Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1ère

Définir et calculer
aˣ

Feuille d'exercices n°1 — de la puissance entière à la fonction exponentielle

a⁰ = 1 x ∈ ℝ a > 0

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Puissances entières (collège)
Pour \(a\) un nombre et \(n\) un entier naturel non nul, \(a^n\) est \(a\) multiplié \(n\) fois par lui-même. On sait aussi que :
\(a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)
② La fonction exponentielle
Pour \(a > 0\), on définit la fonction \(f(x) = a^x\) pour n'importe quel réel \(x\) — pas seulement les entiers, contrairement à une simple puissance à exposant entier.
⚠ \(x\) peut être n'importe quel nombre réel : \(2{,}5\), \(-1\), \(\pi\)…
🔁 Cette feuille réactive le calcul de puissances entières vu au collège — la nouveauté est de faire varier l'exposant sur n'importe quel réel, pas seulement les entiers.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Puissances entières rappel collège
✓ Vu

Calculer chacune des puissances suivantes.

a) \(3^4\)
b) \(2^{-3}\)
c) \(5^0\)
d) \((-2)^3\)
e) \(10^{-2}\)

💡 Indices

Un exposant négatif signifie « inverse » : \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\).
a) 3⁴
\(3^4 = 81\)
b) 2⁻³
Calcul\(2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}\)
\(2^{-3} = 0{,}125\)
c) 5⁰
\(5^0 = 1\)
d) (−2)³
\((-2)^3 = -8\)
e) 10⁻²
Calcul\(10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100}\)
\(10^{-2} = 0{,}01\)

Exercice 2 / 6

Définition Calcul de valeurs
✓ Vu

On rappelle que pour calculer \(f(x)\) avec \(f(x)=a^x\), on remplace simplement \(x\) par la valeur donnée.

a) Soit \(f(x) = 3^x\). Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\) et \(f(-1)\).
b) Soit \(g(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\). Calculer \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(2)\) et \(g(-2)\).

💡 Indices

\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = \dfrac{1}{(1/2)^2} = 2^2\), comme pour n'importe quel exposant négatif.
a) f(x) = 3ˣ
Calcul\(f(0) = 3^0 = 1\)
Calcul\(f(1) = 3^1 = 3\)
Calcul\(f(2) = 3^2 = 9\)
Calcul\(f(-1) = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\)
b) g(x) = (1/2)ˣ
Calcul\(g(0) = \left(\tfrac12\right)^0 = 1\)
Calcul\(g(1) = \left(\tfrac12\right)^1 = 0{,}5\)
Calcul\(g(2) = \left(\tfrac12\right)^2 = 0{,}25\)
Calcul\(g(-2) = \left(\tfrac12\right)^{-2} = 2^2 = 4\)

Exercice 3 / 6

Vrai / Faux Discret vs continu
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) La fonction \(f(x)=a^x\) n'est définie que pour \(x\) entier.
b) Si \(a>0\), on peut calculer \(f(2{,}5)\).
c) On ne peut calculer \(a^x\) que si \(x\) est positif.
d) La valeur de \(f(0)\) dépend de la base \(a\) choisie.
e) Pour \(a>0\), \(f(x)\) est strictement positif quel que soit \(x\).

💡 Indices

Repense au bloc « ② La fonction exponentielle » du rappel : quel est le domaine de \(x\) ?
a)

✗ FAUX — \(f(x)=a^x\) est définie pour n'importe quel réel \(x\), pas seulement les entiers.

b)

✓ VRAI — pour \(a>0\), \(f\) est définie sur tout \(\mathbb{R}\), donc \(f(2{,}5)\) existe (on la calcule à la calculatrice).

c)

✗ FAUX — comme à l'exercice 1, \(x\) peut aussi être négatif ou nul : par exemple \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\) existe bien.

d)

✗ FAUX — \(f(0) = a^0 = 1\) quelle que soit la base \(a>0\).

e)

✓ VRAI — une puissance d'un nombre strictement positif est toujours strictement positive.

Exercice 4 / 6

Modélisation rappel exercice 2
✓ Vu

Une population de bactéries évolue selon \(f(t) = 200\times1{,}5^{\,t}\), où \(t\) est le temps en heures et \(f(t)\) le nombre de bactéries.

1) Calculer \(f(0)\) et interpréter ce résultat dans le contexte.
2) Calculer \(f(1)\), \(f(2)\) et \(f(3)\).
3) Le temps \(t\) peut-il prendre la valeur \(2{,}5\) ? Si oui, que représenterait alors \(f(2{,}5)\) ?
4) Sans la calculer, peut-on affirmer que \(f(2{,}5)\) est strictement positif ? Justifier.

💡 Indices

Repense à l'exercice 3, question e).
1) f(0)
Calcul\(f(0) = 200\times1{,}5^0 = 200\times1\)
\(f(0) = 200\)

Il y a donc 200 bactéries à l'instant initial \(t=0\).

2) f(1), f(2), f(3)
Calcul\(f(1) = 200\times1{,}5 = 300\)
Calcul\(f(2) = 200\times1{,}5^2 = 450\)
Calcul\(f(3) = 200\times1{,}5^3 = 675\)
3) t = 2,5

✓ Oui — le temps évolue en continu, \(t\) peut prendre n'importe quelle valeur réelle positive. \(f(2{,}5)\) représenterait le nombre de bactéries au bout de 2 heures et 30 minutes.

4) Signe de f(2,5)

✓ Oui — comme \(a=1{,}5>0\), on a \(f(t)>0\) pour tout réel \(t\), donc en particulier \(f(2{,}5)>0\).

Exercice 5 / 6

Tableau de valeurs rappel exercices 1 et 2
✓ Vu

Soit \(h(x) = 2^x\).

a) Compléter le tableau de valeurs de \(h\) pour \(x=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\).
b) Que remarque-t-on sur l'évolution des valeurs quand \(x\) augmente de 1 à chaque étape ?

💡 Indices

Pour \(x=-1\) et \(x=-2\), utilise \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) comme à l'exercice 1.
a) Tableau de valeurs
\(x\)−2−10123
\(h(x)\)0,250,51248
b) Observation

Chaque valeur s'obtient en multipliant la précédente par 2 (la base). C'est le principe multiplicatif caractéristique de la fonction exponentielle.

Exercice 6 / 6

Problème rappel exercices 1 à 4
✓ Vu

Un capital de 1000 € est placé et évolue selon \(C(t) = 1000\times1{,}02^{\,t}\), où \(t\) est le temps en années. Un second placement suit \(D(t) = 1000\times0{,}98^{\,t}\).

1) Justifier que \(C(0)=1000\) et interpréter cette valeur.
2) Calculer \(C(1)\), \(C(2)\) et \(C(3)\) (arrondir au centime).
3) Peut-on calculer \(C(0{,}5)\) ? Si oui, que représenterait cette valeur, sans la calculer ?
4) Calculer \(D(1)\), \(D(2)\) et \(D(3)\) (arrondir au centime).
5) Comparer l'évolution des deux capitaux au bout de 3 ans : lequel des deux placements est le plus avantageux, et de combien d'euros ?

💡 Indices

Utilise la propriété \(a^0=1\) rappelée en début de feuille.
Compare directement les deux valeurs trouvées en 2) et en 4) pour \(t=3\).
1) C(0)
Calcul\(C(0) = 1000\times1{,}02^0 = 1000\times1\)
\(C(0) = 1000\)

On retrouve bien le capital initial, ce qui est cohérent puisque \(a^0=1\) quelle que soit la base \(a\).

2) C(1), C(2), C(3)
Calcul\(C(1) = 1000\times1{,}02 = 1020\)
Calcul\(C(2) = 1000\times1{,}02^2 = 1040{,}40\)
Calcul\(C(3) = 1000\times1{,}02^3 \approx 1061{,}21\)
3) C(0,5)

✓ Oui — \(t\) évolue en continu, on peut donc calculer \(C\) pour n'importe quelle valeur réelle. \(C(0{,}5)\) représenterait le capital au bout de 6 mois.

4) D(1), D(2), D(3)
Calcul\(D(1) = 1000\times0{,}98 = 980\)
Calcul\(D(2) = 1000\times0{,}98^2 = 960{,}40\)
Calcul\(D(3) = 1000\times0{,}98^3 \approx 941{,}19\)
5) Comparaison à t = 3

On compare les deux résultats obtenus en 2) et en 4) :

Placement C
\(C(3) \approx 1061{,}21\) €
Placement D
\(D(3) \approx 941{,}19\) €

Comme \(1{,}02>1\), le capital \(C\) augmente ; comme \(0<0{,}98<1\), le capital \(D\) diminue. Au bout de 3 ans, le placement \(C\) est donc bien plus avantageux :

\(C(3) - D(3) \approx 120{,}02\) € d'écart en faveur de \(C\)

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