\)\(u_2 = u_0 \times 3^2 \implies 12 = 9u_0 \implies u_0 = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\)
Calcul de \(u_5\)\(u_5 = \dfrac{4}{3} \times 3^5 = \dfrac{4}{3} \times 243 = 4 \times 81\)
\(u_0 = \dfrac{4}{3}\) et \(u_5 = 324\)
b) \(q = 0{,}5\), \(u_3 = 500\)
Trouver \(u_0\)\(u_3 = u_0 \times (0{,}5)^3 = \dfrac{u_0}{8} \implies u_0 = 500 \times 8 = 4000\)
Calcul de \(u_7\)\(u_7 = 4000 \times (0{,}5)^7 = 4000 \times \dfrac{1}{128} = \dfrac{4000}{128}\)
\(u_0 = 4000\) et \(u_7 = 31{,}25\)
c) \(u_0 = 4\), \(q = 2\)
Calcul de \(u_6\)\(u_6 = 4 \times 2^6 = 4 \times 64 = 256\)
Vérification\(u_0 = \dfrac{u_6}{q^6} = \dfrac{256}{64} = 4\) ✅
\(u_6 = 256\) — on retrouve bien \(u_0 = 4\).
🔎 La formule \(u_n = u_0 \times q^n\) fonctionne dans les deux sens : pour calculer un terme, ou pour retrouver \(u_0\) à partir d'un terme connu.

Exercice 4 / 5

Sens inverse Retrouver \(u_0\), écrire \(u_n\) Reprend F1
✓ Vu

On connaît un terme intermédiaire et la raison. Retrouver le premier terme \(u_0\), écrire la formule du terme général \(u_n\), puis calculer le terme demandé.

a) Suite géométrique de raison \(q = 2\), avec \(u_3 = 40\). Trouver \(u_0\), puis calculer \(u_6\).
b) Suite géométrique de raison \(q = 3\), avec \(u_4 = 162\). Trouver \(u_0\), écrire \(u_n\), puis calculer \(u_7\).
c) Suite géométrique de raison \(q = 0{,}5\), avec \(u_5 = 3\). Trouver \(u_0\), puis calculer \(u_2\).

💡 De \(u_n = u_0 \times q^n\), on tire \(u_0 = \dfrac{u_n}{q^n}\). Toujours passer par \(u_0\) avant de calculer un autre terme.

💡 Indices

\(u_3 = u_0 \times 2^3 = 8u_0\). Donc \(8u_0 = 40\), d'où \(u_0 = 5\). Ensuite : \(u_6 = 5 \times 2^6\).
\((0{,}5)^5 = \frac{1}{32}\), donc \(u_0 = 3 \times 32 = 96\). Puis \(u_2 = 96 \times (0{,}5)^2\).
a) \(q = 2\), \(u_3 = 40\)
Trouver \(u_0\)\(u_3 = u_0 \times 2^3 = 8u_0 \implies u_0 = \dfrac{40}{8} = 5\)
Calcul de \(u_6\)\(u_6 = 5 \times 2^6 = 5 \times 64 = 320\)
\(u_0 = 5\) et \(u_6 = 320\)
b) \(q = 3\), \(u_4 = 162\)
Trouver \(u_0\)\(u_4 = u_0 \times 3^4 = 81u_0 \implies u_0 = \dfrac{162}{81} = 2\)
Terme général\(u_n = 2 \times 3^n\)
Calcul de \(u_7\)\(u_7 = 2 \times 3^7 = 2 \times 2187 = 4374\)
\(u_0 = 2\), \(u_n = 2 \times 3^n\) et \(u_7 = 4374\)
c) \(q = 0{,}5\), \(u_5 = 3\)
Trouver \(u_0\)\(u_5 = u_0 \times (0{,}5)^5 = \dfrac{u_0}{32} \implies u_0 = 3 \times 32 = 96\)
Calcul de \(u_2\)\(u_2 = 96 \times (0{,}5)^2 = 96 \times 0{,}25 = 24\)
\(u_0 = 96\) et \(u_2 = 24\)
🔎 La méthode est toujours la même : on passe systématiquement par \(u_0\), quitte à diviser par \(q^n\), avant de calculer n'importe quel autre terme.

Exercice 5 / 5

Mise en situation Intérêts composés Reprend F1
✓ Vu
🏦
Un placement bancaire

Lucas place 500 € sur un livret rémunéré à 4 % par an. Chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital (intérêts composés). On note \(u_n\) le capital, en euros, après \(n\) années.

1. Justifier que \((u_n)\) est une suite géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).
2. Écrire la formule donnant \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Calculer le capital après 5 ans. Arrondir au centime.
4. Calculer le capital après 10 ans. Comparer avec le résultat de la question 3 : est-ce exactement le double ? Expliquer.
5. (Bonus) À quelle condition sur \(q\) la suite est-elle croissante ? Est-ce le cas ici ? Justifier.

💡 Indices

Chaque année, le capital est multiplié par \((1 + 0{,}04) = 1{,}04\). Multiplier toujours par le même nombre fixe, c'est être géométrique.
Si doubler le temps donnait le double du capital, la croissance serait linéaire. Mais ici elle est exponentielle : après 10 ans, on a appliqué \(1{,}04^{10}\), pas \(2 \times 1{,}04^5\).
1. Nature de la suite

Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}04\) (on garde le capital et on lui ajoute 4 %, soit un facteur fixe). On multiplie toujours par le même nombre : c'est une suite géométrique.

\(u_0 = 500\) (capital initial) et \(q = 1{,}04\)
2. Terme général
\(u_n = 500 \times 1{,}04^{\,n}\)
3. Capital après 5 ans
Calcul\(u_5 = 500 \times 1{,}04^5 \approx 500 \times 1{,}21665\)
\(u_5 \approx 608{,}33\) €
4. Capital après 10 ans
Calcul\(u_{10} = 500 \times 1{,}04^{10} \approx 500 \times 1{,}48024\)
\(u_{10} \approx 740{,}12\) €
⚠️ 740,12 € ≠ 2 × 608,33 € (qui vaudrait 1 216,66 €). Doubler le temps ne double pas le capital. La croissance est exponentielle, pas linéaire : chaque année, c'est le capital accumulé (avec ses intérêts) qui produit lui-même des intérêts.
5. Bonus — Sens de variation

Une suite géométrique à termes positifs est croissante si et seulement si \(q > 1\). Ici \(q = 1{,}04 > 1\), donc la suite est bien croissante : le capital augmente chaque année.

🌟 Ce résultat est général : un taux d'intérêt positif donne \(q = 1 + \text{taux} > 1\), donc toujours une suite croissante.
🎉
Feuille 2 terminée !
★★★★★

Tu sais maintenant atteindre n'importe quel terme directement. La feuille 3 t'attend pour aller plus loin : retrouver la raison quand on connaît deux termes.

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