Chapitre 5 · Première · Suites géométriques

Sens de variation
et représentation graphique

Feuille 4 sur 6 — Croissante, décroissante, constante · Points isolés dans un repère

🆕 Nouvelle notion ✏️ 5 exercices ♻️ Reprend F1, F2, F3

📌 Ce qu'il faut savoir pour cette feuille

\(q > 1\)
↗
Croissante
On multiplie par plus de 1 : la suite augmente.
\(0 < q < 1\)
↘
Décroissante
On multiplie par moins de 1 : la suite diminue.
\(q = 1\)
→
Constante
Tous les termes sont égaux à \(u_0\).
Rappels F1–F3 — Formules clés
\(u_n = u_0 \times q^n\)
Vérifier : quotients consécutifs égaux. Retrouver \(q\) : \(q^{n-p} = \dfrac{u_n}{u_p}\).
Représentation graphique
On place les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) dans un repère. Les points sont isolés — on ne les relie jamais. Ils suivent une courbe exponentielle (aperçu).
Corrections vues :
0 / 5

Exercice 1 / 5

Sens de variation Selon \(q\)
✓ Vu

Pour chaque suite géométrique à termes strictement positifs, déterminer le sens de variation en justifiant avec la valeur de \(q\).

a) \(u_0 = 3\), \(q = 2\)
b) \(u_0 = 100\), \(q = 0{,}8\)
c) \(u_0 = 7\), \(q = 1\)
d) \(u_0 = 50\), \(q = 1{,}05\)
e) Suite géométrique dont les premiers termes sont : \(200 \;;\; 160 \;;\; 128 \;;\; 102{,}4\)
f) Suite géométrique telle que \(u_1 = 6\) et \(u_3 = 54\).

💡 Pour e) et f), commencer par retrouver \(q\) (méthode F1 et F3), puis conclure.

💡 Indices

Calcule \(\frac{160}{200} = 0{,}8\). Vérifie avec le quotient suivant. Une fois \(q\) connu, compare-le à 1.
L'écart de rangs est \(3-1=2\), donc \(q^2 = \frac{54}{6} = 9\), d'où \(q=3\). Est-ce que \(3 > 1\) ?
a) \(q = 2\)

\(q = 2 > 1\) donc la suite est croissante. ↗

b) \(q = 0{,}8\)

\(0 < q = 0{,}8 < 1\) donc la suite est décroissante. ↘

c) \(q = 1\)

\(q = 1\) donc la suite est constante : tous les termes valent \(u_0 = 7\). →

d) \(q = 1{,}05\)

\(q = 1{,}05 > 1\) donc la suite est croissante. ↗

💰 \(q = 1{,}05\) correspond à une augmentation de 5 % par rang — typique d'un capital placé à 5 % d'intérêts composés.
e) \(200 \;;\; 160 \;;\; 128 \;;\; 102{,}4\)
Trouver \(q\)\(q = \dfrac{160}{200} = 0{,}8\) (vérif. : \(\frac{128}{160} = 0{,}8\) ✅)
Conclusion\(0 < q = 0{,}8 < 1\) → suite décroissante ↘
f) \(u_1 = 6\), \(u_3 = 54\)
Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{54}{6} = 9 \implies q = 3\)
Conclusion\(q = 3 > 1\) → suite croissante ↗

Exercice 2 / 5

Sens inverse Variation → contrainte sur \(q\) Reprend F3
✓ Vu

On donne des informations sur le sens de variation d'une suite géométrique. En déduire une contrainte sur \(q\), puis répondre à la question.

1. Une suite géométrique à termes positifs est croissante. Que peut-on dire de sa raison \(q\) ?
2. Un investissement est modélisé par une suite géométrique décroissante. Donner un exemple de raison possible, et un exemple impossible.
3. Une suite vérifie \(u_0 = 5\) et \(u_2 = 45\). Est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec \(q\), puis calculer \(u_5\).
4. Une suite vérifie \(u_0 = 256\) et \(u_4 = 16\). Déterminer \(q\), préciser le sens de variation, puis calculer \(u_6\).

💡 Indices

\(q^2 = \frac{45}{5} = 9\), donc \(q = 3\). Compare \(q\) à 1 pour conclure, puis applique \(u_5 = 5 \times 3^5\).
\(q^4 = \frac{16}{256} = \frac{1}{16}\). Quel nombre positif, à la puissance 4, donne \(\frac{1}{16}\) ? Pense à \(\frac{1}{2}\).
1. Suite croissante

Une suite géométrique à termes strictement positifs est croissante si et seulement si \(q > 1\).

2. Suite décroissante

Une raison strictement comprise entre 0 et 1 donne une suite décroissante.

Exemple possible : \(q = 0{,}5\).   Exemple impossible : \(q = 2\) (donnerait une suite croissante).
3. \(u_0 = 5\), \(u_2 = 45\)
Trouver \(q\)\(q^2 = \dfrac{45}{5} = 9 \implies q = 3\)
Variation\(q = 3 > 1\) → suite croissante
Calcul \(u_5\)\(u_5 = 5 \times 3^5 = 5 \times 243 = 1215\)
Suite croissante, \(q = 3\), \(u_5 = 1215\)
4. \(u_0 = 256\), \(u_4 = 16\)
Trouver \(q\)\(q^4 = \dfrac{16}{256} = \dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \implies q = \dfrac{1}{2}\)
Variation\(0 < q = \tfrac{1}{2} < 1\) → suite décroissante
Calcul \(u_6\)\(u_6 = 256 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{256}{64} = 4\)
Suite décroissante, \(q = \tfrac{1}{2}\), \(u_6 = 4\)

Exercice 3 / 5

Représentation graphique Points isolés
✓ Vu

Ci-dessous, trois représentations graphiques de suites géométriques (points isolés). Observer les allures et répondre aux questions.

Graphique A
012 34 124 816 n
Graphique B
012 34 1684 21 n
Graphique C
012 34 5 n
1. Pour chaque graphique, indiquer si la suite est croissante, décroissante ou constante, et donner la valeur probable de \(q\) (supérieure à 1, égale à 1, ou comprise entre 0 et 1).
2. Sur le graphique B, lire les valeurs \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et en déduire la raison \(q\).
3. Pourquoi ne relie-t-on jamais les points entre eux dans la représentation graphique d'une suite ?

💡 Indices

Lis les ordonnées des premiers points sur le graphique A : le premier point est en \((0\,;\,1)\), le deuxième en \((1\,;\,2)\)… Calcule le quotient.
1. Nature de chaque suite
Graphique A
↗
Croissante — \(q > 1\)
Graphique B
↘
Décroissante — \(0 < q < 1\)
Graphique C
→
Constante — \(q = 1\)
2. Lecture sur le graphique B

D'après le graphique : \(u_0 = 16\), \(u_1 = 8\), \(u_2 = 4\).

Raison\(q = \dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{8}{16} = 0{,}5\) (vérif. : \(\dfrac{4}{8} = 0{,}5\) ✅)
\(q = 0{,}5\) — cohérent avec la décroissance observée sur le graphique B.
3. Pourquoi des points isolés ?

Une suite n'est définie que pour des rangs entiers : \(n = 0, 1, 2, 3, \ldots\) La notion de \(u_{1{,}5}\) ou \(u_{2{,}3}\) n'a aucun sens. Relier les points laisserait croire qu'il existe des valeurs entre les rangs entiers, ce qui est faux.

🔎 La courbe en pointillés parfois tracée en arrière-plan (fonction exponentielle) ne fait pas partie de la suite — elle guide juste l'œil pour visualiser la tendance.

Exercice 4 / 5

Tracer les points Reprend F2 Tableau + graphique
✓ Vu

Soit la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 1{,}5\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) et compléter le tableau. Arrondir à \(10^{-2}\).
2. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec \(q\).
3. Dans le repère ci-dessous, placer les points \((n\,;\,u_n)\) pour \(n \in \{0,1,2,3,4\}\). Ne pas relier les points.
4. Comparer qualitativement l'écartement entre points successifs : est-il constant, croissant ou décroissant ?
\(n\)01234
\(u_n\)1

Repère pour tracer les points :

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 n u

💡 Indices

\(u_1 = 1 \times 1{,}5 = 1{,}5\) ; \(u_2 = 1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\) ; continue ainsi de suite.
Compare la distance verticale entre \(u_0\) et \(u_1\), puis entre \(u_1\) et \(u_2\), puis entre \(u_2\) et \(u_3\). Est-ce que ces écarts augmentent, diminuent, ou restent constants ?
1. Tableau de valeurs
\(n\)01234
\(u_n\)11,502,253,385,06
📐 \(u_3 = 1 \times 1{,}5^3 = 3{,}375 \approx 3{,}38\) et \(u_4 = 1 \times 1{,}5^4 = 5{,}0625 \approx 5{,}06\).
2. Sens de variation

\(q = 1{,}5 > 1\) donc la suite est croissante.

3. Représentation graphique
012 34 012 34 \(u_0\) \(u_1\) \(u_2\) \(u_3\) \(u_4\)
⚠️ Les points sont bien isolés : aucune droite ni courbe ne les relie.
4. Écartement entre points

Les écarts verticaux entre points successifs sont de plus en plus grands (\(0{,}5\) puis \(0{,}75\) puis \(1{,}13\) puis \(1{,}68\)…). L'écartement est croissant : les points s'éloignent de plus en plus vite.

🌟 C'est la signature visuelle de la croissance exponentielle : contrairement à une suite arithmétique (points alignés, écarts constants), ici les sauts deviennent de plus en plus grands.

Exercice 5 / 5

Mise en situation Modélisation complète Reprend F1, F2, F3
✓ Vu
💊
Élimination d'un médicament

Un patient prend une dose unique d'un médicament. Chaque heure, l'organisme élimine 20 % de la quantité restante. On note \(u_n\) la quantité de médicament (en mg) présente dans l'organisme après \(n\) heures. Au départ, \(u_0 = 200\) mg.

1. Expliquer pourquoi \((u_n)\) est une suite géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).
2. Sans calcul, indiquer le sens de variation et justifier par la valeur de \(q\).
3. Écrire la formule du terme général \(u_n\), puis calculer \(u_3\) et \(u_6\). Arrondir au centième.
4. Compléter le tableau de valeurs pour \(n\) de 0 à 5.
5. (Bonus) D'après le tableau, la quantité de médicament est-elle déjà inférieure à 10 mg après 5 heures ? Que peut-on dire de la tendance de la suite au fil du temps ?
\(n\) (heures)012345
\(u_n\) (mg)200

💡 Indices

Éliminer 20 %, c'est garder 80 %, soit multiplier par 0,8. Ce facteur est constant à chaque heure.
Observe la colonne \(u_5\) : tu devrais trouver environ 65 mg. La quantité continue de diminuer, mais reste encore très loin de 1 mg. Il faudrait continuer le tableau jusqu'à trouver une valeur inférieure à 1.
1. Nature de la suite

Chaque heure, la quantité restante est multipliée par \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\). Ce facteur est constant à chaque étape : c'est donc une suite géométrique.

\(u_0 = 200\) mg et \(q = 0{,}8\)
2. Sens de variation

\(0 < q = 0{,}8 < 1\) donc la suite est décroissante. Biologiquement cohérent : la quantité de médicament diminue au fil du temps.

3. Terme général et calculs
\(u_n = 200 \times (0{,}8)^n\)
Calcul \(u_3\)\(u_3 = 200 \times (0{,}8)^3 = 200 \times 0{,}512 = 102{,}40\) mg
Calcul \(u_6\)\(u_6 = 200 \times (0{,}8)^6 = 200 \times 0{,}262\,144 \approx 52{,}43\) mg
4. Tableau de valeurs
\(n\)012345
\(u_n\) (mg)200160128102,4081,9265,54
📉 La quantité diminue de plus en plus lentement en valeur absolue — mais toujours du même pourcentage (20 %). C'est la nature de la décroissance exponentielle.
5. Bonus

D'après le tableau, après 5 heures il reste environ 65,54 mg : non, la quantité n'est pas encore inférieure à 10 mg. Elle a certes beaucoup diminué (de 200 à 65 mg), mais reste encore conséquente.

La suite étant décroissante avec \(0 < q < 1\), les termes se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre en théorie — mais ils deviennent de plus en plus petits. La quantité de médicament diminue indéfiniment, de plus en plus lentement.

🌟 C'est pourquoi les notices médicales parlent de « demi-vie » : le temps nécessaire pour que la quantité soit divisée par 2. Ici, à chaque heure, 20 % est éliminé, donc 80 % reste — la demi-vie se situe autour de 3 heures (on passe de 200 à environ 102 mg en 3 heures).
🎉
Feuille 4 terminée !
★★★★★

Tu sais maintenant analyser et représenter le comportement d'une suite géométrique. Il ne reste plus que la feuille bilan pour consolider l'ensemble du chapitre !

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