Bac Blanc n°1 — 1erestc

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Exercice 1 6 points

Probabilités Tableau double entrée Indépendance

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Contexte — Enquête lycéenne

Dans un lycée, une enquête est menée auprès de 400 élèves sur leurs habitudes de transport et leur pratique sportive. Chaque élève est soit piéton/vélo soit en voiture/bus, et pratique ou non un sport en dehors du lycée.

Le tableau ci-dessous résume les résultats :

	Sport	Pas de sport	Total
Piéton / Vélo	108		180
Voiture / Bus		154
Total			400

On choisit un élève au hasard. On note :

\(V\) : « l'élève vient à pied ou à vélo » ; \(S\) : « l'élève pratique un sport »

1. Recopier et compléter le tableau.

2. Calculer \(P(V)\) et \(P(V \cap S)\). Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

3. Calculer \(P_V(S)\), la probabilité que l'élève fasse du sport sachant qu'il vient à pied ou à vélo.

4. Calculer \(P_{\overline{V}}(S)\), la probabilité que l'élève fasse du sport sachant qu'il vient en voiture ou en bus.

5. Les événements \(V\) et \(S\) sont-ils indépendants ? Justifier à l'aide des valeurs calculées. Que peut-on conclure sur le lien entre mode de transport et pratique sportive ?

💡 Indices

Total piétons = 180, sport piétons = 108, donc « pas de sport » piétons = 180 − 108 = 72. Puis total voiture = 400 − 180 = 220, sport voiture = total sport − 108, etc.

\(P_V(S) = \dfrac{P(V \cap S)}{P(V)} = \dfrac{\text{nb sport ET piéton}}{\text{nb piéton}}\). Travaille avec les effectifs.

Deux événements sont indépendants si \(P_V(S) = P(S)\). Compare \(P_V(S)\) et \(P(S)\) : s'ils sont différents, les événements sont liés.

1. Tableau complété

	Sport	Pas de sport	Total
Piéton / Vélo	108	72	180
Voiture / Bus	66	154	220
Total	174	226	400

Piéton/pas sport = 180−108 = 72 ; total voiture = 400−180 = 220 ; voiture/sport = 220−154 = 66 ; total sport = 108+66 = 174.

2. Probabilités

\(P(V)\)\(\dfrac{180}{400} = \dfrac{9}{20}\)

\(P(V \cap S)\)\(\dfrac{108}{400} = \dfrac{27}{100}\)

3. Probabilité conditionnelle \(P_V(S)\)

Formule\(P_V(S) = \dfrac{108}{180} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)

Parmi les élèves venant à pied ou à vélo, 60 % pratiquent un sport.

4. Probabilité conditionnelle \(P_{\overline{V}}(S)\)

Formule\(P_{\overline{V}}(S) = \dfrac{66}{220} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\)

Parmi les élèves en voiture ou bus, seulement 30 % pratiquent un sport.

5. Indépendance

\(P(S)\)\(\dfrac{174}{400} = \dfrac{87}{200} = 0{,}435\)

\(P_V(S) = 0{,}6 \neq 0{,}435 = P(S)\), donc \(V\) et \(S\) ne sont pas indépendants.

Le mode de transport et la pratique sportive sont liés : les élèves qui viennent à pied ou à vélo font davantage de sport (60 %) que ceux qui viennent en voiture ou bus (30 %).

Exercice 2 8 points

Suites arithmétiques Suites géométriques Modélisation · Tableur

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Contexte — Consommation d'eau

Une ville consomme 8 000 m³ d'eau par mois en janvier 2024. Elle étudie deux politiques d'économie d'eau pour réduire cette consommation.

Partie A — Politique 1 : réduction fixe

Chaque mois, la consommation diminue de 200 m³ par rapport au mois précédent. On note \((u_n)\) la consommation (en m³) au mois \(n\), avec \(n = 0\) pour janvier 2024. Ainsi \(u_0 = 8\,000\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Interpréter \(u_2\) dans le contexte.

2. a. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) pour tout entier \(n \geq 0\).
b. Quelle est la nature de \((u_n)\) ? Préciser sa raison.

3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). En déduire à partir de quel mois la consommation sera inférieure à 4 000 m³.

Partie B — Politique 2 : réduction en pourcentage

Chaque mois, la consommation diminue de 4 % par rapport au mois précédent. On note \((v_n)\) la consommation (en m³) au mois \(n\). Ainsi \(v_0 = 8\,000\).

1. Justifier que \(v_1 = 7\,680\). Donner l'expression de \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), puis exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

2. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de \(v_n\) arrondies à l'unité. Déterminer à partir de quel mois la consommation \(v_n\) est inférieure à 4 000 m³.

\(n\)	0	1	2	3	5	8	10	15	17	18
\(v_n\)	8000	7680	7373	7078	6523	5765	5333	4332	4005	3845

Partie C — Bilan

Quelle politique permet d'atteindre une consommation inférieure à 4 000 m³ le plus rapidement ? Comparer les deux résultats obtenus.

💡 Indices

On cherche \(u_n < 4000\), soit \(8000 - 200n < 4000\). Simplifie : \(200n > 4000\), d'où \(n > 20\). Donc \(n \geq 21\).

Une baisse de 4 % = multiplication par \(1 - 0{,}04 = 0{,}96\). Suite géométrique de raison \(q = 0{,}96\), décroissante car \(0 < q < 1\).

Partie A — Politique 1 (suite arithmétique)

A.1 — \(u_1\)\(u_1 = 8\,000 - 200 = 7\,800\) m³

\(u_2\)\(u_2 = 7\,800 - 200 = 7\,600\) m³

\(u_2 = 7\,600\) m³ : en mars 2024, la ville consomme 7 600 m³ d'eau.

A.2 — \(u_{n+1} = u_n - 200\). La suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = -200\).

A.3 — Terme général :

\(u_n = 8\,000 - 200n\)

On cherche \(u_n < 4\,000\) :

Inéquation\(8\,000 - 200n < 4\,000 \Leftrightarrow 200n > 4\,000 \Leftrightarrow n > 20\)

Premier mois vérifiant cette condition : \(n = 21\), soit octobre 2025 (\(u_{21} = 3\,800\) m³).

Partie B — Politique 2 (suite géométrique)

B.1 — \(v_1 = 8\,000 \times 0{,}96 = 7\,680\) m³ ✓. Relation : \(v_{n+1} = 0{,}96 \times v_n\).

Suite géométrique de raison \(q = 0{,}96\). Terme général : \(v_n = 8\,000 \times 0{,}96^n\)

B.2 — D'après le tableau : \(v_{17} \approx 4\,005 > 4\,000\) et \(v_{18} \approx 3\,845 < 4\,000\).

La consommation passe sous 4 000 m³ à partir du mois \(n = 18\), soit juillet 2025.

Partie C — Bilan

💧 La politique 2 (−4 %/mois) permet d'atteindre l'objectif au mois 18 (juillet 2025), contre le mois 21 (octobre 2025) pour la politique 1. La politique 2 est plus efficace de 3 mois.

🏆

Bac Blanc n°1 terminé !

★★★★★

✅ Probabilités — tableau double entrée

✅ Probabilités conditionnelles

✅ Indépendance d'événements

✅ Suite arithmétique

✅ Suite géométrique décroissante

✅ Lecture de tableur

Bravo ! Tu as couvert probabilités et suites sur ce bac blanc.