Bac Blanc n°2 — 1erestc

Exercice 1 6 points

Probabilités Arbre pondéré Probabilité totale · Conditionnelle

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Contexte — Dépistage médical

Dans une population, 5 % des individus sont porteurs d'un virus. Un test de dépistage est positif chez 92 % des personnes malades, et positif chez 8 % des personnes saines (faux positifs). On choisit un individu au hasard.

On note : \(M\) « l'individu est malade » ; \(T\) « le test est positif ».

1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

2. Calculer \(P(M \cap T)\) et \(P(\overline{M} \cap T)\).

3. En déduire \(P(T)\) à l'aide de la formule des probabilités totales.

4. Calculer \(P_T(M)\) : la probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade. On admet que \(P(T) = 0{,}122\). Interpréter ce résultat.

💡 Indices

Sur l'arbre, chaque chemin a une probabilité = produit des probabilités de ses branches. Chemin \(M \cap T\) : \(P(M) \times P_M(T) = 0{,}05 \times 0{,}92\).

Formule des probabilités totales : \(P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)\). Ce sont les deux chemins de l'arbre aboutissant à \(T\).

\(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}\). Divise le résultat de Q2 par \(P(T) = 0{,}122\).

1. Arbre complété

1res branches\(P(M) = 0{,}05\) ; \(P(\overline{M}) = 0{,}95\)

Branches M\(P_M(T) = 0{,}92\) ; \(P_M(\overline{T}) = 0{,}08\)

Branches M̄\(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}08\) ; \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}92\)

2. Probabilités des chemins

\(P(M \cap T)\)\(= 0{,}05 \times 0{,}92 = 0{,}046\)

\(P(\overline{M} \cap T)\)\(= 0{,}95 \times 0{,}08 = 0{,}076\)

3. Probabilité totale \(P(T)\)

\(P(T) = 0{,}046 + 0{,}076 = 0{,}122\) ✓

12,2 % des individus testés au hasard seront positifs.

4. Probabilité conditionnelle \(P_T(M)\)

Calcul\(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}046}{0{,}122} = \dfrac{46}{122} = \dfrac{23}{61} \approx 0{,}377\)

\(P_T(M) \approx 37{,}7\,\%\)

⚠️ Interprétation : parmi les personnes testées positives, seulement environ 38 % sont réellement malades. Même avec un test assez fiable, la faible prévalence (5 %) entraîne beaucoup de faux positifs.

Exercice 2 8 points

Second degré Forme factorisée · Signe Forme canonique · Sommet Modélisation

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Contexte — Bénéfice d'une entreprise

Le bénéfice mensuel (en milliers d'euros) d'une petite entreprise, en fonction du nombre \(x\) d'articles produits (en centaines, \(0 \leq x \leq 8\)), est modélisé par :

\[B(x) = -2(x-1)(x-5)\]

Partie A — Racines et signe

1. Lire directement les racines de \(B\) dans sa forme factorisée. Justifier qu'on peut les lire sans calcul.

2. Calculer \(B(0)\) et \(B(8)\). Interpréter le signe obtenu.

3. Dresser le tableau de signe de \(B(x)\) sur \([0\,;\,8]\). Rappel : \(a = -2 < 0\).

4. Pour quelles valeurs de \(x\) l'entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?

Partie B — Sommet et maximum

5. Rappeler comment trouver l'axe de symétrie d'une parabole quand on connaît ses deux racines. En déduire la valeur de \(x\) au sommet, puis calculer \(B\) en ce point.

6. Interpréter : quel est le bénéfice maximum, et pour combien d'articles est-il atteint ?

Partie C — Développement

7. Développer \(B(x) = -2(x-1)(x-5)\) et vérifier que la forme développée est \(B(x) = -2x^2 + 12x - 10\).

💡 Indices

Comme \(a = -2 < 0\), la parabole est « en cloche » : \(B(x) > 0\) entre les racines et \(B(x) < 0\) à l'extérieur. Le signe est l'opposé du cas \(a > 0\).

Quand la parabole a deux racines \(x_1\) et \(x_2\), son axe de symétrie passe par leur milieu : \(x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\).

A.1 — Racines lues directement

Dans \(B(x) = -2(x-1)(x-5)\), le produit est nul quand \(x - 1 = 0\) ou \(x - 5 = 0\).

Racines : \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\) — lues directement, sans aucun calcul.

A.2 — Valeurs en 0 et en 8

\(B(0)\)\(= -2(0-1)(0-5) = -2 \times (-1) \times (-5) = -10\)

\(B(8)\)\(= -2(8-1)(8-5) = -2 \times 7 \times 3 = -42\)

Les deux valeurs sont négatives : aux extrêmes, l'entreprise est déficitaire.

A.3 — Tableau de signe (avec \(a = -2 < 0\))

\(x\)	0	1		5		8
\(B(x)\)	−	0	+	0	−	−

Car \(a < 0\) : signe négatif à l'extérieur des racines, positif entre les racines.

A.4 — Plage bénéficiaire

\(B(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ]1\,;\,5[\) soit entre 100 et 500 articles (strictement).

B.5 — Axe de symétrie et valeur au sommet

L'axe de symétrie passe par le milieu des racines :

\(x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\)

\(B(3)\)\(= -2(3-1)(3-5) = -2 \times 2 \times (-2) = 8\)

B.6 — Interprétation

📦 Le bénéfice est maximum pour \(x = 3\) (soit 300 articles), avec un bénéfice de 8 000 €. C'est le sommet de la parabole.

C.7 — Développement et vérification

Étape 1\(-2(x-1)(x-5) = -2\bigl(x^2 - 5x - x + 5\bigr)\)

Étape 2\(= -2(x^2 - 6x + 5)\)

Étape 3\(= -2x^2 + 12x - 10\) ✓