Chapitre 5 · Fonction exponentielle · 1^ère

Feuille bilan

Toutes les notions du chapitre réunies — définition, propriétés, racines, taux, variations, seuils

6 feuilles 6 notions 1 bilan

📌 Tout le chapitre en un coup d'œil

① Définition et propriétés

Pour \(a>0\) et \(x\) réel, \(f(x)=a^x\) est définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier, avec :

F1	Calcul de \(a^x\), même pour \(x\) non entier
F2	\(a^0=1\), \(a^x>0\), \(a^{x+y}=a^x\times a^y\), \(a^{-x}=\dfrac1{a^x}\)
F3	\(a^{1/n}\) : le nombre positif dont la puissance \(n\) vaut \(a\)

② Comportement et applications

F4	Taux moyen : \((1+t)^n=k \Leftrightarrow 1+t=k^{1/n}\)
F5	\(a>1\) ↗ croissante ; \(0<a<1\) ↘ décroissante
F6	Ordre de grandeur (\(2^{10}\approx10^3\)) et seuil par balayage

🔁 Cette feuille mélange volontairement toutes les notions des Feuilles 1 à 6 : chaque exercice peut réactiver plusieurs compétences à la fois, comme dans un contrôle.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 6

Tour d'horizon une question par feuille

✓ Vu

Six questions rapides, une par notion du chapitre.

a) (F1) Calculer \(f(-2)\) pour \(f(x)=5^x\).

b) (F2) Écrire \(a^{x+4}\times a^{-2}\) sous la forme \(a^{\dots}\).

c) (F3) Calculer \(64^{1/3}\).

d) (F4) Une quantité est multipliée par 9 en 2 étapes identiques. Quel est le coefficient par étape ?

e) (F5) La fonction \(f(x)=(0{,}3)^x\) est-elle croissante ou décroissante ?

f) (F6) Donner un ordre de grandeur de \(2^{10}\) en puissance de 10.

💡 Indices

Le coefficient par étape est \(9^{1/2}\), comme en Feuille 4.

a) f(-2) = 5⁻²

\(5^{-2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04\)

b) aˣ⁺⁴ × a⁻²

\(a^{x+4}\times a^{-2} = a^{x+4-2} = a^{x+2}\)

c) 64¹ᐟ³

\(64^{1/3} = 4\) car \(4^3=64\)

d) Coefficient par étape (k=9, n=2)

\(9^{1/2} = 3\)

e) Sens de variation

Base \(a=0{,}3\), et \(0<0{,}3<1\) : \(f\) est décroissante

f) Ordre de grandeur de 2¹⁰

\(2^{10} = 1024 \approx 10^3\)

Exercice 2 / 6

Vrai / Faux transversal rappel Feuilles 1 à 6

✓ Vu

Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

a) \(a^{x+y} = a^x + a^y\).

b) \(a^{1/n}\) peut être négatif.

c) Une fonction exponentielle décroissante peut être strictement positive.

d) \(2^{10}\approx10^3\) est une valeur exacte.

e) \(a^0=1\) pour toute base \(a>0\).

💡 Indices

Repense à la Feuille 4 : il faut passer par la multiplication (exposant \(1/n\)), pas par l'addition.

✗ FAUX — le piège classique (Feuille 2) : \(a^{x+y}=a^x\times a^y\), un produit, pas une somme.

✗ FAUX — par définition (Feuille 3), \(a^{1/n}\) est toujours positif.

✓ VRAI — décroissante ne veut pas dire négative (Feuille 5) : la fonction diminue mais reste strictement positive.

✗ FAUX — c'est une estimation (Feuille 6) : la valeur exacte est \(1024\), et \(10^3=1000\) n'est qu'un ordre de grandeur.

✓ VRAI — propriété 1 (Feuille 2), valable pour toute base \(a>0\).

Exercice 3 / 6

F1 + F3 Calcul

✓ Vu

On considère la fonction \(f(x) = 16^x\).

a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(-1)\).

b) Calculer \(f\left(\dfrac12\right)\) en utilisant l'exposant \(1/n\).

a) f(0), f(1), f(-1)

Calcul\(f(0) = 16^0 = 1\)

Calcul\(f(1) = 16^1 = 16\)

Calcul\(f(-1) = 16^{-1} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625\)

b) f(1/2)

\(f\left(\tfrac12\right) = 16^{1/2} = \sqrt{16} = 4\)

Exercice 4 / 6

F4 + F5 Problème

✓ Vu

Le nombre d'utilisateurs d'une application est multiplié par 3 en 4 ans, avec une évolution identique chaque année.

a) Écrire l'équation vérifiée par le coefficient multiplicateur annuel moyen \(1+t\).

b) Résoudre pour trouver \(1+t\), puis calculer \(t\) en pourcentage (arrondi au centième).

c) La fonction qui modélise cette évolution avec un taux annuel constant est-elle croissante ou décroissante ? Justifier sans calcul supplémentaire.

💡 Indices

La base de la fonction est justement le coefficient \(1+t\) trouvé en b).

a) Équation

\((1+t)^4 = 3\)

b) Résolution

Étape 1\(1+t = 3^{1/4} \approx 1{,}3161\)

\(t \approx 0{,}3161\), soit environ +31,61 % par an

c) Sens de variation

Cette évolution correspond à une fonction \(g(n)=g(0)\times(1+t)^n\), de base \(1+t\approx1{,}3161>1\). D'après la propriété du sens de variation (Feuille 5) : la fonction est croissante, ce qui est cohérent avec une multiplication par 3 (une hausse).

Exercice 5 / 6

F1 + F5 + F6 Problème

✓ Vu

Une rumeur se propage selon \(f(t) = 2^{\,t}\), où \(f(t)\) est le nombre de personnes informées après \(t\) heures (en partant d'une seule personne).

a) \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

b) Donner un ordre de grandeur de \(f(10)\).

c) Compléter un tableau de valeurs de \(f(t)\) pour \(t=10,11,12,13\), puis déterminer à partir de quelle heure plus de 5000 personnes sont informées.

💡 Indices

Chaque valeur du tableau s'obtient en doublant la précédente.

a) Sens de variation

Base \(a=2>1\) : \(f\) est croissante.

b) Ordre de grandeur de f(10)

\(f(10) = 2^{10} \approx 10^3\), soit environ 1000 personnes

c) Tableau et seuil

\(t\)	10	11	12	13
\(f(t)\)	1024	2048	4096	8192

Entre \(t=12\) (4096, sous le seuil) et \(t=13\) (8192, au-dessus), le seuil de 5000 est franchi.

À partir de \(t=13\) heures, plus de 5000 personnes sont informées.

Exercice 6 / 6

Problème complet F1 à F6

✓ Vu

Une entreprise lance un nouveau produit. Le nombre de ventes mensuelles suit le modèle \(V(t) = 50\times1{,}15^{\,t}\), où \(t\) est le nombre de mois écoulés depuis le lancement. On donne \(V(5)\approx100{,}6\).

1) (F1) Calculer \(V(0)\) et interpréter cette valeur.

2) (F5) \(V\) est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.

3) (F2) Sans calculer directement \(V(8)\), utiliser la propriété du produit et \(V(5)\approx100{,}6\) pour exprimer puis calculer \(V(8)\).

4) (F3) On imagine un scénario différent où les ventes seraient multipliées par 4 en 10 mois, avec une évolution identique chaque mois. Calculer le facteur multiplicatif mensuel équivalent.

5) (F4) En déduire le taux d'évolution mensuel moyen correspondant à ce scénario, en pourcentage arrondi au centième.

6) (F6) En revenant au modèle initial \(V(t)=50\times1{,}15^{\,t}\), compléter un tableau de valeurs pour \(t=9,10,11,12,13\) (arrondir au dixième), et déterminer à partir de quel mois les ventes mensuelles dépassent 300.

💡 Indices

\(V(8) = V(5+3) = V(5)\times1{,}15^3\), comme en Feuille 2.

Le facteur mensuel équivalent est \(4^{1/10}\) (Feuille 3), puis \(t\) s'obtient en lui retranchant 1 (Feuille 4).

1) V(0)

Calcul\(V(0) = 50\times1{,}15^0 = 50\)

Il y a donc 50 ventes le mois du lancement (\(t=0\)).

2) Sens de variation

Base \(1{,}15>1\) : \(V\) est croissante.

3) V(8)

Étape 1\(V(8) = V(5)\times1{,}15^3\)

Étape 2\(V(8) \approx 100{,}6\times1{,}5209\)

\(V(8) \approx 153{,}0\) ventes

4) Facteur mensuel équivalent

\(4^{1/10} \approx 1{,}1487\)

5) Taux mensuel moyen

Calcul\(t \approx 1{,}1487 - 1 = 0{,}1487\)

\(t \approx +14{,}87\,\%\) par mois

6) Tableau et seuil

\(t\)	9	10	11	12	13
\(V(t)\)	175,9	202,3	232,6	267,5	307,6

Entre \(t=12\) (267,5, sous le seuil) et \(t=13\) (307,6, au-dessus), le seuil de 300 est franchi.

À partir de \(t=13\) mois, les ventes mensuelles dépassent 300.