Chapitre 5 · Première · Suites géométriques

Retrouver la raison
à partir de deux termes

Feuille 3 sur 6 — Déterminer \(q\), puis \(u_0\) et le terme général

🆕 Nouvelle notion ✏️ 5 exercices ♻️ Reprend F1 et F2

📌 Ce qu'il faut savoir pour cette feuille

Rappel F1 — Vérifier
On vérifie qu'une suite est géométrique en calculant les quotients consécutifs :
\(\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{u_2}{u_1} = \cdots = q\)
Rappel F2 — Terme général
Une fois \(u_0\) et \(q\) connus :
\(u_n = u_0 \times q^{\,n}\)
Pour trouver \(u_0\) depuis un terme connu : \(u_0 = \dfrac{u_n}{q^n}\).
✨ Nouveauté — Retrouver \(q\) depuis deux termes
Si on connaît \(u_p\) et \(u_n\) (avec \(n > p\)), on utilise \(u_n = u_0 \times q^n\) et \(u_p = u_0 \times q^p\). En divisant l'une par l'autre, \(u_0\) disparaît :
\(q^{\,n-p} = \dfrac{u_n}{u_p}\)  ⟹  on identifie \(q\) par essai ou par racine
Méthode en 3 étapes : ① Calculer le quotient \(u_n / u_p\) → ② Identifier \(q\) tel que \(q^{n-p}\) donne ce quotient → ③ Injecter un terme connu dans \(u_p = u_0 \times q^p\) pour trouver \(u_0\).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 5

Identifier \(q\) Cas directs
✓ Vu

Dans chaque cas, une suite géométrique à termes strictement positifs est définie par deux de ses termes. Déterminer la raison \(q\).

💡 Calculer d'abord \(\dfrac{u_n}{u_p}\), puis chercher \(q\) tel que \(q^{n-p}\) soit égal à ce quotient.

a) \(u_0 = 2\) et \(u_3 = 16\). Trouver \(q\).
b) \(u_1 = 5\) et \(u_4 = 40\). Trouver \(q\).
c) \(u_0 = 100\) et \(u_2 = 25\). Trouver \(q\).
d) \(u_2 = 12\) et \(u_5 = 96\). Trouver \(q\).

💡 Indices

L'écart de rangs est \(3 - 0 = 3\). Donc \(q^3 = \frac{16}{2} = 8\). Quel entier, élevé au cube, donne 8 ?
L'écart de rangs est \(2 - 0 = 2\). Donc \(q^2 = \frac{25}{100} = 0{,}25\). Quel nombre positif, mis au carré, donne \(0{,}25\) ?
L'écart de rangs est \(5 - 2 = 3\). Donc \(q^3 = \frac{96}{12} = 8\). Même calcul qu'en a) !
a) \(u_0 = 2\), \(u_3 = 16\)
Écart de rangs\(3 - 0 = 3\)
Quotient\(q^3 = \dfrac{u_3}{u_0} = \dfrac{16}{2} = 8\)
Identification\(q = 2\) car \(2^3 = 8\)
\(q = 2\)
b) \(u_1 = 5\), \(u_4 = 40\)
Écart de rangs\(4 - 1 = 3\)
Quotient\(q^3 = \dfrac{40}{5} = 8\)
Identification\(q = 2\) car \(2^3 = 8\)
\(q = 2\)
c) \(u_0 = 100\), \(u_2 = 25\)
Écart de rangs\(2 - 0 = 2\)
Quotient\(q^2 = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\)
Identification\(q = 0{,}5\) car \((0{,}5)^2 = 0{,}25\)
\(q = 0{,}5\)
🔎 La raison est inférieure à 1 : la suite est décroissante. C'est cohérent : on passe de 100 à 25, la suite diminue.
d) \(u_2 = 12\), \(u_5 = 96\)
Écart de rangs\(5 - 2 = 3\)
Quotient\(q^3 = \dfrac{96}{12} = 8\)
Identification\(q = 2\) car \(2^3 = 8\)
\(q = 2\)
💡 Les termes de départ n'étaient pas \(u_0\) et \(u_3\), mais la même logique s'applique : seul l'écart de rangs compte.

Exercice 2 / 5

Méthode complète \(q\) → \(u_0\) → \(u_n\) Reprend F2
✓ Vu

Pour chaque suite géométrique, appliquer la méthode en 3 étapes : trouver \(q\), puis \(u_0\), puis écrire \(u_n\).

🔑 Les 3 étapes

1
Calculer l'écart de rangs \(n - p\), puis le quotient \(\dfrac{u_n}{u_p}\), puis identifier \(q\) tel que \(q^{n-p}\) égale ce quotient.
2
Injecter un terme connu dans \(u_p = u_0 \times q^p\) pour isoler \(u_0\).
3
Écrire la formule : \(u_n = u_0 \times q^n\).
a) \(u_1 = 3\) et \(u_3 = 27\). Trouver \(q\), \(u_0\), puis \(u_n\).
b) \(u_2 = 8\) et \(u_4 = 32\). Trouver \(q\), \(u_0\), puis \(u_n\).
c) \(u_0 = 1\) et \(u_4 = 16\). Trouver \(q\), puis \(u_n\).

💡 Indices

Écart : \(3 - 1 = 2\). Donc \(q^2 = \frac{27}{3} = 9\), d'où \(q = 3\). Ensuite : \(u_1 = u_0 \times 3^1 = 3u_0 = 3\), donc \(u_0 = 1\).
Ici \(u_0\) est donné directement ! Il n'y a que l'étape 1 à faire : \(q^4 = \frac{16}{1} = 16\), donc \(q^4 = 16 = 2^4\), d'où \(q = 2\).
a) \(u_1 = 3\), \(u_3 = 27\)
① Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{27}{3} = 9 \implies q = 3\)
② Trouver \(u_0\)\(u_1 = u_0 \times 3^1 \implies 3 = 3u_0 \implies u_0 = 1\)
③ Terme général\(u_n = 1 \times 3^n = 3^n\)
\(q = 3\), \(u_0 = 1\) et \(u_n = 3^n\)
b) \(u_2 = 8\), \(u_4 = 32\)
① Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{32}{8} = 4 \implies q = 2\)
② Trouver \(u_0\)\(u_2 = u_0 \times 2^2 \implies 8 = 4u_0 \implies u_0 = 2\)
③ Terme général\(u_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}\)
\(q = 2\), \(u_0 = 2\) et \(u_n = 2^{n+1}\)
💡 \(2 \times 2^n = 2^1 \times 2^n = 2^{n+1}\) grâce aux propriétés des puissances.
c) \(u_0 = 1\), \(u_4 = 16\)
① Trouver \(q\)\(q^4 = \dfrac{16}{1} = 16 = 2^4 \implies q = 2\)
② \(u_0\) déjà connu\(u_0 = 1\) (donné)
③ Terme général\(u_n = 2^n\)
\(q = 2\) et \(u_n = 2^n\)

Exercice 3 / 5

Piège classique Ordre du quotient
✓ Vu

Trois élèves ont calculé la raison d'une même suite géométrique vérifiant \(u_1 = 6\) et \(u_3 = 54\).

Élève A
\(q^2 = \dfrac{54}{6} = 9\)
donc \(q = 3\)
Élève B
\(q^2 = \dfrac{6}{54} = \dfrac{1}{9}\)
donc \(q = \dfrac{1}{3}\)
Élève C
\(q^3 = \dfrac{54}{6} = 9\)
donc \(q = \sqrt[3]{9}\)
1. Identifier qui a raison, et expliquer précisément l'erreur des deux autres.
2. Avec la bonne valeur de \(q\), retrouver \(u_0\) et écrire \(u_n\).
3. Vérifier la cohérence en calculant \(u_3\) avec la formule obtenue.

💡 Indices

L'écart de rangs entre \(u_1\) et \(u_3\) est \(3 - 1 = 2\), pas 3. Et le terme de rang supérieur doit être au numérateur.
Calcule \(u_3 = u_0 \times q^3\) avec tes valeurs. Si tu retrouves 54, c'est cohérent.
1. Analyse des erreurs
✅ L'élève A a raison : écart \(= 3 - 1 = 2\), donc \(q^2 = \frac{54}{6} = 9\), d'où \(q = 3\).
❌ Élève B : a mis le petit terme au numérateur. Le terme de rang supérieur (\(u_3 = 54\)) doit être au numérateur. Mettre \(\frac{6}{54}\) donne \(\frac{1}{q}\), pas \(q\).
❌ Élève C : a utilisé l'écart \(3\) au lieu de \(3 - 1 = 2\). L'exposant est bien l'écart des rangs, pas le rang lui-même.
2. Retrouver \(u_0\) et \(u_n\)
Trouver \(u_0\)\(u_1 = u_0 \times 3^1 \implies 6 = 3u_0 \implies u_0 = 2\)
Terme général\(u_n = 2 \times 3^n\)
\(u_0 = 2\) et \(u_n = 2 \times 3^n\)
3. Vérification
Calcul\(u_3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54\) ✅
On retrouve bien \(u_3 = 54\). La formule est correcte.

Exercice 4 / 5

Raison non entière Cas décroissant Reprend F1 et F2
✓ Vu

Appliquer la méthode complète sur des suites où la raison n'est pas un entier.

a) \(u_0 = 81\) et \(u_2 = 9\). Trouver \(q\), \(u_n\), puis calculer \(u_5\).
b) \(u_1 = 4\) et \(u_3 = 1\). Trouver \(q\), \(u_0\), \(u_n\), puis vérifier en calculant \(u_3\) avec la formule.
c) Une suite vérifie \(u_0 = 1000\) et \(u_1 = 800\). S'agit-il d'une suite croissante ou décroissante ? Justifier avec la valeur de \(q\), puis calculer \(u_4\) en arrondissant à l'unité.

💡 Indices

\(q^2 = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\). Quel nombre positif, au carré, donne \(\frac{1}{9}\) ? Pense à \(\frac{1}{3}\).
\(q^2 = \frac{1}{4}\). Donc \(q = \frac{1}{2} = 0{,}5\). Puis \(u_1 = u_0 \times 0{,}5 = 4\), d'où \(u_0 = 8\).
\(q = \frac{u_1}{u_0} = \frac{800}{1000} = 0{,}8\). Comme \(0 < q < 1\), la suite est décroissante. Ensuite : \(u_4 = 1000 \times 0{,}8^4\).
a) \(u_0 = 81\), \(u_2 = 9\)
① Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{9}{81} = \dfrac{1}{9} \implies q = \dfrac{1}{3}\)
② \(u_0\) donné\(u_0 = 81\)
③ Terme général\(u_n = 81 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)
Calcul de \(u_5\)\(u_5 = 81 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 = 81 \times \dfrac{1}{243} = \dfrac{81}{243} = \dfrac{1}{3}\)
\(q = \dfrac{1}{3}\), \(u_n = 81 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), \(u_5 = \dfrac{1}{3}\)
b) \(u_1 = 4\), \(u_3 = 1\)
① Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{1}{4} \implies q = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
② Trouver \(u_0\)\(u_1 = u_0 \times 0{,}5 = 4 \implies u_0 = 8\)
③ Terme général\(u_n = 8 \times (0{,}5)^n\)
Vérification\(u_3 = 8 \times (0{,}5)^3 = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1\) ✅
\(q = 0{,}5\), \(u_0 = 8\) et \(u_n = 8 \times (0{,}5)^n\)
c) \(u_0 = 1000\), \(u_1 = 800\)
① Trouver \(q\)\(q = \dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{800}{1000} = 0{,}8\)
Variation\(0 < q = 0{,}8 < 1\) donc la suite est décroissante
Calcul de \(u_4\)\(u_4 = 1000 \times (0{,}8)^4 = 1000 \times 0{,}4096\)
\(q = 0{,}8\), suite décroissante, \(u_4 \approx 410\)
📉 \(q = 0{,}8\) signifie qu'à chaque rang, la valeur perd 20 %. C'est typique de la modélisation d'une élimination progressive (médicament, dépréciation d'un bien…).

Exercice 5 / 5

Mise en situation Modélisation complète Reprend F1 et F2
✓ Vu
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Un compte qui décolle

Un créateur de contenu observe que son nombre d'abonnés évolue de façon géométrique. Il comptait 500 abonnés au bout de 2 semaines (\(u_2 = 500\)) et 4000 abonnés au bout de 5 semaines (\(u_5 = 4000\)). On note \(u_n\) le nombre d'abonnés après \(n\) semaines.

1. Déterminer la raison \(q\) de la suite.
2. Retrouver \(u_0\) (le nombre d'abonnés au lancement) et écrire \(u_n\).
3. Calculer le nombre d'abonnés prévu après 8 semaines.
4. Vérifier la cohérence en calculant \(u_2\) et \(u_5\) avec la formule.
5. (Bonus) La suite est-elle croissante ? Cela est-il cohérent avec la situation ?

💡 Indices

Écart de rangs : \(5 - 2 = 3\). Donc \(q^3 = \frac{4000}{500} = 8\). Quel est \(q\) ?
On sait que \(q = 2\). On injecte \(u_2 = 500\) : \(u_2 = u_0 \times 2^2 = 4u_0 = 500\), donc \(u_0 = 125\).
1. Trouver \(q\)
Écart de rangs\(5 - 2 = 3\)
Quotient\(q^3 = \dfrac{4000}{500} = 8\)
Identification\(q = 2\) car \(2^3 = 8\)
\(q = 2\)
2. Trouver \(u_0\) et écrire \(u_n\)
Injection\(u_2 = u_0 \times 2^2 = 4u_0\)
Résolution\(4u_0 = 500 \implies u_0 = 125\)
Terme général\(u_n = 125 \times 2^n\)
\(u_0 = 125\) abonnés au lancement, et \(u_n = 125 \times 2^n\)
3. Nombre d'abonnés après 8 semaines
Calcul\(u_8 = 125 \times 2^8 = 125 \times 256\)
\(u_8 = 32\,000\) abonnés après 8 semaines.
4. Vérification
Rang \(n\)25
Formule\(125 \times 4 = 500\) ✅\(125 \times 32 = 4000\) ✅
On retrouve exactement les données de l'énoncé.
5. Bonus — Sens de variation

\(q = 2 > 1\), donc la suite est croissante. C'est cohérent : le nombre d'abonnés augmente chaque semaine — il double même à chaque semaine !

🌟 Le nombre d'abonnés passe de 125 à 32 000 en 8 semaines : c'est la croissance exponentielle en action, caractéristique des phénomènes viraux sur les réseaux sociaux.
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Feuille 3 terminée !
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Tu maîtrises maintenant les trois grandes questions : reconnaître, calculer, et retrouver la raison. La feuille 4 s'attaque au sens de variation et à la représentation graphique.

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