Probabilités 1erestc : Événements indépendants

📌 Carte mémoire de la notion

Définition

\(A\) et \(B\) sont indépendants si connaître \(A\) ne change rien à la probabilité de \(B\) : \(P_A(B) = P(B)\).

Critère du produit

De façon équivalente : \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

⚠️ Indépendant ≠ Incompatible

Deux événements incompatibles (qui ne peuvent jamais avoir lieu ensemble) ont \(P(A \cap B) = 0\). Si en plus \(P(A)>0\) et \(P(B)>0\), ils ne sont donc jamais indépendants.

Astuce de vérification

Sur un tableau croisé, comparer une ligne (ou colonne) à la proportion globale. Si les proportions coïncident partout, c'est indépendant.

Corrections vues :

0 / 5

Exercice 1 / 5

Parcours guidé Vérifier l'indépendance

✓ Vu

🎸

Pratique musicale au lycée

Dans un lycée de 200 élèves (100 filles, 100 garçons), on a demandé qui pratique un instrument de musique. 40 filles et 40 garçons ont répondu « oui ».

	Musique	Pas de musique	Total
Filles	40	60	100
Garçons	40	60	100
Total	80	120	200

1. Calculer \(P(\text{Musique})\), sur l'ensemble du lycée.

2. Calculer \(P_{\text{Fille}}(\text{Musique})\).

3. Comparer ces deux résultats. Que peut-on en conclure sur l'indépendance de « être une fille » et « pratiquer la musique » ?

4. Calculer \(P_{\text{Garçon}}(\text{Musique})\) et vérifier que ce résultat est cohérent avec la conclusion de la question 3.

5. Calculer \(P_{\text{Musique}}(\text{Fille})\) et la comparer à \(P(\text{Fille})\). Que remarque-t-on ?

💡 Indices

Rappelle-toi de la définition : \(A\) et \(B\) sont indépendants exactement quand \(P_A(B) = P(B)\).

L'indépendance fonctionne « dans les deux sens » : si \(P_A(B)=P(B)\), alors on aura aussi \(P_B(A) = P(A)\).

1. P(Musique)

Sur les 200\(P(\text{Musique}) = \dfrac{80}{200} = 0{,}4\)

2. P_Fille(Musique)

Chez les filles\(P_{\text{Fille}}(\text{Musique}) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4\)

3. Conclusion

\(P(\text{Musique}) = P_{\text{Fille}}(\text{Musique}) = 0{,}4\) : les deux événements sont indépendants.

4. P_Garçon(Musique)

Chez les garçons\(P_{\text{Garçon}}(\text{Musique}) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4\)

✅ Cohérent : on retrouve la même proportion (0,4) que sur l'ensemble du lycée et que chez les filles.

5. P_Musique(Fille) vs P(Fille)

Parmi les musiciens\(P_{\text{Musique}}(\text{Fille}) = \dfrac{40}{80} = 0{,}5\)

Sur tout le lycée\(P(\text{Fille}) = \dfrac{100}{200} = 0{,}5\)

Les deux valeurs sont égales aussi ! L'indépendance est symétrique : elle se vérifie dans les deux sens à la fois.

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux Indépendant vs incompatible

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) Deux événements indépendants sont toujours incompatibles.

b) Deux événements incompatibles sont toujours indépendants.

c) \(A\) et \(B\) sont indépendants signifie que \(P_A(B) = P(B)\).

d) Si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), alors \(A\) et \(B\) sont indépendants.

💡 Indices

Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles, alors \(P(A\cap B)=0\). Compare cette valeur à \(P(A)\times P(B)\) lorsque les deux probabilités sont non nulles.

a) Faux

❌ C'est même souvent l'inverse ! Deux événements incompatibles (non vides) ne sont en général pas indépendants (voir e).

b) Faux

❌ Confusion classique. « Incompatible » et « indépendant » sont deux notions différentes, qui n'impliquent pas l'une l'autre.

c) Vrai

✅ C'est exactement la définition du cours.

d) Vrai

✅ C'est le critère du produit, équivalent à la définition \(P_A(B)=P(B)\).

Exercice 3 / 5

Trouver l'inconnue Tableau à paramètre

✓ Vu

🏊

Un club sportif

Un club compte 240 membres, dont 150 garçons et 90 filles. Parmi eux, 96 pratiquent la natation ; les autres pratiquent le tennis. On note \(x\) le nombre de garçons qui pratiquent la natation.

	Natation	Tennis	Total
Garçons	\(x\)	?	150
Filles	?	?	90
Total	96	144	240

1. Exprimer \(P_{\text{Garçon}}(\text{Natation})\) en fonction de \(x\).

2. On souhaite que « être un garçon » et « pratiquer la natation » soient indépendants. Déterminer la valeur de \(x\).

3. Recopier et compléter entièrement le tableau avec cette valeur de \(x\).

4. Vérifier l'indépendance du côté des filles, en calculant \(P_{\text{Fille}}(\text{Natation})\).

💡 Indices

Il faut que \(P_{\text{Garçon}}(\text{Natation})\) soit égal à \(P(\text{Natation})\) calculé sur les 240 membres.

1. Expression de P_Garçon(Natation)

\(P_{\text{Garçon}}(\text{Natation}) = \dfrac{x}{150}\)

2. Détermination de x

P(Natation) globale\(P(\text{Natation}) = \dfrac{96}{240} = 0{,}4\)

Condition\(\dfrac{x}{150} = 0{,}4\)

On isole x\(x = 0{,}4 \times 150 = 60\)

\(x = 60\)

3. Tableau complété

	Natation	Tennis	Total
Garçons	60	90	150
Filles	36	54	90
Total	96	144	240

Garçons Tennis\(150 - 60 = 90\)

Filles Natation\(96 - 60 = 36\)

Filles Tennis\(90 - 36 = 54\)

4. Vérification chez les filles

Chez les filles\(P_{\text{Fille}}(\text{Natation}) = \dfrac{36}{90} = 0{,}4\)

✅ On retrouve bien \(0{,}4\), la même proportion que sur l'ensemble du club : l'indépendance est confirmée des deux côtés.

Exercice 4 / 5

Identifier Lancer de dé

✓ Vu

🎲

Un dé équilibré à 6 faces

On lance un dé équilibré et on considère les événements : \(A\) « obtenir un nombre pair », \(B\) « obtenir un multiple de 3 », \(C\) « obtenir 1 », \(D\) « obtenir un nombre impair ».

1. Calculer \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\). \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

2. \(A\) et \(D\) sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

3. \(C\) et \(D\) sont-ils incompatibles ? Sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

4. En une phrase, résumer la différence entre « incompatibles » et « indépendants » à partir de ces trois exemples.

💡 Indices

\(C = \{1\}\) et \(D = \{1,3,5\}\) : le résultat 1 vérifie-t-il à la fois \(C\) et \(D\) ?

1. A et B

A = {2,4,6}\(P(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5\)

B = {3,6}\(P(B) = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}333\)

A∩B = {6}\(P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\)

Produit\(P(A)\times P(B) = 0{,}5 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\)

✅ \(P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.

2. A et D

A∩D\(\{2,4,6\} \cap \{1,3,5\} = \varnothing\)

✅ Incompatibles : un nombre ne peut pas être à la fois pair et impair.

Produit\(P(A)\times P(D) = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 \neq P(A\cap D) = 0\)

❌ Pas indépendants : le critère du produit échoue, exactement comme prévu par le cours (deux incompatibles non vides ne sont jamais indépendants).

3. C et D

C∩D\(\{1\} \cap \{1,3,5\} = \{1\}\)

❌ Non incompatibles : obtenir 1 vérifie à la fois \(C\) et \(D\).

P(C∩D)\(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\)

Produit\(P(C)\times P(D) = \dfrac{1}{6}\times 0{,}5 = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}083\)

❌ Pas indépendants non plus : \(0{,}167 \neq 0{,}083\).

🌟 \(C\) et \(D\) montrent qu'on peut être ni incompatibles, ni indépendants : ce ne sont pas les deux seules possibilités !

4. Synthèse

« Incompatible » parle de la possibilité qu'ils se produisent ensemble (jamais), alors qu'« indépendant » parle de l'influence de l'un sur la probabilité de l'autre (aucune) : ce sont deux questions différentes, et les trois cas étudiés (indépendants / incompatibles / ni l'un ni l'autre) le confirment.

Exercice 5 / 5

Problème Synthèse de la notion

✓ Vu

💼

Télétravail dans une entreprise

Une entreprise de 500 salariés compte 200 personnes au service Marketing et 300 au service Production. 120 salariés du Marketing télétravaillent, ainsi que 90 salariés de la Production.

1. Construire le tableau croisé complet (Marketing/Production × Télétravail/Sur site).

2. Calculer \(P(\text{Télétravail})\) et \(P_{\text{Marketing}}(\text{Télétravail})\). Ces deux caractères sont-ils indépendants ?

3. Vérifier ce résultat en comparant \(P(\text{Marketing} \cap \text{Télétravail})\) et \(P(\text{Marketing}) \times P(\text{Télétravail})\).

4. Le service RH affirme : « Le télétravail est indépendant du service. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier, et proposer une explication possible de ce que montrent les chiffres.

5. On souhaite rendre ces deux caractères indépendants en modifiant uniquement le nombre de télétravailleurs en Production (les autres effectifs restant fixes). Combien de salariés de la Production devraient télétravailler ?

💡 Indices

La proportion chez Marketing (120 sur 200) ne bouge pas : c'est elle qui doit devenir la proportion cible, aussi bien en Production que sur l'ensemble de l'entreprise.

1. Tableau croisé

	Télétravail	Sur site	Total
Marketing	120	80	200
Production	90	210	300
Total	210	290	500

Marketing sur site\(200 - 120 = 80\)

Production sur site\(300 - 90 = 210\)

2. Comparaison des proportions

P(Télétravail)\(\dfrac{210}{500} = 0{,}42\)

P_Marketing(Télétravail)\(\dfrac{120}{200} = 0{,}6\)

❌ \(0{,}42 \neq 0{,}6\) : les deux caractères ne sont pas indépendants.

3. Vérification par le critère du produit

P(Mkt ∩ Télétr.)\(\dfrac{120}{500} = 0{,}24\)

P(Mkt) × P(Télétr.)\(0{,}4 \times 0{,}42 = 0{,}168\)

\(0{,}24 \neq 0{,}168\) : cela confirme bien la non-indépendance trouvée en question 2.

4. L'affirmation du RH

❌ Non, l'affirmation est incorrecte : le télétravail est nettement plus fréquent au Marketing (60%) qu'en Production (30%).

🌟 Une explication possible : les métiers du Marketing se prêtent peut-être plus facilement au travail à distance que ceux de la Production, qui peuvent nécessiter une présence physique sur site (machines, chaîne de fabrication...).

5. Rendre les deux caractères indépendants

Cible à atteindreLa proportion chez Marketing reste \(0{,}6\) : il faut donc aussi \(0{,}6\) en Production et sur l'ensemble.

En Production\(0{,}6 \times 300 = 180\)

Il faudrait 180 télétravailleurs en Production (au lieu de 90).

Vérification globaleTotal télétravail \(=120+180=300\), donc \(P(\text{Télétravail})=\dfrac{300}{500}=0{,}6\)

✅ On retrouve bien \(0{,}6\) partout : Marketing, Production et l'ensemble de l'entreprise. Les deux caractères deviennent indépendants.

🏆

Feuille terminée !

★★★★★

Bravo, tu sais désormais vérifier une indépendance, distinguer indépendance et incompatibilité, et déterminer une inconnue dans un tableau. Direction la Feuille 4 : la répétition d'épreuves !