Arbre pondéré & probabilités totales — 1erestc

📌 Carte mémoire de la notion

Règle du produit

Le long d'un chemin (en suivant les branches), on multiplie les probabilités rencontrées.

Règle de la somme

Quand plusieurs chemins mènent au même résultat final, on additionne leurs probabilités : c'est la formule des probabilités totales.

Sur un même nœud

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1. C'est ce qui permet de trouver une probabilité manquante par complément.

⚠️ Attention

Ne jamais additionner le long d'un même chemin, et ne jamais multiplier entre deux chemins différents. Produit sur un chemin, somme entre les chemins.

Corrections vues :

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Exercice 1 / 5

Parcours guidé Compléter un arbre

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📦

Deux transporteurs

Un site de vente en ligne confie ses livraisons à deux transporteurs : le transporteur A (70% des colis) et le transporteur B (30% des colis). 95% des colis confiés à A arrivent à temps, contre 85% pour B.

1. Recopier l'arbre et compléter les deux probabilités manquantes (indiquées par « ? »).

2. Calculer la probabilité qu'un colis vienne du transporteur A et arrive à temps.

3. Calculer la probabilité qu'un colis vienne du transporteur B et arrive à temps.

4. En déduire la probabilité qu'un colis, pris au hasard dans l'ensemble de la production, arrive à temps.

5. Le responsable logistique affirme : « Moins de 5% des colis arrivent en retard. » A-t-il raison ?

💡 Indices

Sur chaque nœud, les deux branches qui en partent doivent avoir une somme de probabilités égale à 1.

Deux chemins mènent à « À temps » : celui qui passe par A, et celui qui passe par B. On les additionne.

1. Probabilités manquantes

A puis Retard\(1 - 0{,}95 = 0{,}05\)

B puis Retard\(1 - 0{,}85 = 0{,}15\)

2. A et à temps

Chemin A→temps\(0{,}7 \times 0{,}95 = 0{,}665\)

3. B et à temps

Chemin B→temps\(0{,}3 \times 0{,}85 = 0{,}255\)

4. P(À temps)

On additionne\(P(\text{Temps}) = 0{,}665 + 0{,}255 = 0{,}92\)

92% des colis arrivent à temps

5. A-t-il raison ?

Par complément\(P(\text{Retard}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08\)

❌ Non : 8% des colis arrivent en retard, ce qui est plus de 5%.

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux Règles de l'arbre

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

b) Pour calculer la probabilité d'un chemin complet, on additionne les probabilités des branches rencontrées.

c) Pour calculer la probabilité d'un évènement atteint par plusieurs chemins différents, on additionne les probabilités de chaque chemin.

d) Sur un arbre à deux niveaux, il y a toujours exactement 4 chemins possibles, quel que soit le nombre de branches.

💡 Indices

Pense à un arbre avec 3 branches au premier niveau et 2 au second : combien de chemins cela fait-il ?

a) Vrai

✅ C'est la règle qui permet de retrouver une probabilité manquante par complément (comme en Exercice 1).

b) Faux

❌ Le long d'un chemin, on multiplie les probabilités, on ne les additionne pas.

c) Vrai

✅ C'est la règle de la somme, à l'origine de la formule des probabilités totales.

d) Faux

❌ Le nombre de chemins dépend du nombre de branches à chaque niveau. Avec 3 branches puis 2 branches, on obtient \(3 \times 2 = 6\) chemins, pas 4.

Exercice 3 / 5

Construction Trois branches

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🔩

Trois fournisseurs de composants

Une entreprise s'approvisionne auprès de trois fournisseurs : F1 (50% des pièces), F2 (30%) et F3 (20%). Le taux de pièces défectueuses est de 1% chez F1, 4% chez F2 et 6% chez F3.

1. Construire l'arbre pondéré complet (attention : cette fois, le premier niveau comporte trois branches).

2. Calculer la probabilité qu'une pièce vienne de F1 et soit défectueuse. Faire de même pour F2 et pour F3.

3. En déduire la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit défectueuse.

4. Vérifier que la somme des probabilités des trois branches du premier niveau vaut bien 1.

5. Sans faire de calcul supplémentaire, quel fournisseur semble proportionnellement le plus « risqué » en matière de qualité ?

💡 Indices

Il y a désormais trois chemins qui mènent à « Défectueuse » : on les additionne tous les trois.

1. Arbre pondéré

2. Probabilités de chaque chemin « Fournisseur et Défectueuse »

F1 et défect.\(0{,}5 \times 0{,}01 = 0{,}005\)

F2 et défect.\(0{,}3 \times 0{,}04 = 0{,}012\)

F3 et défect.\(0{,}2 \times 0{,}06 = 0{,}012\)

3. P(Défectueuse)

On additionne\(0{,}005 + 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}029\)

2,9% des pièces produites sont défectueuses

4. Vérification

\(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) ✓ — les trois fournisseurs couvrent bien toute la production.

5. Fournisseur le plus risqué

F3 : son taux de défaut de 6% est le plus élevé des trois, directement lisible sur l'énoncé sans calcul de chemin.

🌟 Cette question porte sur le taux propre à chaque fournisseur (déjà donné), pas sur sa contribution en valeur absolue au nombre total de pièces défectueuses (question 2), qui dépend aussi de sa part de production.

Exercice 4 / 5

Construction Double vérification

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🚙

Assurance jeune conducteur

Une compagnie d'assurance propose deux contrats aux jeunes conducteurs : « Standard » (choisi par 55% des clients) et « Malus réduit » (45%). Parmi les clients « Standard », 12% déclarent un sinistre dans l'année ; parmi les « Malus réduit », 7% en déclarent un.

1. Construire l'arbre pondéré complet (avec les quatre probabilités, y compris celles obtenues par complément).

2. Calculer les quatre probabilités de chemins.

3. En déduire \(P(\text{Sinistre})\).

4. Calculer \(P(\text{Pas de sinistre})\) de deux façons différentes : d'abord en additionnant les deux chemins concernés, puis en utilisant le complément de la question 3. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat.

5. Rédiger une phrase de conclusion donnant la probabilité qu'un client pris au hasard déclare un sinistre dans l'année.

💡 Indices

Il y a deux nœuds où trouver une probabilité manquante par complément : au premier niveau (Standard/Malus réduit) et à chaque nœud du second niveau (Sinistre/Pas de sinistre).

1. Arbre pondéré

Malus réduit\(1 - 0{,}55 = 0{,}45\) (donné directement)

Pas sinistre|Std\(1 - 0{,}12 = 0{,}88\)

Pas sinistre|Malus\(1 - 0{,}07 = 0{,}93\)

2. Les quatre chemins

Std et sinistre\(0{,}55 \times 0{,}12 = 0{,}066\)

Std et pas sin.\(0{,}55 \times 0{,}88 = 0{,}484\)

Malus et sinistre\(0{,}45 \times 0{,}07 = 0{,}0315\)

Malus et pas sin.\(0{,}45 \times 0{,}93 = 0{,}4185\)

3. P(Sinistre)

On additionne\(0{,}066 + 0{,}0315 = 0{,}0975\)

9,75% des clients déclarent un sinistre dans l'année

4. P(Pas de sinistre), deux méthodes

Méthode 1\(0{,}484 + 0{,}4185 = 0{,}9025\)

Méthode 2\(1 - 0{,}0975 = 0{,}9025\)

✅ Les deux méthodes donnent bien \(0{,}9025\) : le résultat est cohérent.

5. Conclusion

Un client pris au hasard a une probabilité de \(0{,}0975\), soit environ 9,75%, de déclarer un sinistre dans l'année.

Exercice 5 / 5

Problème Synthèse arbre + tableau

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🧃

Une entreprise de jus de fruits

Une entreprise fabrique ses bouteilles dans deux usines : l'usine Nord, qui produit 40% du volume total, et l'usine Sud, qui en produit 60%. 3% des bouteilles de l'usine Nord présentent un défaut d'étiquetage, contre 1,5% pour l'usine Sud.

1. Construire l'arbre pondéré complet (avec toutes les probabilités, y compris celles obtenues par complément).

2. Calculer la probabilité qu'une bouteille vienne de l'usine Nord et ait un défaut.

3. Calculer la probabilité qu'une bouteille vienne de l'usine Sud et ait un défaut.

4. En déduire la probabilité qu'une bouteille prise au hasard dans la production ait un défaut d'étiquetage.

5. Sur une production totale de 10 000 bouteilles par jour, combien de bouteilles défectueuses peut-on estimer en moyenne chaque jour ?

6. Vérifier ce résultat autrement : construire le tableau croisé d'effectifs (Nord/Sud × Défaut/Pas défaut) sur ces 10 000 bouteilles, et retrouver le même nombre de bouteilles défectueuses.

💡 Indices

Multiplie la probabilité trouvée en question 4 par 10 000.

L'usine Nord produit 40% de 10 000 bouteilles, l'usine Sud 60%. Applique ensuite les taux de défaut à chaque ligne du tableau.

1. Arbre pondéré

2. Nord et défaut

Chemin Nord→défaut\(0{,}4 \times 0{,}03 = 0{,}012\)

3. Sud et défaut

Chemin Sud→défaut\(0{,}6 \times 0{,}015 = 0{,}009\)

4. P(Défaut)

On additionne\(0{,}012 + 0{,}009 = 0{,}021\)

2,1% des bouteilles ont un défaut d'étiquetage

5. Sur 10 000 bouteilles

Estimation\(0{,}021 \times 10\,000 = 210\)

Environ 210 bouteilles défectueuses par jour en moyenne

6. Vérification par un tableau croisé

	Défaut	Pas défaut	Total
Nord	120	3 880	4 000
Sud	90	5 910	6 000
Total	210	9 790	10 000

Nord\(4\,000\) bouteilles, dont \(4\,000 \times 0{,}03 = 120\) défectueuses

Sud\(6\,000\) bouteilles, dont \(6\,000 \times 0{,}015 = 90\) défectueuses

Total défauts\(120 + 90 = 210\)

✅ On retrouve bien 210 bouteilles défectueuses : le résultat obtenu avec l'arbre (question 5) est cohérent avec le tableau croisé d'effectifs.

🌟 Cette double approche — arbre pondéré (avec des probabilités) ou tableau croisé (avec des effectifs) — décrit toujours la même réalité. C'est un bon réflexe de vérification à avoir le jour d'un contrôle.

🏆

Feuille terminée !

★★★★★

Bravo, tu maîtrises la construction d'un arbre pondéré, la règle du produit le long d'un chemin et la formule des probabilités totales. Direction la Feuille 3 : les événements indépendants !