La version multiplicative des suites arithmétiques : au lieu d'ajouter toujours la même quantité, on multiplie toujours par le même nombre.
Un compte qui double d'abonnés chaque semaine, un capital placé qui fructifie année après année, une dose de médicament qui s'élimine peu à peu dans le sang... Contrairement au chapitre précédent, où l'on ajoutait toujours la même quantité, on va cette fois multiplier toujours par le même nombre. Bienvenue dans le monde des suites géométriques !
100 abonnés au départ, le nombre double chaque semaine :
1000 € placés à 5 % d'intérêts composés par an (on multiplie par 1,05) :
50 bactéries au départ, la population triple toutes les heures :
200 mg au départ, 20 % éliminés chaque heure (on multiplie par 0,8) :
Dans chaque cas, on part d'une valeur de départ, et on multiplie toujours par le même nombre pour passer à l'étape suivante — que ce soit ×2, ×1,05, ×3 ou ×0,8. C'est exactement la définition d'une suite géométrique, que tu vas retrouver juste en dessous.
Souviens-toi : dans une suite arithmétique, on ajoutait toujours la même raison \(r\). Ici, même principe de récurrence, mais avec une opération différente : on multiplie toujours par la même raison \(q\). Tu vas retrouver exactement la même architecture — définition, terme général, sens de variation, représentation graphique — mais avec des réflexes multiplicatifs à la place des réflexes additifs.
Comme au chapitre précédent, une suite géométrique est une liste ordonnée de nombres, un par rang — mais ici, tous strictement positifs :
Le nombre de la suite qui se trouve à la position \(n\). \(u_0\) est le premier terme, \(u_1\) le suivant, etc. — exactement comme pour les suites arithmétiques.
Le nombre fixe et strictement positif par lequel on multiplie chaque terme pour obtenir le suivant. C'est l'équivalent multiplicatif de la raison \(r\) du chapitre précédent.
Une suite \((u_n)\) à termes strictement positifs est dite géométrique lorsqu'il existe un réel \(q > 0\), appelé raison, tel que pour tout entier naturel \(n\) :
Autrement dit : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par la même quantité \(q\). C'est une définition par récurrence, exactement comme pour les suites arithmétiques : pour connaître \(u_5\), il faut en principe être passé par \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\).
On ne travaille ici qu'avec des suites à termes strictement positifs, donc une raison \(q\) toujours strictement positive. Contrairement au chapitre précédent, il n'y a donc pas de cas « raison négative » à envisager : cela simplifiera notamment l'étude du sens de variation.
Imagine une machine : tu entres un terme, elle le multiplie toujours par la même quantité \(q\), et recrache le terme suivant. Entre à nouveau ce résultat, elle multiplie encore par \(q\)... C'est exactement le principe de la récurrence, mais avec une multiplication à la place d'une addition.
Oui : on multiplie à chaque fois par 2 (\(10\div5=2\), \(20\div10=2\), \(40\div20=2\)). C'est une suite géométrique de raison \(q=2\).
Non : \(6\div3=2\) mais \(9\div6=1{,}5\). Le quotient entre deux termes consécutifs n'est pas constant, donc ce n'est pas une suite géométrique (ici, on ajoute 3 à chaque fois — c'est une suite arithmétique, celle du chapitre précédent !).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 3 | 6 | 12 | 24 | 48 |
On multiplie par \(q=2\) à chaque étape : \(3 \to 6 \to 12 \to 24 \to 48\).
Soit \((v_n)\) la suite géométrique de premier terme \(v_0 = 100\) et de raison \(q = 0{,}5\). Calcule \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(v_n\) | 100 | 50 | 25 | 12,5 |
Calculer \(u_{20}\) de proche en proche serait épuisant. Heureusement, on peut sauter directement au rang voulu.
Si \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), alors pour tout entier naturel \(n\) :
Plus généralement, entre deux rangs quelconques \(p\) et \(n\) : \(u_n = u_p \times q^{\,n-p}\).
Chaque rang franchi multiplie une nouvelle fois par \(q\) — au lieu d'ajouter \(r\) comme au chapitre précédent, on enchaîne les multiplications. Regarde ce qui se passe avec \(u_0 = 2\) et \(q = 2\) :
Soit \((w_n)\) la suite géométrique de premier terme \(w_0 = 5\) et de raison \(q = 3\). Calcule \(w_5\).
Exactement le même problème qu'au chapitre précédent : et si on ne connaît que deux termes de la suite, sans savoir ni \(u_0\) ni \(q\) ?
On calcule d'abord le quotient \(u_n/u_p\), puis on cherche le nombre \(q\) qui, élevé à la puissance \(n-p\), redonne exactement ce résultat (on procède par essais, ou avec la calculatrice). Puis on injecte un terme connu dans \(u_n = u_0\times q^{\,n}\) pour retrouver \(u_0\).
Comme au chapitre précédent : le rang le plus grand doit rester au numérateur du quotient. Inverser l'ordre reviendrait à calculer \(1/q\) au lieu de \(q\).
Une suite géométrique vérifie \(u_1 = 3\) et \(u_3 = 27\). Détermine \(q\) puis \(u_0\).
Étape 1 — Calcul de \(q\)
Étape 2 — Calcul de \(u_0\)
La même logique qu'au chapitre précédent, appliquée cette fois à la position de la raison par rapport à 1.
Soit \((u_n)\) une suite géométrique à termes strictement positifs, de raison \(q\).
\((u_n)\) est croissante
\((u_n)\) est décroissante
\((u_n)\) est constante
Là encore, aucune surprise : on multiplie toujours par \(q\) pour passer au terme suivant. Multiplier un nombre positif par plus de 1 le fait grandir, par un nombre entre 0 et 1 le fait rétrécir.
Comme les termes sont toujours strictement positifs, une suite géométrique de ce programme ne peut jamais osciller entre positif et négatif : il n'y a donc que ces trois cas à connaître, contre quatre (y compris \(r<0\)) pour les suites arithmétiques.
Médicament : \(q=0{,}8\), et \(0<0{,}8<1\) → suite décroissante (la dose diminue). Compte qui décolle : \(q=2>1\) → suite croissante (le nombre d'abonnés explose).
Dans un repère, les points de coordonnées \((n\,;\,u_n)\) ne sont plus alignés — c'est la grande différence avec le chapitre précédent. Ils s'accumulent le long d'une courbe qui monte (ou descend) de plus en plus vite : celle-là même de la fonction exponentielle \(x \mapsto u_0\times q^{\,x}\), que tu découvriras bientôt.
Comme au chapitre précédent : une suite n'existe qu'aux rangs entiers \(0, 1, 2, 3, \dots\). On place donc des points isolés, jamais une ligne continue qui les relie — \(u_{2{,}5}\) n'a toujours aucun sens.
Remarque bien : les points s'écartent de plus en plus les uns des autres à mesure que \(n\) augmente. C'est la signature visuelle d'une raison \(q>1\) — et ce sera exactement la même allure pour la fonction exponentielle du prochain chapitre.
La suite géométrique \(u_n = u_0\times q^{\,n}\) n'existe qu'aux rangs entiers. En autorisant l'exposant à varier continûment, on obtient la fonction \(x\mapsto q^{\,x}\) : c'est la fonction exponentielle, qui modélise croissance et décroissance de façon continue.
Garde en tête le parallèle : \(u_n = u_0\times q^{\,n}\) joue, pour la multiplication, exactement le rôle que jouait \(u_n = u_0 + n r\) pour l'addition. Même moteur mathématique — additif d'un côté, multiplicatif de l'autre.