Synthèse du chapitre — Probabilités — 1erestc

📌 Les 4 notions du chapitre, en un coup d'œil

1. Probabilité conditionnelle

\(P_A(B) = \dfrac{\text{effectif } A \text{ et } B}{\text{effectif } A}\). Attention : \(P_A(B) \neq P_B(A)\) en général.

2. Arbre & probabilités totales

Produit le long d'un chemin, somme entre plusieurs chemins menant au même résultat.

3. Indépendance

\(A\) et \(B\) indépendants \(\iff P_A(B) = P(B) \iff P(A\cap B) = P(A)\times P(B)\).

4. Répétition d'épreuves

« Exactement k » : lister les chemins et additionner. « Au moins un » : passer par le complémentaire.

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Problème 1 / 5

Tableau croisé Indépendance

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🏠

Une compagnie d'assurance habitation

Une compagnie assure 400 clients : 240 habitent une maison et 160 un appartement. Parmi les propriétaires de maison, 36 ont déclaré un sinistre dans l'année ; parmi les locataires d'appartement, 8 ont déclaré un sinistre.

1. Construire le tableau croisé complet (Maison/Appartement × Sinistre/Pas de sinistre).

2. Calculer \(P(\text{Sinistre})\) et \(P_{\text{Maison}}(\text{Sinistre})\). Le type de logement et le fait de déclarer un sinistre sont-ils indépendants ?

3. Calculer \(P_{\text{Appartement}}(\text{Sinistre})\) et interpréter ce résultat en une phrase.

4. Un responsable affirme : « Le risque de sinistre ne dépend pas du type de logement. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.

5. Sachant qu'un client a déclaré un sinistre, quelle est la probabilité qu'il habite en maison ? Comparer ce résultat à la proportion de maisons dans l'ensemble des 400 clients.

💡 Indices

« Sachant qu'il a déclaré un sinistre » signifie qu'on se place dans la colonne Sinistre (total 44), pas dans une ligne.

1. Tableau croisé

	Sinistre	Pas de sinistre	Total
Maison	36	204	240
Appartement	8	152	160
Total	44	356	400

2. P(Sinistre) et P_Maison(Sinistre)

Sur les 400\(P(\text{Sinistre}) = \dfrac{44}{400} = 0{,}11\)

Chez les maisons\(P_{\text{Maison}}(\text{Sinistre}) = \dfrac{36}{240} = 0{,}15\)

❌ \(0{,}11 \neq 0{,}15\) : les deux caractères ne sont pas indépendants.

3. P_Appartement(Sinistre)

Chez les appart.\(P_{\text{Appartement}}(\text{Sinistre}) = \dfrac{8}{160} = 0{,}05\)

Seulement 5% des locataires d'appartement déclarent un sinistre, contre 15% des propriétaires de maison.

4. L'affirmation du responsable

❌ Incorrecte : le taux de sinistre en maison (15%) est trois fois plus élevé qu'en appartement (5%), ce qui montre une réelle dépendance.

5. P_Sinistre(Maison)

Parmi les sinistrés\(P_{\text{Sinistre}}(\text{Maison}) = \dfrac{36}{44} \approx 0{,}818\)

Proportion globale\(P(\text{Maison}) = \dfrac{240}{400} = 0{,}6\)

Environ 81,8% des sinistrés habitent en maison, alors que les maisons ne représentent que 60% des clients : les maisons sont surreprésentées parmi les sinistrés, ce qui confirme la dépendance observée.

Problème 2 / 5

Arbre pondéré Probabilité conditionnelle

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📮

Un site de vente en ligne

65% des clients choisissent la livraison Standard, 35% la livraison Express. Parmi les clients Standard, 82% se disent satisfaits du délai ; parmi les clients Express, 94% se disent satisfaits.

1. Construire l'arbre pondéré complet.

2. Calculer les quatre probabilités de chemins.

3. En déduire \(P(\text{Satisfait})\).

4. Calculer \(P(\text{Insatisfait})\) de deux façons différentes, et vérifier la cohérence.

5. Sans nouveau calcul, donner la valeur de \(P_{\text{Standard}}(\text{Satisfait})\). Pourquoi cette probabilité correspond-elle directement à une valeur déjà présente dans l'énoncé ?

💡 Indices

Une probabilité inscrite sur une branche du second niveau de l'arbre est, par construction, une probabilité conditionnelle.

1. Arbre pondéré

2. Les quatre chemins

Std et satisfait\(0{,}65 \times 0{,}82 = 0{,}533\)

Std et insatisfait\(0{,}65 \times 0{,}18 = 0{,}117\)

Express et satisfait\(0{,}35 \times 0{,}94 = 0{,}329\)

Express et insatisf.\(0{,}35 \times 0{,}06 = 0{,}021\)

3. P(Satisfait)

On additionne\(0{,}533 + 0{,}329 = 0{,}862\)

86,2% des clients sont satisfaits du délai de livraison

4. P(Insatisfait), deux méthodes

Méthode 1\(0{,}117 + 0{,}021 = 0{,}138\)

Méthode 2\(1 - 0{,}862 = 0{,}138\)

✅ Les deux méthodes donnent bien \(0{,}138\).

5. P_Standard(Satisfait)

\(P_{\text{Standard}}(\text{Satisfait}) = 0{,}82\)

🌟 Cette valeur est celle inscrite directement sur la branche « Satisfait » issue du nœud « Standard » : par construction, une probabilité du second niveau d'un arbre est toujours une probabilité conditionnelle sachant la branche empruntée au premier niveau.

Problème 3 / 5

Arbre pondéré Indépendance

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📱

Deux usines de smartphones

Un fabricant produit ses smartphones dans deux usines : l'usine A (55% de la production) et l'usine B (45%). Dans les deux usines, le taux de pièces défectueuses est de 2%.

1. Construire l'arbre pondéré complet.

2. Calculer \(P(\text{Défaut})\) à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. Comparer \(P(\text{Défaut})\) à \(P_{\text{Usine A}}(\text{Défaut})\) et à \(P_{\text{Usine B}}(\text{Défaut})\). Que peut-on en conclure sur l'indépendance entre « usine » et « défaut » ?

4. Vérifier ce résultat à l'aide du critère du produit : comparer \(P(\text{Usine A} \cap \text{Défaut})\) et \(P(\text{Usine A}) \times P(\text{Défaut})\).

5. Si le taux de défaut de l'usine B passait à 5% (l'usine A restant à 2%), les deux caractères seraient-ils encore indépendants ? Justifier sans calcul complet.

💡 Indices

Quand toutes les branches du second niveau portent la même probabilité, quelle doit forcément être la valeur de \(P(\text{Défaut})\) ?

1. Arbre pondéré

2. P(Défaut) par probabilités totales

A et défaut\(0{,}55 \times 0{,}02 = 0{,}011\)

B et défaut\(0{,}45 \times 0{,}02 = 0{,}009\)

On additionne\(0{,}011 + 0{,}009 = 0{,}02\)

\(P(\text{Défaut}) = 0{,}02\)

3. Comparaison et conclusion

\(P(\text{Défaut}) = P_{\text{Usine A}}(\text{Défaut}) = P_{\text{Usine B}}(\text{Défaut}) = 0{,}02\) : les caractères « usine » et « défaut » sont indépendants.

🌟 C'est logique : quand toutes les branches du second niveau portent la même probabilité, la probabilité totale ne peut être que cette même valeur, quelle que soit la répartition du premier niveau.

4. Vérification par le critère du produit

P(A ∩ Défaut)\(0{,}011\)

P(A) × P(Défaut)\(0{,}55 \times 0{,}02 = 0{,}011\)

✅ Les deux valeurs coïncident : le critère du produit confirme l'indépendance.

5. Si le taux de l'usine B passait à 5%

❌ Non, ils ne seraient plus indépendants : les deux branches du second niveau (2% et 5%) porteraient alors des valeurs différentes, donc \(P_{\text{Usine A}}(\text{Défaut}) \neq P_{\text{Usine B}}(\text{Défaut})\), et par conséquent aucune des deux ne pourrait être égale à \(P(\text{Défaut})\) en même temps que l'autre.

Problème 4 / 5

Répétition Indépendance

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🚴

Un coursier à vélo

On admet que, pour ce coursier, la probabilité qu'une livraison soit en retard est de 0,1, et que les livraisons sont indépendantes les unes des autres. Un jour donné, il effectue 3 livraisons.

1. Calculer la probabilité qu'aucune des 3 livraisons ne soit en retard.

2. En déduire la probabilité qu'au moins une livraison soit en retard.

3. Calculer la probabilité que exactement 2 des 3 livraisons soient en retard, en listant les chemins nécessaires.

4. En quoi l'hypothèse d'indépendance entre les livraisons est-elle essentielle pour les calculs précédents ? Que se passerait-il si le retard d'une livraison augmentait la probabilité de retard de la suivante (par exemple à cause d'un embouteillage) ?

5. Le coursier effectue en réalité 15 livraisons indépendantes par semaine. Sans calcul détaillé, la probabilité d'avoir au moins un retard dans la semaine sera-t-elle plus grande ou plus petite que sur une seule journée (3 livraisons) ? Justifier.

💡 Indices

Plus on répète l'épreuve, plus \(P(\text{aucun retard})\) devient petite (on multiplie encore et encore par un nombre inférieur à 1).

1. Aucun retard sur 3

On multiplie 3 fois\(0{,}9^3 = 0{,}729\)

2. Au moins un retard

Complémentaire\(1 - 0{,}729 = 0{,}271\)

27,1% de chances d'avoir au moins un retard sur les 3 livraisons

3. Exactement 2 retards sur 3

R, R, À l'heure\(0{,}1\times0{,}1\times0{,}9 = 0{,}009\)

R, À l'heure, R\(0{,}1\times0{,}9\times0{,}1 = 0{,}009\)

À l'heure, R, R\(0{,}9\times0{,}1\times0{,}1 = 0{,}009\)

On additionne\(3 \times 0{,}009 = 0{,}027\)

2,7% de chances d'avoir exactement 2 retards sur les 3 livraisons

4. Rôle de l'indépendance

L'indépendance permet de multiplier directement les probabilités le long d'un chemin, sans avoir à ajuster la probabilité de chaque livraison en fonction des précédentes. Si un retard augmentait la probabilité du retard suivant, les événements ne seraient plus indépendants : il faudrait alors utiliser des probabilités conditionnelles différentes à chaque étage de l'arbre, et tous les calculs précédents seraient invalides.

5. Sur 15 livraisons

La probabilité d'avoir au moins un retard sera plus grande sur 15 livraisons que sur 3. En effet, \(P(\text{aucun retard})\) se calcule en multipliant \(0{,}9\) par lui-même autant de fois qu'il y a de livraisons : plus on multiplie de facteurs inférieurs à 1, plus le résultat diminue. Donc \(P(\text{aucun retard})\) sur 15 livraisons est plus petite que sur 3, et par complémentaire, \(P(\text{au moins un retard})\) est plus grande.

Problème 5 / 5

Grand problème Les 4 notions réunies

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🧪

Un test de dépistage médical

Une maladie touche 2% de la population. Un test de dépistage est positif chez 98% des personnes malades, mais aussi, à cause de faux positifs, chez 3% des personnes saines.

1. Construire l'arbre pondéré complet (Malade/Sain × Positif/Négatif).

2. Calculer \(P(\text{Malade} \cap \text{Positif})\) et \(P(\text{Sain} \cap \text{Positif})\).

3. En déduire \(P(\text{Positif})\), la probabilité qu'un test soit positif dans la population générale.

4. Sachant qu'un test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit réellement malade ? Le résultat vous semble-t-il surprenant ?

5. Les événements « être malade » et « avoir un test positif » sont-ils indépendants ? Justifier sans calcul supplémentaire, à l'aide des résultats précédents.

6. Le laboratoire teste 4 personnes saines prises au hasard, de façon indépendante. Quelle est la probabilité qu'au moins l'une d'elles ait malgré tout un test positif (faux positif) ?

💡 Indices

\(P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) = \dfrac{P(\text{Malade} \cap \text{Positif})}{P(\text{Positif})}\), avec les résultats des questions 2 et 3.

Pour une personne saine, la probabilité d'un test positif est celle indiquée sur la branche correspondante de l'arbre. Passe par le complémentaire.

1. Arbre pondéré

2. Les deux chemins « Positif »

Malade et positif\(0{,}02 \times 0{,}98 = 0{,}0196\)

Sain et positif\(0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}0294\)

3. P(Positif)

On additionne\(0{,}0196 + 0{,}0294 = 0{,}049\)

4,9% des tests réalisés dans la population générale sont positifs

4. P_Positif(Malade)

Définition\(P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) = \dfrac{P(\text{Malade} \cap \text{Positif})}{P(\text{Positif})} = \dfrac{0{,}0196}{0{,}049}\)

Résultat\(= 0{,}4\)

Seulement 40% des personnes ayant un test positif sont réellement malades !

🌟 Résultat surprenant mais classique : même avec un test très fiable (98% de détection chez les malades), la maladie étant rare (2%), la majorité des tests positifs proviennent en réalité des « faux positifs », bien plus nombreux en valeur absolue que les vrais malades.

5. Indépendance

❌ Non, clairement pas indépendants : \(P_{\text{Malade}}(\text{Positif}) = 0{,}98\) est très différent de \(P(\text{Positif}) = 0{,}049\). On peut aussi le voir dans l'autre sens : \(P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) = 0{,}4\) est très différent de \(P(\text{Malade}) = 0{,}02\). Connaître le résultat du test change radicalement l'estimation du risque d'être malade.

6. Au moins un faux positif sur 4 personnes saines

Aucun faux positif\(0{,}97^4 \approx 0{,}8853\)

Complémentaire\(1 - 0{,}8853 \approx 0{,}1147\)

Environ 11,47% de chances qu'au moins une des 4 personnes saines ait malgré tout un test positif.

🎓

Chapitre terminé !

★★★★★

Bravo, tu as parcouru l'ensemble du chapitre : probabilité conditionnelle, arbres pondérés, indépendance et répétition d'épreuves. Tu es prêt·e pour le contrôle !