Probabilités 1erestc : Probabilité conditionnelle

📌 Carte mémoire de la notion

Définition

\(P_A(B)\) = probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est déjà réalisé. À partir d'un tableau croisé : \(P_A(B)=\dfrac{\text{effectif de }A\text{ et }B}{\text{effectif de }A}\).

⚠️ Le piège à éviter

\(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) désignent presque toujours des choses différentes ! On ne divise pas par le même total selon qui est « sachant ».

Corrections vues :

0 / 5

Exercice 1 / 5

Parcours guidé Calcul direct

✓ Vu

📚

La bibliothèque municipale

Une bibliothèque compte 300 inscrits. On a relevé, pour chacun, la dernière catégorie de livre empruntée (Roman ou BD) ainsi que la tranche d'âge (Ado ou Adulte).

	Roman	BD	Total
Ado	60	90	150
Adulte	105	45	150
Total	165	135	300

1. Calculer \(P_{\text{Ado}}(\text{BD})\), la probabilité qu'un inscrit ait emprunté une BD, sachant que c'est un ado.

2. Calculer \(P_{\text{Adulte}}(\text{BD})\).

3. Calculer \(P(\text{BD})\), la probabilité qu'un inscrit pris au hasard parmi les 300 ait emprunté une BD.

4. Calculer \(P_{\text{BD}}(\text{Ado})\), la probabilité qu'un inscrit soit un ado, sachant qu'il a emprunté une BD.

5. Comparer les résultats des questions 1 et 4. Que peut-on en conclure sur \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) ?

💡 Indices

Ici, on ne se restreint à aucune catégorie : on divise par le total général de 300, pas par une ligne.

« Sachant qu'il a emprunté une BD » : on se place cette fois dans la colonne BD, et on divise par le total de cette colonne (135), pas par 300.

1. P_Ado(BD)

Chez les ados\(P_{\text{Ado}}(\text{BD}) = \dfrac{90}{150} = 0{,}6\)

60% des ados ont emprunté une BD

2. P_Adulte(BD)

Chez les adultes\(P_{\text{Adulte}}(\text{BD}) = \dfrac{45}{150} = 0{,}3\)

30% des adultes ont emprunté une BD

3. P(BD)

Sur les 300\(P(\text{BD}) = \dfrac{135}{300} = 0{,}45\)

45% des inscrits ont emprunté une BD

4. P_BD(Ado)

Parmi les BD\(P_{\text{BD}}(\text{Ado}) = \dfrac{90}{135} \approx 0{,}667\)

Environ 66,7% des emprunteurs de BD sont des ados

5. Comparaison

\(P_{\text{Ado}}(\text{BD}) = 0{,}6\) alors que \(P_{\text{BD}}(\text{Ado}) \approx 0{,}667\) : ces deux nombres sont différents.

⚠️ On confirme la règle générale : \(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général, car on ne divise pas par le même effectif de référence.

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux Vocabulaire & notation

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) \(P_A(B)\) se lit « probabilité de \(A\) sachant \(B\) ».

b) À partir d'un tableau croisé, \(P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de }A\text{ et }B}{\text{effectif de }A}\).

c) \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) sont toujours égales.

d) Une probabilité conditionnelle est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

e) Si \(P_A(B) = 1\), alors dès que \(A\) est réalisé, \(B\) l'est aussi.

f) On peut toujours calculer \(P_A(B)\), même quand l'effectif de \(A\) est nul.

💡 Indices

Que devient une fraction quand son dénominateur vaut 0 ?

a) Faux

❌ \(P_A(B)\) se lit « probabilité de \(B\) sachant \(A\) » : c'est l'indice du bas qui est la condition.

b) Vrai

✅ C'est exactement la formule du cours pour un tableau d'effectifs.

c) Faux

❌ En général \(P_A(B) \neq P_B(A)\), sauf cas particuliers. C'est le piège classique du chapitre.

d) Vrai

✅ Comme toute probabilité, \(P_A(B)\) est un nombre entre 0 et 1.

e) Vrai

✅ \(P_A(B)=1\) signifie que, parmi les cas où \(A\) est réalisé, 100% vérifient aussi \(B\).

f) Faux

❌ Si l'effectif de \(A\) est nul, la division n'a pas de sens : \(P_A(B)\) n'est pas définie.

Exercice 3 / 5

Piège classique \(P_A(B)\) vs \(P_B(A)\)

✓ Vu

🚗

L'examen du code de la route

Sur 500 candidats à l'examen du code, certains ont suivi une formation en ligne avant de passer l'examen.

	Reçu	Recalé	Total
Formation	168	42	210
Sans formation	145	145	290
Total	313	187	500

1. Calculer \(P_{\text{Formation}}(\text{Reçu})\), la probabilité d'être reçu sachant qu'on a suivi la formation.

2. Calculer \(P_{\text{Reçu}}(\text{Formation})\), la probabilité d'avoir suivi la formation sachant qu'on est reçu.

3. Un camarade affirme : « 80% de réussite avec la formation, donc si je suis reçu, il y a 80% de chances que j'aie suivi la formation. » A-t-il raison ? Justifier avec les résultats précédents.

💡 Indices

« Sachant qu'on est reçu » : on se place dans la colonne Reçu (total 313), pas dans la ligne Formation.

1. P_Formation(Reçu)

Chez les formés\(P_{\text{Formation}}(\text{Reçu}) = \dfrac{168}{210} = 0{,}8\)

80% des candidats formés sont reçus

2. P_Reçu(Formation)

Parmi les reçus\(P_{\text{Reçu}}(\text{Formation}) = \dfrac{168}{313} \approx 0{,}537\)

Environ 53,7% des reçus ont suivi la formation

3. Le camarade a-t-il raison ?

❌ Non : il confond \(P_{\text{Formation}}(\text{Reçu}) = 0{,}8\) avec \(P_{\text{Reçu}}(\text{Formation}) \approx 0{,}537\). Le premier nombre décrit l'efficacité de la formation ; le second décrit la composition du groupe des reçus.

⚠️ C'est exactement le piège du cours : ce n'est pas parce qu'une formation « marche bien » (80% de réussite pour ceux qui la suivent) que la majorité des reçus l'ont suivie. Ici, beaucoup de candidats sans formation ont aussi réussi.

Exercice 4 / 5

Tableau à compléter Effectifs manquants

✓ Vu

📱

Réseau social préféré selon la filière

Un lycée de 200 élèves compte 140 élèves en filière générale et 60 en filière technologique. On leur a demandé leur réseau social préféré entre Instagram et TikTok.

	Instagram	TikTok	Total
Générale	98	?	140
Techno	?	36	60
Total	122	78	200

1. Recopier et compléter le tableau (déterminer les deux effectifs manquants).

2. Calculer \(P_{\text{Générale}}(\text{Instagram})\).

3. Calculer \(P_{\text{Techno}}(\text{Instagram})\).

4. Calculer \(P(\text{Instagram})\), sur l'ensemble du lycée.

5. Dans quelle filière Instagram est-il proportionnellement le plus populaire ?

💡 Indices

Utilise les totaux de chaque ligne et de chaque colonne : ce qui n'est pas Instagram dans une ligne est forcément TikTok.

1. Tableau complété

	Instagram	TikTok	Total
Générale	98	42	140
Techno	24	36	60
Total	122	78	200

TikTok Générale\(140 - 98 = 42\)

Instagram Techno\(122 - 98 = 24\) (vérification : \(24+36=60\) ✓)

2. P_Générale(Instagram)

\(P_{\text{Générale}}(\text{Instagram}) = \dfrac{98}{140} = 0{,}7\)

3. P_Techno(Instagram)

\(P_{\text{Techno}}(\text{Instagram}) = \dfrac{24}{60} = 0{,}4\)

4. P(Instagram)

\(P(\text{Instagram}) = \dfrac{122}{200} = 0{,}61\)

5. Comparaison

70% en filière générale contre 40% en techno : Instagram est proportionnellement bien plus populaire en filière générale.

🌟 Remarque : même si l'effectif brut d'amateurs d'Instagram est proche dans les deux filières en valeur relative, c'est bien la proportion (la probabilité conditionnelle), et non l'effectif brut, qui permet de comparer deux groupes de tailles différentes.

Exercice 5 / 5

Problème Synthèse de la notion

✓ Vu

🏆

Un club d'athlétisme

Un club sportif compte 240 membres. Parmi eux, 90 sont juniors et le reste est senior. On sait que 54 juniors participent à des compétitions, et que 63 seniors ne participent à aucune compétition.

1. Construire le tableau croisé complet (Junior/Senior × Compétition/Pas de compétition).

2. Calculer \(P_{\text{Junior}}(\text{Compétition})\) et \(P_{\text{Senior}}(\text{Compétition})\).

3. Calculer \(P_{\text{Compétition}}(\text{Junior})\).

4. Un journaliste du club écrit : « Un membre qui participe à des compétitions est plus probablement senior que junior. » Cette phrase est-elle cohérente avec le calcul de la question 3 ? Justifier.

5. Entre les juniors et les seniors, quelle catégorie s'investit proportionnellement le plus en compétition ? Rédiger la conclusion avec une phrase complète.

💡 Indices

Total = 240, juniors = 90, donc seniors = 150. Complète ligne par ligne avec les données de l'énoncé, puis déduis le reste par soustraction.

Compare directement le résultat trouvé en question 3 à 0,5 (50%).

1. Tableau croisé

	Compétition	Pas de compétition	Total
Junior	54	36	90
Senior	87	63	150
Total	141	99	240

Seniors\(240 - 90 = 150\)

Junior sans compét.\(90 - 54 = 36\)

Senior en compét.\(150 - 63 = 87\)

2. Probabilités conditionnelles par catégorie

Juniors\(P_{\text{Junior}}(\text{Compétition}) = \dfrac{54}{90} = 0{,}6\)

Seniors\(P_{\text{Senior}}(\text{Compétition}) = \dfrac{87}{150} = 0{,}58\)

3. P_Compétition(Junior)

Compétiteurs\(P_{\text{Compétition}}(\text{Junior}) = \dfrac{54}{141} \approx 0{,}383\)

Environ 38,3% des compétiteurs sont juniors (donc 61,7% sont seniors)

4. Analyse de la phrase du journaliste

✅ Oui, la phrase est cohérente : \(P_{\text{Compétition}}(\text{Junior}) \approx 0{,}383 < 0{,}5\), donc un compétiteur pris au hasard est plus souvent senior (environ 61,7%) que junior.

🌟 Attention à ne pas confondre avec la question 2 : proportionnellement (au sein de leur propre catégorie), les juniors sont même légèrement plus assidus en compétition (60% contre 58%). Ce sont deux questions différentes, avec deux réponses différentes !

5. Conclusion rédigée

Proportionnellement, ce sont les juniors qui s'investissent le plus en compétition, avec \(P_{\text{Junior}}(\text{Compétition}) = 0{,}6\) contre \(P_{\text{Senior}}(\text{Compétition}) = 0{,}58\) pour les seniors — un écart faible mais réel.

🏆

Feuille terminée !

★★★★★

Bravo, tu maîtrises la lecture d'un tableau croisé et le calcul de \(P_A(B)\), ainsi que le piège \(P_A(B) \neq P_B(A)\). Direction la Feuille 2 : l'arbre pondéré !