Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1ère

Propriétés
algébriques

Feuille d'exercices n°2 — manipuler et simplifier des expressions avec aˣ

aˣ⁺ʸ = aˣ×aʸ a⁻ˣ = 1/aˣ aˣ > 0

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Les 5 propriétés admises
Pour \(a>0\) et \(x,y\) réels quelconques :
1\(a^0 = 1\)
2\(a^1 = a\)
3\(a^x > 0\)
4\(a^{x+y} = a^x\times a^y\)
5\(a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\)
② Rien de nouveau à apprendre
Ce sont exactement les règles des puissances entières vues au collège (et réactivées en Feuille 1) — on les admet maintenant pour n'importe quel exposant réel \(x\), pas seulement les entiers.
⚠ Piège classique : \(a^{x+y}\) n'est pas égal à \(a^x + a^y\) !
🔁 Cette feuille réactive le calcul de valeurs de \(a^x\) et les exposants négatifs de la Feuille 1 — on va maintenant s'en servir pour manipuler des expressions plus générales.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Propriétés 1 et 2 rappel Feuille 1
✓ Vu

Répondre sans calculatrice, en utilisant les propriétés du rappel.

a) Donner la valeur de \(9^0\), \(1^0\), \((0{,}5)^0\) et \((\sqrt5)^0\).
b) Donner la valeur de \(9^1\), \((-3)^1\) et \(\left(\dfrac23\right)^1\).
c) Vrai ou faux : « La propriété \(a^0=1\) est valable pour n'importe quelle base \(a\), même \(a=0\) ou \(a\) négatif. »

💡 Indices

Relis le rappel : sur quel ensemble de bases \(a\) les 5 propriétés sont-elles admises ?
a) Propriété 1

D'après la propriété 1, une puissance à exposant 0 vaut toujours 1 (pour une base \(a>0\)) :

\(9^0 = 1^0 = (0{,}5)^0 = (\sqrt5)^0 = 1\)
b) Propriété 2

D'après la propriété 2, une puissance à exposant 1 vaut la base elle-même :

\(9^1 = 9 \qquad (-3)^1 = -3 \qquad \left(\dfrac23\right)^1 = \dfrac23\)
c)

✗ FAUX — les 5 propriétés admises supposent \(a>0\). La fonction exponentielle n'est définie que pour une base strictement positive : le cas \(a=0\) ou \(a<0\) n'entre pas dans ce cadre.

Exercice 2 / 6

Propriété 4 Calcul
✓ Vu

On rappelle la propriété 4 : \(a^{x+y} = a^x\times a^y\).

a) Sachant que \(2^{10}=1024\), calculer \(2^{11}\) et \(2^{13}\) sans calculatrice.
b) Vérifier par le calcul direct que \(3^2\times3^3 = 3^5\).
c) Sans calculer sa valeur exacte, écrire \(7^4\times7^6\) sous la forme d'une seule puissance de 7.

💡 Indices

Écris \(11 = 10+1\) et \(13=10+3\), puis applique la propriété 4.
a) 2¹¹ et 2¹³
Calcul\(2^{11} = 2^{10}\times2^1 = 1024\times2 = 2048\)
Calcul\(2^{13} = 2^{10}\times2^3 = 1024\times8 = 8192\)
b) Vérification 3² × 3³ = 3⁵
Calcul\(3^2\times3^3 = 9\times27 = 243\)
Calcul\(3^5 = 243\)

Les deux calculs donnent le même résultat : la propriété 4 est bien vérifiée.

c) 7⁴ × 7⁶
\(7^4\times7^6 = 7^{4+6} = 7^{10}\)

Exercice 3 / 6

Propriétés 3 et 5 rappel Feuille 1
✓ Vu
a) Sans calculer sa valeur exacte, expliquer pourquoi \(5^{-4}\) est un nombre strictement positif.
b) Écrire \(6^{-2}\) sous la forme d'une fraction, puis calculer sa valeur exacte.
c) Sachant que \(4^3=64\), en déduire la valeur exacte de \(4^{-3}\) sans nouveau calcul.

💡 Indices

Utilise la propriété 3 : \(a^x>0\), quel que soit le réel \(x\), même négatif.
a) Signe de 5⁻⁴

D'après la propriété 3, \(a^x>0\) pour toute base \(a>0\) et tout réel \(x\), y compris négatif. Donc \(5^{-4}>0\), sans même avoir besoin de le calculer.

b) 6⁻²
Calcul\(6^{-2} = \dfrac{1}{6^2} = \dfrac{1}{36}\)
c) 4⁻³

D'après la propriété 5, \(4^{-3} = \dfrac{1}{4^3}\). Comme \(4^3=64\) est déjà connu, il suffit d'inverser ce résultat, sans nouveau calcul :

\(4^{-3} = \dfrac{1}{64}\)

Exercice 4 / 6

Propriétés 4 et 5 Calcul algébrique
✓ Vu

Dans tout l'exercice, \(a>0\) et \(x\) est un réel quelconque. Écrire chaque expression sous la forme \(a^{\,\dots}\).

a) \(a^{x+2}\times a^3\)
b) \(a^x\times a^{-x}\)
c) \(a^5\times a^{-x}\times a^{x-2}\)
d) Montrer que \(\dfrac{a^{x+3}}{a^x} = a^3\), en utilisant les propriétés 4 et 5.

💡 Indices

Diviser par \(a^x\) revient à multiplier par son inverse \(\dfrac{1}{a^x} = a^{-x}\) (propriété 5), puis à appliquer la propriété 4.
a)
\(a^{x+2}\times a^3 = a^{x+2+3} = a^{x+5}\)
b)
\(a^x\times a^{-x} = a^{x-x} = a^0 = 1\)
c)
\(a^5\times a^{-x}\times a^{x-2} = a^{5-x+x-2} = a^3\)
d)
Étape 1\(\dfrac{a^{x+3}}{a^x} = a^{x+3}\times\dfrac{1}{a^x} = a^{x+3}\times a^{-x}\)
Étape 2\(a^{x+3}\times a^{-x} = a^{x+3-x} = a^3\)

On a bien retrouvé \(\dfrac{a^{x+3}}{a^x} = a^3\), en combinant la propriété 5 (passage à l'inverse) puis la propriété 4 (produit).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux rappel Feuille 1
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier à l'aide des propriétés.

a) Pour tout \(a>0\), \(a^0=0\).
b) \(7^{-3}\) est un nombre strictement positif.
c) \(a^{x+y} = a^x + a^y\).
d) Pour \(a=1\), \(a^x=1\) pour tout réel \(x\).
e) On peut calculer \(a^{-2{,}5}\) pour \(a>0\).

💡 Indices

Repense à la Feuille 1 : l'exposant peut être n'importe quel réel, pas seulement un entier.
a)

✗ FAUX — d'après la propriété 1, \(a^0=1\) (et non 0).

b)

✓ VRAI — d'après la propriété 3, \(a^x>0\) quel que soit le réel \(x\), même négatif.

c)

✗ FAUX — c'est le piège classique signalé dans le rappel : la propriété 4 donne \(a^{x+y}=a^x\times a^y\) (un produit, pas une somme).

d)

✓ VRAI — \(1^x=1\) quel que soit \(x\), puisque multiplier 1 par lui-même ne change jamais sa valeur.

e)

✓ VRAI — comme vu en Feuille 1, l'exposant d'une fonction \(a^x\) peut être n'importe quel réel, y compris non entier et négatif à la fois.

Exercice 6 / 6

Problème rappel Feuille 1 et exercices 2-3
✓ Vu

Une population d'insectes évolue selon \(P(t) = 500\times1{,}2^{\,t}\), où \(t\) est le temps en années. On donne \(P(3) = 864\).

1) Calculer \(P(0)\) et interpréter cette valeur dans le contexte.
2) Sans calculer directement \(P(5)\), utiliser la propriété 4 et la valeur \(P(3)=864\) pour déterminer \(P(5)\).
3) Sans calculer directement \(P(2)\), utiliser la propriété 5 et la valeur \(P(3)=864\) pour déterminer \(P(2)\).
4) Peut-on affirmer que \(P(t)>0\) pour tout réel \(t\), sans calculer sa valeur ? Justifier.

💡 Indices

\(P(5) = P(3+2) = P(3)\times1{,}2^2\), comme à l'exercice 2.
\(P(2) = P(3-1) = P(3)\times1{,}2^{-1}\), comme à l'exercice 3.
1) P(0)
Calcul\(P(0) = 500\times1{,}2^0 = 500\times1 = 500\)

Il y a donc 500 insectes à l'instant initial \(t=0\), ce qui est cohérent avec la propriété 1 (\(a^0=1\)).

2) P(5)
Étape 1\(P(5) = P(3+2) = P(3)\times1{,}2^2\)
Étape 2\(P(5) = 864\times1{,}44\)
\(P(5) = 1244{,}16\)
3) P(2)
Étape 1\(P(2) = P(3-1) = P(3)\times1{,}2^{-1}\)
Étape 2\(P(2) = 864\div1{,}2\)
\(P(2) = 720\)
4) Signe de P(t)

✓ Oui — comme la base \(1{,}2\) est strictement positive, la propriété 3 (\(a^x>0\)) garantit que \(P(t)>0\) pour tout réel \(t\), sans qu'il soit nécessaire de calculer sa valeur.

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