Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1ère

Exposant 1/n
et racines

Feuille d'exercices n°3 — quand l'exposant n'est même plus un entier

a¹ᐟ² = √a a¹ᐟⁿ > 0 a > 0

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Le lien avec la racine carrée
En appliquant la propriété 4 (\(a^{x+y}=a^x\times a^y\)) avec \(x=y=\dfrac12\), on obtient \(a^{1/2}\times a^{1/2}=a^1=a\). Or c'est exactement la définition de la racine carrée :
\(a^{1/2} = \sqrt{a}\)
② Généralisation à n'importe quel n
Pour \(a>0\) et \(n\) entier naturel non nul, \(a^{1/n}\) est le nombre positif qui, élevé à la puissance \(n\), redonne \(a\). Pour \(n=2\) : racine carrée ; pour \(n=3\) : racine cubique.
⚠ Quand la réponse ne « tombe pas juste » (ex : \(1{,}5^{1/5}\)), on utilise la touche puissance de la calculatrice.
🔁 Cette feuille réactive la propriété du produit (F2, propriété 4) et la positivité de \(a^x\) (F2, propriété 3), en plus de la racine carrée vue au collège.
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

a¹ᐟ² = √a rappel collège
✓ Vu
a) Calculer \(\sqrt{16}\), \(\sqrt{25}\), \(\sqrt{1}\) et \(\sqrt{0}\).
b) En utilisant \(a^{1/2}=\sqrt{a}\), calculer \(16^{1/2}\) et \(25^{1/2}\).
c) Vrai ou faux : \(9^{1/2} = 3\).

💡 Indices

Vérifie que \(3^2=9\) : c'est exactement la définition de la racine carrée.
a) Racines carrées
\(\sqrt{16}=4 \qquad \sqrt{25}=5 \qquad \sqrt{1}=1 \qquad \sqrt{0}=0\)
b) Écriture en exposant

Comme \(a^{1/2}=\sqrt a\), on retrouve directement les résultats de la question a) :

\(16^{1/2}=4 \qquad 25^{1/2}=5\)
c)

✓ VRAI — \(9^{1/2}=\sqrt9\), et \(3^2=9\), donc \(\sqrt9=3\).

Exercice 2 / 6

Racine n-ième Calcul
✓ Vu

On rappelle que \(a^{1/n}\) est le nombre positif qui, élevé à la puissance \(n\), redonne \(a\).

a) Calculer \(8^{1/3}\), \(27^{1/3}\) et \(1^{1/5}\).
b) Calculer \(32^{1/5}\).
c) Expliquer pourquoi \(1^{1/n}=1\), quel que soit l'entier \(n\).

💡 Indices

Cherche le nombre qui, élevé au cube, donne 8 : \(2^3=8\).
a) Racines cubiques et 1¹ᐟ⁵

\(8^{1/3}=2\) car \(2^3=8\) ; \(27^{1/3}=3\) car \(3^3=27\) ; \(1^{1/5}=1\) car \(1^5=1\).

\(8^{1/3}=2 \qquad 27^{1/3}=3 \qquad 1^{1/5}=1\)
b) 32¹ᐟ⁵

Comme \(32=2^5\), on a \(2^5=32\), donc le nombre qui élevé à la puissance 5 redonne 32 est 2 :

\(32^{1/5} = 2\)
c) 1¹ᐟⁿ = 1

Peu importe la puissance \(n\) à laquelle on élève 1, le résultat reste toujours 1 (\(1^n=1\)). Donc le nombre positif qui, élevé à la puissance \(n\), redonne 1, est nécessairement 1 lui-même.

Exercice 3 / 6

Calculatrice rappel Feuille 2
✓ Vu
a) À la calculatrice, donner une valeur approchée de \(1{,}5^{1/5}\) (arrondir au centième).
b) Peut-on affirmer que \(1{,}5^{1/5}\) est strictement positif, sans le calculer ? Justifier.
c) À la calculatrice, donner une valeur approchée de \(2^{1/2}\) (arrondir au millième).

💡 Indices

Repense à la propriété 3 vue en Feuille 2 : \(a^x>0\) pour toute base \(a>0\), quel que soit l'exposant \(x\) — même \(x=1/5\).
a) 1,5¹ᐟ⁵

Il n'existe pas de nombre « rond » dont la puissance 5 vaut \(1{,}5\) : on utilise la touche puissance de la calculatrice.

\(1{,}5^{1/5} \approx 1{,}08\)
b) Signe de 1,5¹ᐟ⁵

✓ Oui — d'après la propriété 3 (Feuille 2), \(a^x>0\) pour toute base \(a>0\) et tout exposant réel \(x\). Ici \(a=1{,}5>0\), donc \(1{,}5^{1/5}>0\), sans avoir besoin de le calculer.

c) 2¹ᐟ²

\(2^{1/2}=\sqrt2\), qui n'est pas un nombre « rond » non plus.

\(2^{1/2} \approx 1{,}414\)

Exercice 4 / 6

Démonstration rappel Feuille 2
✓ Vu

On rappelle la propriété 4 vue en Feuille 2 : \(a^{x+y}=a^x\times a^y\), avec \(a>0\).

a) En appliquant la propriété 4 avec \(x=y=\dfrac12\), montrer que \(a^{1/2}\times a^{1/2}=a\).
b) En déduire que \(a^{1/2}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
c) De la même façon, montrer que \(a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a\).

💡 Indices

Applique la propriété 4 deux fois de suite : d'abord sur les deux premiers termes, puis sur le résultat avec le troisième.
a) a¹ᐟ² × a¹ᐟ² = a
Calcul\(a^{1/2}\times a^{1/2} = a^{1/2+1/2} = a^1 = a\)
b) Interprétation

La question a) montre que \(a^{1/2}\) multiplié par lui-même donne \(a\), donc que son carré vaut \(a\). Comme \(a^{1/2}>0\) (propriété 3), c'est bien le nombre positif dont le carré vaut \(a\) — la définition même de la racine carrée.

c) a¹ᐟ³ × a¹ᐟ³ × a¹ᐟ³ = a
Étape 1\(a^{1/3}\times a^{1/3} = a^{1/3+1/3} = a^{2/3}\)
Étape 2\(a^{2/3}\times a^{1/3} = a^{2/3+1/3} = a^1 = a\)

En appliquant la propriété 4 deux fois de suite, on retrouve bien \(a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a\).

Exercice 5 / 6

Vrai / Faux rappel Feuilles 1 et 2
✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) \(a^{1/n}\) est toujours un nombre entier.
b) \(4^{1/2} = 2\).
c) On peut calculer \((-4)^{1/2}\) avec la définition vue dans cette feuille.
d) \(100^{1/2} = 10\).
e) \(1^{1/7} = 1\).

💡 Indices

Repense au domaine de validité rappelé en Feuille 2 : sur quel ensemble de bases \(a\) les propriétés sont-elles admises ?
a)

✗ FAUX — comme à l'exercice 3, \(1{,}5^{1/5}\) n'est pas un nombre entier.

b)

✓ VRAI — \(4^{1/2}=\sqrt4=2\) car \(2^2=4\).

c)

✗ FAUX — la définition de \(a^{1/n}\) suppose \(a>0\) (domaine rappelé en Feuille 2). Le cas \(a=-4\) sort de ce cadre.

d)

✓ VRAI — \(100^{1/2}=\sqrt{100}=10\) car \(10^2=100\).

e)

✓ VRAI — comme vu à l'exercice 2 c), \(1^{1/n}=1\) quel que soit \(n\).

Exercice 6 / 6

Problème rappel Feuilles 1 à 3
✓ Vu

Un capital initial est multiplié par 2 au bout de 6 années, avec un facteur multiplicatif annuel constant noté \(q\) (le capital est donc multiplié par \(q\) chaque année).

1) Justifier que \(q^6 = 2\).
2) En déduire que \(q = 2^{1/6}\).
3) Donner une valeur approchée de \(q\) à \(0{,}001\) près.
4) Peut-on affirmer que \(q\) est strictement positif, sans le calculer ? Justifier.

💡 Indices

Multiplier 6 fois de suite par \(q\) revient à multiplier par \(q^6\) (comme à l'exercice 4).
1) q⁶ = 2

Chaque année, le capital est multiplié par \(q\). Au bout de 6 ans, il a donc été multiplié par \(q\times q\times q\times q\times q\times q = q^6\). Comme le capital a doublé, on a bien \(q^6=2\).

2) q = 2¹ᐟ⁶

Par définition, \(2^{1/6}\) est le nombre positif qui, élevé à la puissance 6, redonne 2. Or \(q\) vérifie \(q^6=2\) et \(q>0\) (un facteur multiplicatif de croissance est positif), donc \(q=2^{1/6}\).

3) Valeur approchée
\(q = 2^{1/6} \approx 1{,}122\)
4) Signe de q

✓ Oui — par définition même, \(a^{1/n}\) est le nombre positif qui, élevé à la puissance \(n\), redonne \(a\). Donc \(q=2^{1/6}\) est strictement positif, sans qu'il soit nécessaire de calculer sa valeur.

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