Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1ère

Taux d'évolution
moyen

Feuille d'exercices n°4 — répartir un coefficient global sur plusieurs périodes identiques

(1+t)ⁿ = k 1+t = k¹ᐟⁿ n périodes

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① La propriété
Si une quantité est multipliée par un coefficient \(k\) au bout de \(n\) périodes identiques, alors le taux d'évolution moyen \(t\) par période vérifie :
\((1+t)^n = k \quad\Longleftrightarrow\quad 1+t = k^{1/n}\)
② Une application directe de l'exposant 1/n
Le taux moyen n'est pas la moyenne arithmétique des taux successifs : il faut passer par la multiplication répétée (via l'exposant \(1/n\) vu en Feuille 3), pas par l'addition.
⚠ On retrouve d'abord le coefficient multiplicateur \(1+t\) (toujours positif), puis on en déduit le taux \(t\) en pourcentage.
🔁 Cette feuille réactive le coefficient multiplicateur (automatismes de début d'année) et l'exposant \(1/n\) de la Feuille 3 — la formule \((1+t)^n=k\) n'est qu'une nouvelle application de \(k^{1/n}\).
Corrections vues :
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Exercice 1 / 6

Coefficient multiplicateur rappel automatismes
✓ Vu
a) Une quantité augmente de 20 %. Quel est le coefficient multiplicateur associé ?
b) Une quantité diminue de 15 %. Quel est le coefficient multiplicateur associé ?
c) Un coefficient multiplicateur vaut \(1{,}08\). Quel taux d'évolution représente-t-il ?
d) Un coefficient multiplicateur vaut \(0{,}95\). Quel taux d'évolution représente-t-il ?

💡 Indices

Une hausse de \(p\,\%\) donne le coefficient \(1+\dfrac{p}{100}\) ; une baisse de \(p\,\%\) donne \(1-\dfrac{p}{100}\).
a) Hausse de 20 %
Coefficient multiplicateur \(= 1{,}20\)
b) Baisse de 15 %
Coefficient multiplicateur \(= 0{,}85\)
c) Coefficient 1,08

\(1{,}08 = 1+0{,}08\), donc le taux d'évolution est de \(+8\,\%\).

d) Coefficient 0,95

\(0{,}95 = 1-0{,}05\), donc le taux d'évolution est de \(-5\,\%\).

Exercice 2 / 6

Répartir un coefficient rappel Feuille 3
✓ Vu
a) Une quantité est multipliée par 4 en deux étapes identiques. Par quel coefficient est-elle multipliée à chaque étape ?
b) Une quantité est multipliée par 8 en trois étapes identiques. Par quel coefficient est-elle multipliée à chaque étape ?
c) Vérifier le résultat de la question b) en calculant le produit des trois coefficients trouvés.

💡 Indices

Si le coefficient global est \(k\) sur \(n\) étapes, le coefficient par étape est \(k^{1/n}\) (Feuille 3).
a) Coefficient par étape (k=4, n=2)

Le coefficient cherché est \(4^{1/2}\), c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut 4 :

\(4^{1/2} = 2\)
b) Coefficient par étape (k=8, n=3)

Le coefficient cherché est \(8^{1/3}\), c'est-à-dire le nombre positif dont le cube vaut 8 :

\(8^{1/3} = 2\)
c) Vérification
Calcul\(2\times2\times2 = 8\)

On retrouve bien le coefficient global de 8. ✓

Exercice 3 / 6

Formule (1+t)ⁿ = k Calcul
✓ Vu

Le chiffre d'affaires d'une entreprise est multiplié par \(1{,}5\) en 5 ans, avec une évolution identique chaque année.

a) Justifier que le coefficient multiplicateur annuel moyen \(1+t\) vérifie \((1+t)^5 = 1{,}5\).
b) En déduire que \(1+t = 1{,}5^{1/5}\).
c) À la calculatrice, donner une valeur approchée de \(1+t\) à \(0{,}0001\) près, puis en déduire \(t\) en pourcentage, arrondi au centième.

💡 Indices

Multiplier 5 fois de suite par \(1+t\) revient à multiplier par \((1+t)^5\), comme à l'exercice 2.
a) Justification

Chaque année, le chiffre d'affaires est multiplié par \(1+t\). Au bout de 5 ans identiques, il a donc été multiplié par \((1+t)^5\). Comme il a été multiplié par \(1{,}5\) au total, on a bien \((1+t)^5 = 1{,}5\).

b) Isoler 1+t

Par définition de l'exposant \(1/n\) (Feuille 3), \(1+t\) est le nombre positif dont la puissance 5 vaut \(1{,}5\), donc :

\(1+t = 1{,}5^{1/5}\)
c) Valeur approchée
Calcul\(1+t \approx 1{,}0845\)
\(t \approx 0{,}0845\), soit une hausse moyenne d'environ +8,45 % par an

Exercice 4 / 6

Problème rappel Feuille 3, exercice 6
✓ Vu

Une population double en 10 ans, avec une évolution identique chaque année.

a) Écrire l'équation vérifiée par le coefficient multiplicateur annuel moyen \(1+t\).
b) Résoudre cette équation pour exprimer \(1+t\).
c) Calculer une valeur approchée du taux d'évolution moyen annuel \(t\), en pourcentage arrondi au centième.
d) Vérifier à la calculatrice que \((1+t)^{10} \approx 2\).

💡 Indices

« Doubler » signifie être multiplié par 2, comme à l'exercice 3 avec le facteur 1,5.
a) Équation
\((1+t)^{10} = 2\)
b) Résolution
\(1+t = 2^{1/10}\)
c) Valeur approchée de t
Calcul\(1+t \approx 1{,}0718\)
\(t \approx 0{,}0718\), soit environ +7,18 % par an
d) Vérification
Calcul\(1{,}0718^{10} \approx 2{,}00\)

On retrouve bien le doublement sur 10 ans. ✓

Exercice 5 / 6

Décroissance Calcul
✓ Vu

Le prix d'un article a été divisé par 3 en 4 ans, avec des baisses identiques chaque année.

a) Quelle est la valeur du coefficient multiplicateur global \(k\) sur les 4 ans ?
b) Écrire l'équation vérifiée par le coefficient multiplicateur annuel moyen \(1+t\).
c) Résoudre pour trouver \(1+t\), puis calculer \(t\) en pourcentage (arrondi au centième).
d) Ce taux correspond-il à une augmentation ou à une diminution ? Justifier.

💡 Indices

« Divisé par 3 » signifie multiplié par \(\dfrac13\).
a) Coefficient global

Être divisé par 3 revient à être multiplié par \(\dfrac13\) :

\(k = \dfrac13 \approx 0{,}3333\)
b) Équation
\((1+t)^4 = \dfrac13\)
c) Résolution
Étape 1\(1+t = \left(\dfrac13\right)^{1/4} \approx 0{,}7598\)
Étape 2\(t \approx 0{,}7598 - 1 = -0{,}2402\)
\(t \approx -24{,}02\,\%\) par an
d) Sens de variation

✓ Diminution — le taux \(t\) est négatif, ce qui correspond bien à une baisse d'environ 24,02 % chaque année. Notons que le coefficient \(1+t \approx 0{,}7598\) reste, lui, strictement positif (comme toute puissance de base positive) : c'est le taux \(t\) qui devient négatif, pas le coefficient.

Exercice 6 / 6

Problème rappel Feuilles 1 à 4
✓ Vu

Le chiffre d'affaires d'une entreprise était de 200 000 € en 2020, et de 245 000 € en 2024 (soit 4 ans plus tard), avec une évolution identique chaque année.

1) Calculer le coefficient multiplicateur global \(k\) sur les 4 années.
2) En déduire l'équation vérifiée par le coefficient multiplicateur annuel moyen \(1+t\), puis exprimer \(1+t\).
3) Donner une valeur approchée de \(1+t\) (à \(0{,}0001\) près), puis en déduire \(t\) en pourcentage arrondi au centième.
4) Sans calculer sa valeur exacte, peut-on affirmer que \(1+t\) est strictement positif ? Justifier.
5) Vérifier qu'en appliquant le taux \(t\) trouvé en 3) pendant 4 ans à partir de 200 000 €, on retrouve bien un chiffre d'affaires proche de 245 000 €.

💡 Indices

\(k = \dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}\).
Repense à la Feuille 3 : \(k^{1/n}\) est par définition un nombre positif.
1) Coefficient global
Calcul\(k = \dfrac{245\,000}{200\,000} = 1{,}225\)
2) Équation et résolution

Le chiffre d'affaires est multiplié par \(1+t\) chaque année, donc par \((1+t)^4\) au bout de 4 ans :

\((1+t)^4 = 1{,}225 \quad\Longrightarrow\quad 1+t = 1{,}225^{1/4}\)
3) Valeur approchée
Calcul\(1+t \approx 1{,}0520\)
\(t \approx 0{,}0520\), soit environ +5,20 % par an
4) Signe de 1+t

✓ Oui — d'après la définition de l'exposant \(1/n\) (Feuille 3), \(k^{1/n}\) est toujours un nombre positif, quelle que soit la valeur de \(k>0\). Donc \(1+t = 1{,}225^{1/4}\) est strictement positif.

5) Vérification
Calcul\(200\,000\times1{,}0520^4 \approx 245\,000\)

On retrouve bien, à l'arrondi près, le chiffre d'affaires observé en 2024. ✓

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