Probabilités 1erestc : Répétition d'épreuves

📌 Carte mémoire de la notion

Épreuve de Bernoulli

Une expérience à exactement deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\)). Répéter la même épreuve indépendamment donne un arbre où les mêmes probabilités reviennent à chaque niveau.

« Exactement k succès »

On liste tous les chemins ayant exactement \(k\) succès, on calcule la probabilité de chacun (même valeur pour tous), puis on additionne.

« Au moins un succès »

Le plus efficace : passer par l'événement contraire « aucun succès », puis calculer \(1 - P(\text{aucun succès})\).

⚠️ Attention

« Au moins un » n'est pas la même chose que « exactement un ». Le complémentaire de « au moins un » est « aucun », pas « un seul ».

Corrections vues :

0 / 5

Exercice 1 / 5

Parcours guidé Deux répétitions

✓ Vu

🏹

Un archer

Un archer touche sa cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tir. Il effectue deux tirs de suite, de façon indépendante.

1. Calculer les quatre probabilités de chemins de cet arbre.

2. En déduire la probabilité qu'il touche exactement une fois sur les deux tirs.

3. Calculer la probabilité qu'il ne touche aucune des deux cibles.

4. En déduire, par complémentaire, la probabilité qu'il touche au moins une fois sur les deux tirs.

5. Retrouver le résultat de la question 4 en additionnant directement les chemins concernés, et vérifier la cohérence.

💡 Indices

« Au moins une fois » regroupe tous les chemins sauf « Manqué, Manqué ».

1. Les quatre chemins

Touché, Touché\(0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64\)

Touché, Manqué\(0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16\)

Manqué, Touché\(0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16\)

Manqué, Manqué\(0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04\)

2. Exactement une fois

Chemins utiles« Touché, Manqué » ou « Manqué, Touché »

On additionne\(0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32\)

32% de chances de toucher exactement une fois sur les deux

3. Aucune fois

\(P(\text{aucune}) = 0{,}04\) (chemin « Manqué, Manqué »)

4. Au moins une fois, par complémentaire

Complémentaire\(P(\text{au moins une}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\)

96% de chances de toucher au moins une fois sur les deux

5. Vérification directe

On additionne\(0{,}64 + 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}96\)

✅ On retrouve bien 0,96 : les deux méthodes sont cohérentes, mais le complémentaire demandait beaucoup moins de calculs.

Exercice 2 / 5

Vrai / Faux Vocabulaire de Bernoulli

✓ Vu

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier.

a) Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui peut avoir n'importe quel nombre d'issues.

b) Répéter une épreuve de Bernoulli plusieurs fois « de façon indépendante » signifie que le résultat d'un essai n'influence pas la probabilité des essais suivants.

c) Le contraire de « au moins un succès » est « exactement un succès ».

💡 Indices

Chaque chemin à exactement 1 succès sur 3 comporte un succès (probabilité \(p\)) et deux échecs (probabilité \(1-p\) chacun), quel que soit l'ordre.

a) Faux

❌ Une épreuve de Bernoulli a exactement deux issues : succès et échec.

b) Vrai

✅ C'est la définition de l'indépendance entre les répétitions.

c) Faux

❌ Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », pas « exactement un ».

Exercice 3 / 5

Trois répétitions Lister les chemins

✓ Vu

🎯

Un tireur sur cible

Un tireur touche sa cible avec une probabilité de 0,6 à chaque tir. Il tire 3 fois de suite, de façon indépendante.

1. Lister les trois chemins possibles menant à « exactement 2 succès sur 3 » (écrire chaque enchaînement Succès/Échec).

2. Calculer la probabilité de chacun de ces chemins.

3. En déduire \(P(\text{exactement 2 succès sur 3})\).

4. Calculer également \(P(\text{3 succès sur 3})\), \(P(\text{0 succès sur 3})\) et \(P(\text{exactement 1 succès sur 3})\) (pour cette dernière, il faudra là aussi lister 3 chemins).

5. Vérifier que la somme des quatre probabilités obtenues (0, 1, 2 ou 3 succès) vaut bien 1.

💡 Indices

Le succès peut arriver au 1er, au 2e ou au 3e tir en dernier — c'est la position de l'échec qui change à chaque fois.

1 & 2. Les trois chemins pour « exactement 2 succès »

S, S, E\(0{,}6\times0{,}6\times0{,}4 = 0{,}144\)

S, E, S\(0{,}6\times0{,}4\times0{,}6 = 0{,}144\)

E, S, S\(0{,}4\times0{,}6\times0{,}6 = 0{,}144\)

🌟 Les trois chemins ont la même probabilité (0,144), car ils combinent toujours deux facteurs 0,6 et un facteur 0,4, juste dans un ordre différent.

3. P(exactement 2 succès sur 3)

On additionne\(0{,}144 \times 3 = 0{,}432\)

43,2% de chances de toucher exactement 2 fois sur 3

4. Les autres cas

3 succès sur 3\(0{,}6^3 = 0{,}216\)

0 succès sur 3\(0{,}4^3 = 0{,}064\)

S, E, E\(0{,}6\times0{,}4\times0{,}4 = 0{,}096\)

E, S, E\(0{,}4\times0{,}6\times0{,}4 = 0{,}096\)

E, E, S\(0{,}4\times0{,}4\times0{,}6 = 0{,}096\)

1 succès sur 3\(0{,}096 \times 3 = 0{,}288\)

5. Vérification

Somme totale\(0{,}064 + 0{,}288 + 0{,}432 + 0{,}216 = 1\)

✅ La somme vaut exactement 1 : on a bien couvert tous les cas possibles (0, 1, 2 ou 3 succès).

Exercice 4 / 5

Complémentaire Contrôle qualité

✓ Vu

💡

Contrôle qualité d'ampoules

Dans une usine, chaque ampoule a une probabilité de 0,05 d'être défectueuse. On prélève un échantillon de 4 ampoules, de façon indépendante.

1. Quelle est la probabilité qu'une ampoule ne soit pas défectueuse ?

2. Calculer la probabilité que les 4 ampoules de l'échantillon ne soient aucune défectueuse.

3. En déduire \(P(\text{au moins une défectueuse sur les 4})\).

4. Pourquoi serait-il beaucoup plus long de calculer directement cette probabilité sans passer par le complémentaire ?

5. Un lot est refusé si \(P(\text{au moins une défectueuse dans un échantillon de 4}) \geqslant 10\%\). Ce lot doit-il être refusé ?

💡 Indices

« Au moins une » regrouperait les cas à 1, 2, 3 ou 4 ampoules défectueuses : il faudrait lister et sommer tous ces chemins séparément.

1. Pas défectueuse

\(1 - 0{,}05 = 0{,}95\)

2. Aucune défectueuse sur les 4

On multiplie 4 fois\(0{,}95^4 \approx 0{,}8145\)

3. Au moins une défectueuse

Complémentaire\(1 - 0{,}8145 \approx 0{,}1855\)

Environ 18,55% de chances qu'au moins une ampoule soit défectueuse

4. Pourquoi le complémentaire est plus efficace

« Au moins une défectueuse » regroupe les cas à 1, 2, 3 et 4 défectueuses : il faudrait lister tous les chemins de chaque cas (4 chemins pour « exactement 1 », 6 pour « exactement 2 », 4 pour « exactement 3 », 1 pour « exactement 4 »), puis tout additionner. Le complémentaire ramène ce travail à un seul calcul.

5. Décision sur le lot

❌ Le lot doit être refusé : \(18{,}55\% \geqslant 10\%\).

Exercice 5 / 5

Problème Double complémentaire

✓ Vu

⚽

Une séance de penalties

Un joueur tire 4 penalties à l'entraînement, de façon indépendante. Il a 75% de chances de réussir chaque tir.

1. Calculer la probabilité qu'il rate ses 4 tirs (0 réussite sur 4).

2. En déduire \(P(\text{au moins une réussite sur les 4})\).

3. Calculer \(P(\text{exactement 1 réussite sur 4})\), en listant les 4 chemins possibles.

4. En déduire \(P(\text{au moins 2 réussites sur les 4})\), en utilisant les résultats des questions 1 et 3.

5. Rédiger une phrase de conclusion donnant la probabilité que le joueur réussisse au moins 2 de ses 4 penalties.

💡 Indices

« Au moins 2 » a pour contraire « 0 ou 1 ». Additionne les probabilités de ces deux cas, puis passe au complémentaire.

1. Aucune réussite sur 4

On multiplie 4 fois\(0{,}25^4 \approx 0{,}0039\)

2. Au moins une réussite

Complémentaire\(1 - 0{,}0039 \approx 0{,}9961\)

Environ 99,61% de chances de réussir au moins un tir sur les 4

3. Exactement 1 réussite sur 4

S, E, E, E\(0{,}75\times0{,}25^3 \approx 0{,}0117\)

E, S, E, E\(\approx 0{,}0117\)

E, E, S, E\(\approx 0{,}0117\)

E, E, E, S\(\approx 0{,}0117\)

On additionne\(4 \times 0{,}0117 \approx 0{,}0469\)

Environ 4,69% de chances de réussir exactement 1 tir sur 4

4. Au moins 2 réussites sur les 4

P(0 ou 1 réussite)\(0{,}0039 + 0{,}0469 \approx 0{,}0508\)

Complémentaire\(1 - 0{,}0508 \approx 0{,}9492\)

Environ 94,92% de chances de réussir au moins 2 tirs sur les 4

5. Conclusion

Le joueur a une probabilité d'environ 94,9% de réussir au moins 2 de ses 4 penalties lors de cette séance d'entraînement.

🌟 Le complémentaire de « au moins 2 » n'est pas « aucune », mais « 0 ou 1 » : c'est un piège fréquent à surveiller lorsqu'on augmente le seuil.

🏆

Feuille terminée !

★★★★★

Bravo, tu maîtrises la répétition d'épreuves indépendantes, le calcul de « exactement k succès » et le réflexe du complémentaire pour « au moins un ». Direction la Feuille 5 : la synthèse du chapitre !