Feuille bilan

Exercice 1 / 5

Vrai / Faux Toutes notions

✓ Vu

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier en une phrase.

F1F2 F3F4

a) La suite \(3 \;;\; 6 \;;\; 9 \;;\; 12\) est une suite géométrique de raison \(q = 2\).

b) Toute suite géométrique de raison \(q > 1\) est croissante.

c) Si \(u_0 = 5\) et \(q = 2\), alors \(u_3 = 5 \times 3^2 = 45\).

d) Une suite géométrique de raison \(q = 0{,}5\) admet des termes qui tendent vers 0.

e) Si \(u_2 = 12\) et \(u_4 = 48\), alors \(q^2 = \dfrac{48}{12} = 4\), donc \(q = 2\).

💡 Indices

Calcule les quotients consécutifs. Est-ce qu'on multiplie par 2, ou est-ce qu'on ajoute 3 ?

Relis la formule : \(u_n = u_0 \times q^n\). Quelle est la bonne expression de \(u_3\) ?

a) Faux

\(\frac{6}{3} = 2\) mais \(\frac{9}{6} = 1{,}5 \neq 2\). Les quotients ne sont pas tous égaux : ce n'est pas une suite géométrique mais une suite arithmétique de raison \(r = 3\).

b) Vrai

Par définition : si \(q > 1\) et les termes sont strictement positifs, chaque terme est strictement plus grand que le précédent, donc la suite est croissante.

c) Faux

La formule correcte est \(u_3 = u_0 \times q^3 = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40\). L'erreur consiste à confondre l'exposant (le rang \(n = 3\)) avec la base (la raison \(q = 2\)).

\(u_3 = 40\), pas 45.

d) Vrai

Comme \(0 < q = 0{,}5 < 1\), la suite est décroissante : à chaque rang, le terme est multiplié par \(0{,}5\), donc divisé par 2. Les termes deviennent de plus en plus petits et s'approchent de 0.

e) Vrai

L'écart de rangs est \(4 - 2 = 2\). On calcule bien \(q^2 = \frac{u_4}{u_2} = \frac{48}{12} = 4\), ce qui donne \(q = 2\). Le raisonnement et le résultat sont corrects.

Exercice 2 / 5

Calculs croisés F1 · F2 · F3

✓ Vu

Pour chaque suite géométrique à termes strictement positifs, répondre à l'ensemble des questions.

F1 — Vérifier F2 — Terme général F3 — Retrouver q F4 — Variation

Partie A —

Une suite vérifie \(u_0 = 6\) et \(u_3 = 48\).

1. Déterminer \(q\).

2. Écrire la formule du terme général \(u_n\).

3. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

4. Calculer \(u_6\).

Partie B —

Une suite vérifie \(u_1 = 90\) et \(u_4 = \dfrac{90}{8}\).

5. Déterminer \(q\), puis \(u_0\).

6. Écrire la formule du terme général \(u_n\).

7. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

💡 Indices

Écart de rangs : \(3 - 0 = 3\). Donc \(q^3 = \frac{48}{6} = 8\). Quel entier, au cube, donne 8 ?

Écart de rangs : \(4 - 1 = 3\). Donc \(q^3 = \frac{90/8}{90} = \frac{1}{8}\). Quel nombre, au cube, donne \(\frac{1}{8}\) ?

Partie A — \(u_0 = 6\), \(u_3 = 48\)

1. Trouver \(q\)\(q^3 = \dfrac{48}{6} = 8 \implies q = 2\)

2. Terme général\(u_n = 6 \times 2^n\)

3. Variation\(q = 2 > 1\) → suite croissante

4. Calcul \(u_6\)\(u_6 = 6 \times 2^6 = 6 \times 64 = 384\)

\(q=2\), \(u_n = 6 \times 2^n\), croissante, \(u_6 = 384\)

Partie B — \(u_1 = 90\), \(u_4 = \frac{90}{8}\)

5. Trouver \(q\)\(q^3 = \dfrac{90/8}{90} = \dfrac{1}{8} \implies q = \dfrac{1}{2}\)

Trouver \(u_0\)\(u_1 = u_0 \times \dfrac{1}{2} = 90 \implies u_0 = 180\)

6. Terme général\(u_n = 180 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)

7. Variation\(0 < q = \tfrac{1}{2} < 1\) → suite décroissante

\(q=\tfrac{1}{2}\), \(u_0=180\), \(u_n = 180 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\), décroissante

Exercice 3 / 5

Discrimination Arithmétique vs Géométrique

✓ Vu

Pour chaque suite, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. Justifier soigneusement.

a) \(1 \;;\; 4 \;;\; 9 \;;\; 16 \;;\; 25\)

b) \(3 \;;\; 6 \;;\; 12 \;;\; 24 \;;\; 48\)

c) \(10 \;;\; 7 \;;\; 4 \;;\; 1 \;;\; -2\)

d) \(64 \;;\; 32 \;;\; 16 \;;\; 8 \;;\; 4\)

e) \(5 \;;\; 5 \;;\; 5 \;;\; 5 \;;\; 5\)

💡 Calculer à la fois les différences et les quotients de termes consécutifs.

💡 Indices

Ce sont les carrés des entiers : \(1^2, 2^2, 3^2\ldots\) Calcule les différences (\(4-1=3\), \(9-4=5\)…) et les quotients (\(\frac{4}{1}=4\), \(\frac{9}{4}=2{,}25\)…). Sont-ils constants ?

Une suite constante est à la fois arithmétique (raison \(r=0\)) et géométrique (raison \(q=1\)). Les deux !

a) \(1 \;;\; 4 \;;\; 9 \;;\; 16 \;;\; 25\)

Différences : \(3, 5, 7, 9\) — non constantes. Quotients : \(4, 2{,}25, 1{,}78\ldots\) — non constants.

Ni arithmétique ni géométrique. (Ce sont les carrés des entiers.)

b) \(3 \;;\; 6 \;;\; 12 \;;\; 24 \;;\; 48\)

Quotients : \(\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = \frac{48}{24} = 2\) — tous égaux.

Suite géométrique de raison \(q = 2\).

c) \(10 \;;\; 7 \;;\; 4 \;;\; 1 \;;\; -2\)

Différences : \(-3, -3, -3, -3\) — toutes égales. C'est une suite arithmétique. Les quotients ne sont pas constants (et les termes changent de signe, donc la suite ne peut pas être géométrique dans le cadre du cours).

Suite arithmétique de raison \(r = -3\).

d) \(64 \;;\; 32 \;;\; 16 \;;\; 8 \;;\; 4\)

Quotients : \(\frac{32}{64} = \frac{16}{32} = \frac{8}{16} = \frac{4}{8} = 0{,}5\) — tous égaux.

Suite géométrique de raison \(q = 0{,}5\). Décroissante car \(0 < q < 1\).

e) \(5 \;;\; 5 \;;\; 5 \;;\; 5 \;;\; 5\)

Différences toutes nulles → arithmétique de raison \(r = 0\). Quotients tous égaux à 1 → géométrique de raison \(q = 1\).

À la fois arithmétique (\(r=0\)) et géométrique (\(q=1\)) : c'est la suite constante.

Exercice 4 / 5

Problème ouvert F2 · F3 · F4 Niveau intermédiaire

✓ Vu

📈

Deux placements en compétition

Alice place 1 000 € à un taux d'intérêts composés de 6 % par an. Baptiste place 1 500 € à un taux de 3 % par an. On note \(a_n\) et \(b_n\) leurs capitaux respectifs après \(n\) années.

1. Justifier que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont deux suites géométriques. Préciser \(a_0\), \(q_a\), \(b_0\), \(q_b\).

2. Écrire les formules de \(a_n\) et \(b_n\).

3. Calculer \(a_{10}\) et \(b_{10}\). Arrondir à l'euro.

4. Après 10 ans, qui a le plus de capital ? Cela était-il prévisible dès le départ ?

5. (Bonus) Alice démarre avec moins d'argent, mais son taux est plus élevé. Y a-t-il un moment où le capital d'Alice dépasse celui de Baptiste ? Justifier qualitativement sans calcul de rang précis.

💡 Indices

Un taux de 6 % signifie qu'on multiplie le capital par \(1{,}06\) chaque année. Ce facteur est constant : c'est donc une suite géométrique.

La suite \((a_n)\) croît plus vite car \(q_a = 1{,}06 > q_b = 1{,}03\). À long terme, une suite géométrique à raison plus grande finit toujours par dépasser l'autre, quel que soit le capital de départ.

1. Nature des suites

Chaque année, le capital est multiplié par un facteur constant : \(1{,}06\) pour Alice (gain de 6 %) et \(1{,}03\) pour Baptiste (gain de 3 %). Ce sont donc deux suites géométriques.

\(a_0 = 1000\), \(q_a = 1{,}06\) · \(b_0 = 1500\), \(q_b = 1{,}03\)

2. Formules

\(a_n = 1000 \times 1{,}06^n\) et \(b_n = 1500 \times 1{,}03^n\)

3. Calculs à \(n = 10\)

Alice\(a_{10} = 1000 \times 1{,}06^{10} \approx 1000 \times 1{,}7908 \approx 1791\) €

Baptiste\(b_{10} = 1500 \times 1{,}03^{10} \approx 1500 \times 1{,}3439 \approx 2016\) €

\(a_{10} \approx 1791\) € et \(b_{10} \approx 2016\) €

4. Comparaison après 10 ans

Après 10 ans, Baptiste a davantage (\(2016\) € contre \(1791\) €). Cela n'était pas entièrement prévisible : Baptiste démarrait avec 50 % de capital en plus, et même si son taux est plus faible, cet avantage initial se maintient sur 10 ans.

5. Bonus — Dépassement à long terme

Oui : à très long terme, Alice finira par dépasser Baptiste. Comme \(q_a = 1{,}06 > q_b = 1{,}03\), la suite \((a_n)\) croît exponentiellement plus vite. Sur de nombreuses années, l'écart de taux l'emporte sur l'écart de capital de départ. Ce phénomène illustre l'importance du taux dans un placement à long terme.

🌟 C'est l'un des principes fondamentaux de la finance : à long terme, le taux de croissance est plus déterminant que le capital initial.

Exercice 5 / 5

Synthèse Toutes les notions Niveau supérieur

✓ Vu

🌲

Reboisement d'une forêt

Une forêt est ravagée par un incendie. Juste après, elle ne compte plus que 400 arbres. Une association plante chaque année de nouveaux arbres, si bien que le nombre d'arbres croît de 15 % par an. On note \(u_n\) le nombre d'arbres après \(n\) années.

1. Montrer que \((u_n)\) est une suite géométrique. Préciser \(u_0\) et \(q\).

2. Écrire la formule du terme général \(u_n\).

3. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir à l'unité).

4. La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier avec \(q\). Est-ce cohérent avec la situation ?

5. Avant l'incendie, la forêt comptait 2 000 arbres. On cherche après combien d'années \(k\) le nombre d'arbres dépasse à nouveau 2 000. Calculer \(u_5\) et \(u_{10}\) et en déduire ce que l'on peut dire sur \(k\).

6. (Bonus) Calculer \(u_{15}\). En utilisant les résultats de la question 5, donner un encadrement de \(k\) entre deux multiples de 5.

\(n\) (années)	0	1	2	3	4	5
\(u_n\) (arbres)	400

💡 Indices

Augmenter de 15 %, c'est multiplier par \(1 + 0{,}15 = 1{,}15\). Ce facteur est le même chaque année.

Calcule \(u_5 = 400 \times 1{,}15^5\) et \(u_{10} = 400 \times 1{,}15^{10}\). Compare ces valeurs à 2000 pour savoir de quel côté se trouve \(k\).

1. Nature de la suite

Chaque année, le nombre d'arbres est multiplié par \(1{,}15\) (on garde 100 % et on ajoute 15 %). Ce facteur est constant : c'est une suite géométrique.

\(u_0 = 400\) et \(q = 1{,}15\)

2. Terme général

\(u_n = 400 \times 1{,}15^n\)

3. Tableau de valeurs

\(n\)	0	1	2	3	4	5
\(u_n\)	400	460	529	608	700	805

4. Sens de variation

\(q = 1{,}15 > 1\) donc la suite est croissante. Cohérent : le nombre d'arbres augmente chaque année grâce au reboisement.

5. Que peut-on dire de \(k\) ?

Calcul \(u_5\)\(u_5 = 400 \times 1{,}15^5 \approx 805\) arbres \(< 2000\)

Calcul \(u_{10}\)\(u_{10} = 400 \times 1{,}15^{10} \approx 1619\) arbres \(< 2000\)

Les deux valeurs sont inférieures à 2 000 : la forêt n'a pas encore retrouvé son niveau d'avant l'incendie après 10 ans.

On peut seulement conclure que \(k > 10\). Il faut aller plus loin pour encadrer \(k\).

6. Bonus — Encadrement entre deux multiples de 5

Calcul \(u_{15}\)\(u_{15} = 400 \times 1{,}15^{15} \approx 400 \times 8{,}137 \approx 3255\) arbres \(> 2000\)

On a \(u_{10} \approx 1619 < 2000\) et \(u_{15} \approx 3255 > 2000\), donc :

\(10 < k < 15\) — la forêt retrouve ses 2 000 arbres entre la 10\(^\text{e}\) et la 15\(^\text{e}\) année.

🌲 En affinant encore (calcul de \(u_{11}\), \(u_{12}\)…), on trouverait \(u_{12} \approx 1878 < 2000\) et \(u_{13} \approx 2159 > 2000\), donc \(k = 13\) ans.

Exercice 1 / 5

Exercice 2 / 5

Exercice 3 / 5

Exercice 4 / 5

Exercice 5 / 5