La version continue des suites géométriques : la même croissance — ou décroissance — multiplicative, mais valable pour n'importe quel réel \(x\), pas seulement les rangs entiers.
La population mondiale, la désintégration d'un élément radioactif, la propagation d'une épidémie, un capital placé à intérêts composés... Toutes ces situations évoluent en continu — à chaque instant, pas seulement à des dates entières. Le chapitre précédent t'a donné les suites géométriques pour modéliser des étapes numérotées (semaine 1, semaine 2, ...). Il est temps de passer à la version continue : la fonction exponentielle.
Une population croît en continu d'environ 2 % par an — pas seulement le 1er janvier de chaque année :
Un élément radioactif perd de la matière à chaque instant, pas seulement toutes les heures pile :
Le nombre de cas augmente heure après heure, minute après minute, pas seulement jour par jour :
Un placement financier dont la valeur évolue à tout instant \(t\), pas uniquement à chaque échéance annuelle :
Une suite géométrique \(u_n\) n'est définie qu'aux rangs entiers \(n = 0, 1, 2, 3, \dots\). Ici, la variable \(x\) peut prendre n'importe quelle valeur réelle : \(x = 2{,}5\), \(x = -1\), \(x = \pi\)... C'est exactement le même principe multiplicatif, mais appliqué en continu.
Souviens-toi de la fin du chapitre précédent : la suite géométrique \(u_n = u_0 \times q^{\,n}\) ne prenait des valeurs qu'aux rangs entiers. En laissant l'exposant varier continûment, on obtient une fonction \(f(x) = a^x\) qui « remplit les trous » entre les points de la suite. C'est exactement la même idée de croissance ou décroissance multiplicative — avec, cette fois, une courbe continue plutôt que des points isolés.
Avant d'aller plus loin : tu manipules des puissances depuis la 4ème. Cette section n'apprend rien de nouveau — elle remet en mémoire les règles dont on va se servir tout le chapitre.
Pour \(a\) un nombre et \(n\) un entier naturel non nul, \(a^n\) signifie « \(a\) multiplié \(n\) fois par lui-même » :
\(2^4 = 2\times2\times2\times2 = 16\) ; \(5^2 = 5\times5 = 25\) ; \(10^3 = 10\times10\times10 = 1000\).
Deux conventions complètent cette définition, pour que les règles de calcul restent valables même aux « bords » :
Par convention, n'importe quel nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1.
Un exposant négatif correspond à l'inverse de la puissance positive.
\(7^0 = 1\) (convention). \(2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\).
Et deux règles de calcul, que tu utilises sans doute déjà presque par réflexe :
On additionne les exposants.
On multiplie les exposants.
\(3^2\times3^4 = 3^{2+4} = 3^6\) (on additionne les exposants, on ne calcule pas forcément la valeur). \((5^2)^3 = 5^{2\times3} = 5^6\) (on multiplie les exposants).
Jusqu'ici, l'exposant \(n\) était toujours un entier. Mais que vaudrait \(2^{2{,}5}\) ? Ou \(2^{-0{,}7}\) ? Le collège ne répond pas à cette question — c'est justement l'objet de ce chapitre : donner un sens à \(a^x\) pour n'importe quel réel \(x\), tout en conservant les deux règles de calcul ci-dessus.
Une fonction exponentielle se manipule avec deux ingrédients :
Un réel strictement positif, fixé une fois pour toutes. C'est l'équivalent exact de la raison \(q\) des suites géométriques.
Contrairement au rang \(n\) d'une suite (toujours entier), \(x\) peut être n'importe quel nombre réel : négatif, décimal, etc.
Reprenons la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 : \(u_n = 2^n\). Voici ses premiers termes.
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(u_n = 2^n\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
Ces points existent seulement pour \(n\) entier. Mais rien n'empêche d'imaginer une courbe lisse qui passerait par tous ces points, et qui aurait aussi une valeur en \(x=0{,}5\), \(x=1{,}7\), etc. C'est précisément ce que fait la fonction exponentielle.
Pour tout réel \(a > 0\), la fonction exponentielle de base \(a\) est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Elle prolonge à tous les réels la suite géométrique \(u_n = a^n\) de raison \(a\) et de premier terme \(1\) : aux rangs entiers, \(f(n) = u_n\). Entre deux entiers, \(f\) donne un sens à des quantités comme \(a^{2{,}5}\), qui n'existaient pas pour une suite.
\(a^n\) — un terme de suite, où \(n\) est un entier naturel, calculé de proche en proche par multiplications successives. \(a^x\) — une valeur de fonction, où \(x\) est un réel quelconque. Les deux se calculent avec les mêmes règles de puissances, mais \(a^x\) a un sens pour bien plus de valeurs que \(a^n\).
\(f(0) = 2^0 = 1\), \(f(1) = 2^1 = 2\), \(f(3) = 2^3 = 8\). On retrouve exactement les premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1 !
\(g(-1) = 5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = 0{,}2\), en utilisant la règle vue au collège pour les exposants négatifs (rappel : \(a^{-n} = 1/a^n\)).
Bonne nouvelle : tu connais déjà presque tout ! Les règles vues au collège pour des exposants entiers restent valables — on les admet maintenant pour n'importe quel exposant réel \(x\), sans les redémontrer (ce sera fait en terminale).
Regarde bien les propriétés 1, 4 et 5 : ce sont exactement les règles du collège que tu viens de revoir plus haut, juste réécrites avec \(x\) et \(y\) à la place de \(m\) et \(n\). Rien de nouveau à apprendre par cœur, seulement un domaine de validité plus large.
\(4^0 = 1\). \(4^2\times4^3 = 16\times64 = 1024\), et \(4^5 = 1024\) également. Les deux calculs coïncident : la propriété 4 fonctionne.
D'après la propriété 3, \(a^x>0\) pour toute base \(a>0\) et tout exposant \(x\), même négatif. Ici \(7^{-3} = 1/7^3\) : c'est l'inverse d'un nombre positif, donc lui-même strictement positif.
La propriété 4, \(a^{x+n} = a^x \times a^n\), dit exactement la même chose que pour les suites : avancer de \(n\) unités en \(x\) revient à multiplier par \(a^n\). Regarde ce qui se passe pour \(f(x) = 2^x\), en partant de \(f(0) = 1\) :
On multiplie par \(2^5 = 32\). C'est la propriété 4 appliquée avec \(n=5\) : \(f(x+5) = f(x)\times2^5\).
Voyons maintenant un exposant très particulier : que signifie \(a^{1/2}\), où l'exposant n'est même plus un entier ? En fait, tu connais déjà la réponse, sous un autre nom.
Depuis le collège, tu connais la racine carrée : pour \(a \geq 0\), √a désigne le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
√25 = 5, car 5² = 25. √1 = 1, car 1² = 1.
Utilisons la propriété 4 (\(a^{x+y}=a^x\times a^y\)) avec \(x=y=\dfrac{1}{2}\) : puisque \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\), on doit avoir
Autrement dit, \(a^{1/2}\) est un nombre qui, multiplié par lui-même, donne \(a\) — exactement la définition de la racine carrée que tu viens de revoir ! On a donc :
L'exposant \(1/2\) n'est donc rien d'autre qu'une nouvelle façon d'écrire une racine carrée — une notation qui va se généraliser à d'autres racines.
Pour \(a > 0\) et \(n\) entier naturel non nul, \(a^{1/n}\) est le nombre positif qui, élevé à la puissance \(n\), redonne \(a\). Pour \(n=2\), on retrouve la racine carrée ; pour \(n=3\), on parle de racine cubique, etc.
\(16^{1/2}\) = √16 = 4, car 4² = 16.
\(1^{1/5} = 1\), car \(1^5 = 1\). Peu importe la puissance à laquelle on l'élève, 1 reste toujours 1.
Que vaut \(9^{1/2}\) ? Et \(27^{1/3}\) ?
Dans les exemples précédents, la réponse tombait juste. Ce n'est pas toujours le cas ! Pour une base quelconque comme \(1{,}5^{1/5}\), il n'existe pas de nombre « rond » à deviner : on utilise alors la touche puissance de la calculatrice (souvent notée x^y ou ^) pour obtenir une valeur approchée.
Une application directe de l'exposant \(1/n\). Rappelle-toi des automatismes vus en début d'année : un taux d'évolution correspond à un coefficient multiplicateur. Ici, on va répartir un coefficient global sur plusieurs étapes identiques.
Le coefficient par étape est \(4^{1/2}=2\) (car \(2^2=4\)) : on multiplie par 2 à chaque étape, et \(2\times2=4\) au total. Ce n'est pas la moyenne de « rien » : c'est bien la répétition d'un même facteur qui, appliqué deux fois, donne le facteur global.
Si une quantité est multipliée par un coefficient \(k\) au bout de \(n\) périodes identiques, alors le taux d'évolution moyen \(t\) par période vérifie :
Ce taux moyen n'est pas la moyenne arithmétique des taux successifs : il faut passer par la multiplication (via l'exposant \(1/n\)), pas par l'addition.
Une population double en 10 ans. Détermine le taux d'évolution moyen annuel (arrondi au centième de %).
Avant d'énoncer la règle générale, regardons deux exemples concrets pour comprendre pourquoi elle est vraie.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(0{,}5^x\) | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125 |
La ligne \(2^x\) augmente à chaque colonne : croissante. La ligne \(0{,}5^x\) diminue à chaque colonne : décroissante. Le seul point commun avec la base : \(2>1\) fait grandir, \(0{,}5\) est entre 0 et 1 et fait rétrécir.
Cette observation se généralise : multiplier un nombre positif par une base supérieure à 1 le fait grandir ; le multiplier par une base entre 0 et 1 le fait rétrécir. C'est exactement le raisonnement déjà tenu au chapitre précédent pour les suites géométriques.
Soit \(f(x) = a^x\) une fonction exponentielle de base \(a>0\).
\(f\) est croissante
\(f\) est décroissante
\(f\) est constante
Retiens bien le cas \(0
Population : base \(1{,}2 > 1\) → croissante. Médicament : base \(0{,}85\), et \(0<0{,}85<1\) → décroissante.
\(1^x = 1\) pour n'importe quel \(x\) (1 multiplié par lui-même reste toujours 1). La fonction est donc constante, conformément au troisième cas de la propriété.
Il est parfois utile de savoir estimer rapidement la taille d'une quantité en évolution exponentielle, sans faire un calcul exact.
On s'appuie sur des repères simples pour évaluer un ordre de grandeur sans sortir la calculatrice à chaque étape. Le plus utile : \(2^{10} = 1024 \approx 10^3\).
\(2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 10^6\), soit environ un million. (La valeur exacte, \(1\,048\,576\), confirme l'estimation.)
Sans dérivée ni logarithme à ce niveau, on ne résout pas une inéquation comme \(a^x > k\) par le calcul : on procède par balayage, à l'aide d'un tableau de valeurs ou de la calculatrice.
Il faudra plus de 10 ans : en 10 ans, la population n'est multipliée « que » par \(1{,}2^{10}\approx6{,}2\), donc elle atteint environ \(619\), pas encore 1000. Il faut continuer le tableau au-delà de \(t=10\).
| \(t\) | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(t)\) | 619,2 | 743,0 | 891,6 | 1069,9 |
Un médicament s'élimine selon \(D(t) = 200 \times 0{,}85^{\,t}\) (\(t\) en heures, \(D\) en mg). À partir de quelle heure la dose passe-t-elle sous 50 mg ?
| \(t\) | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| \(D(t)\) | 75,4 | 64,1 | 54,5 | 46,3 |
Garde en tête que \(u_n = a^n\) est simplement la « photographie » de \(f(x) = a^x\) prise aux rangs entiers. Tout ce que tu sais sur le sens de variation d'une suite géométrique se retrouve, sans surprise, pour la fonction exponentielle.
En terminale, notamment en mathématiques complémentaires, tu retrouveras la fonction exponentielle avec des outils supplémentaires (nombre dérivé, croissances comparées). Comme la dérivation n'est plus vue en 1ère sans spécialité, ces notions y seront introduites depuis le départ.