Chapitre 7 · Première

Probabilités

Un chapitre autonome, sans lien direct avec les précédents : le moment de reprendre son souffle avant la fin de l'année.

🎯 Pour commencer

Tu as déjà manipulé des probabilités en 2nde. Ici, on va affiner ça avec une idée simple : une probabilité peut changer selon ce qu'on sait déjà. On va y arriver petit à petit, sans notation compliquée pour commencer.

🏥
Un test de dépistage

Le test est positif : quelle est la probabilité d'être vraiment malade ? Moins évident qu'il n'y paraît !

📊
Un sondage

Le mode de transport dépend-il du fait d'être une fille ou un garçon ? On peut le vérifier avec un tableau.

⚽
Des tirs au but répétés

Un joueur tire plusieurs fois de suite : quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement une fois sur deux ?

🎲
Une suite de lancers

Chaque lancer a le même résultat possible, indépendamment des précédents — la base de toute une famille de problèmes.

Mise en bouche — sans aucune notation

Avant tout vocabulaire compliqué, regarde simplement ce tableau. Sur 1000 personnes testées pour une maladie :

Test positifTest négatifTotal
Malade36440
Non malade48912960
Total849161000
⚡ Flash — Parmi les 40 personnes malades, combien ont un test positif ? Quelle proportion ça représente ?

36 personnes malades sur 40 ont un test positif, soit \(\dfrac{36}{40} = 0{,}9\), donc 90%.

⚡ Flash — Et parmi les 960 personnes non malades, quelle proportion a quand même un test positif ?

\(\dfrac{48}{960} = 0{,}05\), donc seulement 5% (ce sont des « faux positifs »).

💡 Ce que tu viens de faire porte un nom

À chaque fois, tu as calculé une proportion à l'intérieur d'une seule ligne du tableau — pas sur les 1000 personnes en entier, mais seulement parmi celles qui vérifiaient déjà une condition (« être malade », puis « être non malade »). En maths, ça s'appelle une probabilité conditionnelle, et il existe une écriture pour la noter rapidement. C'est ce qu'on découvre maintenant.

Vocabulaire indispensable
\(P(A)\) Probabilité de \(A\)

Déjà connue depuis la 2nde : la probabilité que l'événement \(A\) se réalise, un nombre entre 0 et 1.

\(P_A(B)\) Probabilité conditionnelle

La probabilité que \(B\) se réalise, sachant que \(A\) est déjà réalisé. C'est exactement ce que tu as calculé juste au-dessus !

I. La probabilité conditionnelle
📘 Définition

Pour deux événements \(A\) et \(B\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) se note \(P_A(B)\). Quand les données sont dans un tableau croisé, elle se calcule très simplement :

\(P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \text{ et } B}{\text{effectif de } A}\)
✏️ On reprend le test de dépistage, avec la notation cette fois
Chez les malades\(P_{\text{Malade}}(\text{Positif}) = \dfrac{36}{40} = 0{,}9\)
Chez les non-malades\(P_{\text{Non malade}}(\text{Positif}) = \dfrac{48}{960} = 0{,}05\)
Les mêmes calculs qu'avant — juste une nouvelle écriture !
⚠️ Le piège classique

Inverser l'ordre change complètement le résultat ! On vient de voir que \(P_{\text{Malade}}(\text{Positif}) = 0{,}9\). Mais si le test d'une personne est positif, quelle est la probabilité qu'elle soit vraiment malade ?

On calcule\(P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) = \dfrac{36}{84} \approx 0{,}43\)

Seulement 43% ! Bien loin des 90% précédents. Deux questions qui se ressemblent, deux réponses très différentes : c'est tout l'intérêt de bien identifier qui est sachant quoi.

⚡ Flash — \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) désignent-elles la même chose ?

Non, presque jamais ! \(P_A(B)\) = probabilité de \(B\) sachant \(A\) ; \(P_B(A)\) = probabilité de \(A\) sachant \(B\). L'exemple du test médical le montre bien : 0,9 contre environ 0,43.

🎮 À toi de jouer !

Dans un lycée de 300 élèves, 180 sont en filière générale et 120 en filière technologique. Parmi les élèves de filière générale, 100 pratiquent un sport en club. Parmi les technologiques, 84 en pratiquent un. Calcule \(P_{\text{Générale}}(\text{Sport})\) et \(P_{\text{Techno}}(\text{Sport})\).

Filière générale\(P_{\text{Générale}}(\text{Sport}) = \dfrac{100}{180} \approx 0{,}56\)
Filière techno\(P_{\text{Techno}}(\text{Sport}) = \dfrac{84}{120} = 0{,}7\)
La pratique d'un sport en club semble plus fréquente en filière technologique dans ce lycée.
II. L'arbre pondéré
🔄 Rappel de 2nde — l'arbre à un seul niveau

Tu te souviens de ce genre de schéma : une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, et on en tire une au hasard.

3/5 2/5 Rouge Bleue

Une branche par issue possible, la probabilité indiquée dessus. Rien de neuf jusqu'ici.

La nouveauté : on peut enchaîner deux niveaux de branches, pour représenter une probabilité conditionnelle juste après une première étape.

📋 Les deux règles à connaître
  • 1Le long d'un chemin (en suivant les branches), on multiplie les probabilités rencontrées.
  • 2Pour additionner plusieurs chemins qui mènent au même résultat final, on ajoute leurs probabilités.
✏️ Exemple — Le test de dépistage avec un arbre à deux niveaux
On sait que 4% de la population est malade, que 90% des malades ont un test positif, et que 5% des non-malades ont aussi un test positif (faux positif).
0,04 0,96 Malade Non malade 0,9 0,1 0,05 0,95 Positif P = 0,036 Négatif P = 0,004 Positif P = 0,048 Négatif P = 0,912
1er cheminMalade puis Positif : \(0{,}04 \times 0{,}9 = 0{,}036\)
2e cheminNon malade puis Positif : \(0{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}048\)
On additionne\(P(\text{Positif}) = 0{,}036 + 0{,}048 = 0{,}084\)
8,4% de la population a un test positif — cohérent avec le tableau du début (84/1000) !
🎮 À toi de jouer !

Dans une usine, 60% des pièces viennent de la chaîne A, 40% de la chaîne B. 2% des pièces de la chaîne A sont défectueuses, contre 5% pour la chaîne B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?

Chaîne A\(0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012\)
Chaîne B\(0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}02\)
On additionne\(0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032\)
3,2% des pièces produites sont défectueuses
III. Événements indépendants
📘 Définition

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque le fait de savoir que \(A\) est réalisé ne change rien à la probabilité de \(B\) :

\(P_A(B) = P(B)\)

Autrement dit : connaître \(A\) n'apporte aucune information sur \(B\).

✏️ Exemple — Un sondage sur les transports
Sur 100 élèves d'un lycée :
BusVéloTotal
Filles302050
Garçons302050
Total6040100
Sur tout le lycée\(P(\text{Bus}) = \dfrac{60}{100} = 0{,}6\)
Chez les filles\(P_{\text{Fille}}(\text{Bus}) = \dfrac{30}{50} = 0{,}6\)
Les deux valeurs sont égales : « prendre le bus » et « être une fille » sont indépendants ici.
⚡ Flash — Si \(P(B)=0{,}3\) et \(P_A(B)=0{,}3\), \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Oui : puisque \(P_A(B) = P(B)\), la condition d'indépendance est vérifiée.

🔗 Le lien avec l'intersection
📋 Ce qu'on sait déjà

Dans la partie II, la première règle de l'arbre pondéré disait : le long d'un chemin, on multiplie les probabilités rencontrées. Cela revient exactement à calculer la probabilité de l'événement « \(A\) et \(B\) », notée \(A \cap B\) :

\(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\)

Cette formule est toujours vraie, que \(A\) et \(B\) soient indépendants ou non.

📗 Propriété

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, on a vu que \(P_A(B) = P(B)\). En remplaçant dans la formule précédente, on obtient une autre façon d'écrire l'indépendance :

\(A\) et \(B\) indépendants \(\iff\) \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)

C'est la formule la plus utilisée en pratique : dès que \(A\) et \(B\) sont indépendants, on calcule directement la probabilité de leur intersection en multipliant, sans passer par une probabilité conditionnelle.

✏️ On revérifie le sondage sur les transports
Avec le premier tableau (30 filles en bus sur 100 élèves), on avait conclu que « Fille » et « Bus » sont indépendants. Vérifions avec la formule du produit :
Par le tableau\(P(\text{Fille} \cap \text{Bus}) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3\)
Par le produit\(P(\text{Fille}) \times P(\text{Bus}) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3\)
Les deux valeurs coïncident : c'est une autre façon de voir que les événements sont indépendants.
⚠️ Attention à la réciproque

L'équivalence fonctionne dans les deux sens : si on te donne \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\) sans arbre ni tableau conditionnel, tu peux tester l'indépendance directement en comparant \(P(A \cap B)\) et \(P(A) \times P(B)\) — inutile de calculer une probabilité conditionnelle !

⚡ Flash — On donne \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

Oui : \(P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)\). L'égalité est vérifiée, donc \(A\) et \(B\) sont indépendants.

🎮 À toi de jouer !

On donne \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}6\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

On calcule\(P(A) \times P(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18\)
On compare\(0{,}18 \neq 0{,}2\)
\(P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)\) : \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.
🎮 À toi de jouer !

Même lycée, mais avec des chiffres légèrement différents :

BusVéloTotal
Filles351550
Garçons252550
Total6040100

« Prendre le bus » et « être une fille » sont-ils indépendants ?

Sur tout le lycée\(P(\text{Bus}) = \dfrac{60}{100} = 0{,}6\)
Chez les filles\(P_{\text{Fille}}(\text{Bus}) = \dfrac{35}{50} = 0{,}7\)
\(0{,}7 \neq 0{,}6\) : les deux événements ne sont pas indépendants cette fois.
IV. Répéter une épreuve à deux issues
📘 Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à exactement deux issues possibles : un « succès » (probabilité \(p\)) et un « échec » (probabilité \(1-p\)). Répéter plusieurs fois la même épreuve, de façon indépendante, se représente avec un arbre où les mêmes probabilités reviennent à chaque niveau.

✏️ Exemple — Deux tirs au but
Un joueur a 70% de réussite à chaque tir. Il tire deux fois de suite, de façon indépendante. Quelle est la probabilité qu'il réussisse exactement un tir sur les deux ?
0,7 0,3 Réussite Échec 0,7 0,3 0,7 0,3 Réussite, Réussite P = 0,49 Réussite, Échec P = 0,21 Échec, Réussite P = 0,21 Échec, Échec P = 0,09
Chemins utiles« Réussite puis Échec » ou « Échec puis Réussite »
On additionne\(0{,}21 + 0{,}21 = 0{,}42\)
42% de chances de réussir exactement un tir sur les deux
⚡ Flash — Toujours avec ce joueur (70% de réussite), quelle est la probabilité qu'il réussisse ses trois prochains tirs (indépendants) ?

On multiplie trois fois de suite : \(0{,}7 \times 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}343\), soit environ 34,3%.

🎮 À toi de jouer !

Un jeu donne 60% de chances de gagner à chaque partie. Un joueur fait deux parties, de façon indépendante. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois sur les deux ?

Le plus simple est de passer par l'événement contraire : « ne gagner aucune des deux parties », c'est-à-dire perdre les deux.

Perdre les deux\(0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\)
Au moins une victoire\(1 - 0{,}16 = 0{,}84\)
84% de chances de gagner au moins une fois sur les deux
Mini-quiz — Vérifie tes acquis
1. \(P_A(B)\) se lit :
2. Dans un groupe, 40 personnes sur 200 sont fumeuses. Parmi elles, 25 ont une toux chronique. Quelle est \(P_{\text{Fumeur}}(\text{Toux})\) ?
3. Sur un arbre pondéré, pour calculer la probabilité d'un chemin, on :
4. On a \(P(B) = 0{,}4\) et \(P_A(B) = 0{,}4\). Que peut-on en conclure ?
5. Une pièce truquée tombe sur pile avec une probabilité de 0,8. On la lance deux fois de façon indépendante. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile ?
6. Pour calculer « au moins un succès » sur plusieurs répétitions, la méthode la plus efficace est souvent de :
7. On donne \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Que peut-on en dire ?
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