Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1^ère

Ordres de grandeur
et seuils

Feuille d'exercices n°6 — estimer rapidement et résoudre par balayage

2¹⁰ ≈ 10³ Balayage Tableau de valeurs

📌 Ce qu'il faut avoir en tête

① Estimer un ordre de grandeur

Le repère le plus utile : \(2^{10}=1024\approx10^3\). Avec une base 10, l'exposant donne directement le nombre de zéros.

\(2^{10} \approx 10^3\)

⚠ C'est une estimation rapide, pas un calcul exact — utile pour juger la taille d'un résultat sans calculatrice.

② La méthode du seuil (par balayage)

Sans dérivée ni logarithme à ce niveau, on ne résout pas \(a^x>k\) par le calcul :

1	Construire un tableau de valeurs pour des \(x\) entiers successifs
2	Repérer les deux valeurs consécutives entre lesquelles le seuil est franchi
3	Conclure : « à partir de \(x=\dots\) »

🔁 Cette feuille réactive le sens de variation (Feuille 5, pour savoir si le seuil est franchi par le haut ou par le bas) et la propriété du produit (Feuille 2, pour combiner des puissances connues).

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Base 10 Ordre de grandeur

✓ Vu

a) Donner la valeur de \(10^4\), \(10^7\) et \(10^9\), sous forme de nombre écrit en toutes lettres.

b) Combien de zéros comporte l'écriture décimale de \(10^{12}\) ? Quel nombre cela représente-t-il ?

c) Vrai ou faux : \(10^6 = 100\,000\).

💡 Indices

Avec une base 10, l'exposant donne directement le nombre de zéros après le 1.

a) Puissances de 10

\(10^4=10\,000 \quad 10^7=10\,000\,000 \quad 10^9=1\,000\,000\,000\)

Soit respectivement dix mille, dix millions et un milliard.

b) 10¹²

\(10^{12}\) comporte 12 zéros après le 1 : cela représente mille milliards.

✗ FAUX — \(10^6 = 1\,000\,000\) (un million, 6 zéros), et non \(100\,000\) qui correspond à \(10^5\).

Exercice 2 / 6

Repère 2¹⁰ ≈ 10³ rappel Feuille 2

✓ Vu

a) Rappeler la valeur exacte de \(2^{10}\), et son ordre de grandeur en puissance de 10.

b) En utilisant \(2^{10}\times2^{10}=2^{20}\) (propriété du produit, Feuille 2) et l'estimation \(2^{10}\approx10^3\), donner un ordre de grandeur de \(2^{20}\).

c) La valeur exacte de \(2^{20}\) est \(1\,048\,576\). Comparer ce résultat à l'estimation trouvée en b).

💡 Indices

Remplace chaque \(2^{10}\) par son ordre de grandeur \(10^3\), puis multiplie les deux puissances de 10 entre elles.

a) 2¹⁰

\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\)

b) Ordre de grandeur de 2²⁰

Calcul\(2^{20} = 2^{10}\times2^{10} \approx 10^3\times10^3 = 10^6\)

\(2^{20}\) est de l'ordre de \(10^6\), soit environ un million

c) Comparaison

La valeur exacte \(1\,048\,576\) est très proche de \(10^6=1\,000\,000\) : l'estimation donne bien le bon ordre de grandeur, sans calcul précis.

Exercice 3 / 6

Contexte concret rappel Feuille 1

✓ Vu

Une culture de bactéries double toutes les heures, en partant de 100 bactéries : \(P(t) = 100\times2^{\,t}\), \(t\) en heures.

a) Exprimer \(P(10)\) en fonction de \(2^{10}\).

b) En utilisant le repère \(2^{10}\approx10^3\), donner un ordre de grandeur de \(P(10)\).

c) Calculer la valeur exacte de \(P(10)\), et comparer à l'estimation obtenue en b).

💡 Indices

Remplace simplement \(t\) par 10 dans l'expression de \(P(t)\), comme en Feuille 1.

a) P(10)

\(P(10) = 100\times2^{10}\)

b) Ordre de grandeur

Calcul\(P(10) \approx 100\times10^3 = 10^5\)

Environ 100 000 bactéries

c) Valeur exacte

Calcul\(P(10) = 100\times1024 = 102\,400\)

Cette valeur exacte est bien proche de l'estimation \(10^5=100\,000\) : l'ordre de grandeur était correct.

Exercice 4 / 6

Problème de seuil rappel Feuille 5

✓ Vu

Une population évolue selon \(P(t) = 100\times1{,}2^{\,t}\), \(t\) en années. On veut savoir à partir de quelle année elle dépasse 1000 individus.

a) \(P\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

b) Compléter le tableau de valeurs de \(P(t)\) pour \(t=10,11,12,13\) (arrondir au dixième).

c) À partir de quelle année la population dépasse-t-elle 1000 individus ?

💡 Indices

Regarde la base : \(1{,}2\) est-elle supérieure ou inférieure à 1 ? (Feuille 5)

a) Sens de variation

La base \(1{,}2>1\), donc \(P\) est croissante.

b) Tableau de valeurs

\(t\)	10	11	12	13
\(P(t)\)	619,2	743,0	891,6	1069,9

c) Conclusion

Entre \(t=12\) (891,6, sous le seuil) et \(t=13\) (1069,9, au-dessus), le seuil de 1000 est franchi.

À partir de \(t=13\) ans, la population dépasse 1000 individus.

Exercice 5 / 6

Problème de seuil rappel Feuille 5

✓ Vu

Un médicament s'élimine selon \(D(t) = 200\times0{,}85^{\,t}\) (\(t\) en heures, \(D\) en mg). On veut savoir à partir de quelle heure la dose passe sous 50 mg.

a) \(D\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

b) Compléter le tableau de valeurs de \(D(t)\) pour \(t=6,7,8,9\) (arrondir au dixième).

c) À partir de quelle heure la dose passe-t-elle sous 50 mg ?

💡 Indices

Ici, on cherche quand la quantité passe sous le seuil, pas au-dessus : repère les deux valeurs consécutives qui l'encadrent.

a) Sens de variation

La base \(0{,}85\) vérifie \(0<0{,}85<1\), donc \(D\) est décroissante.

b) Tableau de valeurs

\(t\)	6	7	8	9
\(D(t)\)	75,4	64,1	54,5	46,3

c) Conclusion

Entre \(t=8\) (54,5 mg, au-dessus du seuil) et \(t=9\) (46,3 mg, en dessous), le seuil de 50 mg est franchi.

À partir de \(t=9\) heures, la dose passe sous 50 mg.

Exercice 6 / 6

Problème rappel Feuilles 1 à 6

✓ Vu

Une quantité double chaque jour, en partant de 5 unités : \(Q(t) = 5\times2^{\,t}\), \(t\) en jours.

1) \(Q\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

2) En utilisant le repère \(2^{10}\approx10^3\), donner un ordre de grandeur de \(Q(20)\).

3) Sachant que \(2^{10}=1024\), calculer la valeur exacte de \(2^{15}\) en utilisant la propriété du produit (\(2^{15}=2^{10}\times2^5\)), puis en déduire la valeur exacte de \(Q(15)\).

4) Compléter un tableau de valeurs de \(Q\) pour \(t=13,14,15,16\), et déterminer à partir de quel jour \(Q\) dépasse 100 000.

💡 Indices

Réutilise \(2^{15}=32\,768\) trouvé en question 3, et poursuis le calcul de \(2^{13}\), \(2^{14}\) et \(2^{16}\) de la même façon.

1) Sens de variation

La base \(2>1\), donc \(Q\) est croissante.

2) Ordre de grandeur de Q(20)

Calcul\(Q(20) = 5\times2^{20} \approx 5\times10^6\)

Environ 5 millions

3) Valeur exacte de Q(15)

Étape 1\(2^{15} = 2^{10}\times2^5 = 1024\times32 = 32\,768\)

Étape 2\(Q(15) = 5\times32\,768 = 163\,840\)

4) Tableau et seuil

\(t\)	13	14	15	16
\(Q(t)\)	40 960	81 920	163 840	327 680

Entre \(t=14\) (81 920, sous le seuil) et \(t=15\) (163 840, au-dessus), le seuil de 100 000 est franchi.

À partir de \(t=15\) jours, \(Q\) dépasse 100 000.