Feuille d'exercices n°5 — croissance ou décroissance exponentielle selon la base
📌 Ce qu'il faut avoir en tête
| a > 1 | ↗ \(f\) est croissante |
| 0 < a < 1 | ↘ \(f\) est décroissante |
| a = 1 | → \(f\) est constante |
Pour chaque fonction, indiquer si elle est croissante, décroissante ou constante, en justifiant par la valeur de la base.
💡 Indices
Base \(a=3>1\) : \(f\) est croissante ↗
Base \(a=0{,}4\), et \(0<0{,}4<1\) : \(g\) est décroissante ↘
Base \(a=1\) : \(h\) est constante →
Base \(a=\dfrac54=1{,}25>1\) : \(k\) est croissante ↗
Base \(a=\dfrac23\approx0{,}67\), et \(0<\dfrac23<1\) : \(m\) est décroissante ↘
💡 Indices
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 1 | ≈0,33 | ≈0,11 | ≈0,04 |
Les valeurs de \(f\) augmentent à chaque colonne : \(f\) est croissante (cohérent avec sa base \(2>1\)). Les valeurs de \(g\) diminuent à chaque colonne : \(g\) est décroissante (cohérent avec sa base \(0<\tfrac13<1\)).
Une population évolue selon \(P(t) = 100\times1{,}2^{\,t}\) ; un stock de médicament dans le sang évolue selon \(D(t) = 200\times0{,}85^{\,t}\) (\(t\) en heures).
💡 Indices
La base de \(P\) est \(1{,}2>1\), donc \(P\) est croissante : la population augmente au cours du temps.
La base de \(D\) est \(0{,}85\), avec \(0<0{,}85<1\), donc \(D\) est décroissante : le stock de médicament diminue au cours du temps.
Il y a donc 100 individus au départ pour la population, et 200 unités de médicament initialement présentes dans le sang.
Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
💡 Indices
✗ FAUX — \(0<0{,}9<1\), donc cette fonction est décroissante, pas croissante.
✓ VRAI — \(1^x=1\) quel que soit \(x\) (1 multiplié par lui-même reste 1), donc \(h\) est bien constante.
✓ VRAI — la positivité (\(a^x>0\), Feuille 2) est vraie pour toute base \(a>0\), et la croissance s'ajoute dès que \(a>1\). Les deux propriétés coexistent.
✓ VRAI — comme rappelé en haut de la feuille, la positivité de \(a^x\) (Feuille 2) reste vraie quelle que soit la base \(a>0\), même si \(0<a<1\) : la fonction diminue mais ne devient jamais négative ni nulle.
✓ VRAI — c'est exactement le principe du sens de variation : une fonction croissante conserve l'ordre, donc \(3<5\) entraîne \(f(3)<f(5)\), sans qu'il soit nécessaire de calculer les valeurs.
Dans chaque cas, comparer les deux nombres sans calculer leur valeur exacte, en utilisant le sens de variation de la fonction associée.
💡 Indices
La fonction \(x\mapsto2^x\) est croissante (base \(2>1\)). Comme \(3<5\) :
La fonction \(x\mapsto(0{,}5)^x\) est décroissante (\(0<0{,}5<1\)). Comme \(2<7\), les valeurs sont dans l'ordre inverse des exposants :
La fonction \(x\mapsto3^x\) est croissante (base \(3>1\)). Comme \(-1<0<2\) :
\(f\) est décroissante et \(4<10\), donc les valeurs sont dans l'ordre inverse des exposants :
Deux substances radioactives se désintègrent selon \(A(t) = 500\times0{,}92^{\,t}\) et \(B(t) = 500\times0{,}80^{\,t}\), où \(t\) est le temps en années.
💡 Indices
Les bases \(0{,}92\) et \(0{,}80\) vérifient toutes deux \(0<a<1\), donc \(A\) et \(B\) sont décroissantes.
Les deux substances ont donc la même quantité initiale de 500 unités à \(t=0\).
\(A\) est décroissante et \(5<10\), donc les valeurs sont dans l'ordre inverse des exposants :
La base de \(B\) (\(0{,}80\)) est plus petite que celle de \(A\) (\(0{,}92\)), donc plus proche de 0. Plus la base est petite, plus la décroissance est rapide : \(B\) se désintègre plus vite que \(A\).