Bac Blanc n°3 — 1erestc

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Exercice 1 6 points

Statistiques Nuage de points · Point moyen Ajustement affine · Prévision

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Contexte — Ensoleillement et ventes de glaces

Un glacier relève chaque semaine le nombre moyen d'heures d'ensoleillement \(x\) et ses ventes de glaces \(y\) (en dizaines). Voici les données de 6 semaines :

Semaine	1	2	3	4	5	6
Ensoleillement \(x\) (h)	2	3	4	6	7	8
Ventes \(y\) (dizaines)	9	11	13	17	19	21

Partie A — Point moyen et ajustement

1. On admet que la somme des valeurs de \(x\) est 30 et la somme des valeurs de \(y\) est 90. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), puis déterminer les coordonnées du point moyen \(G\).

2. On admet que la droite d'ajustement affine passant par \(G\) a pour coefficient directeur \(a = 2\). En utilisant la méthode vue en classe (droite passant par \(G\)), déterminer l'équation complète \(y = ax + b\).

3. Interpréter la valeur de \(a = 2{,}6\) dans le contexte.

4. Prévoir les ventes pour une semaine à 10 heures d'ensoleillement. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Quel risque cela comporte-t-il ?

Partie B — Tableau croisé qualitatif

Le glacier note également si chaque semaine est « chaude » (≥ 25 °C) ou « fraîche » (< 25 °C), et si les ventes sont « fortes » (≥ 20 dizaines) ou « faibles » (< 20 dizaines).

	Ventes fortes	Ventes faibles	Total
Semaine chaude	3	1	4
Semaine fraîche	0	2	2
Total	3	3	6

On choisit une semaine au hasard. On note \(C\) : « semaine chaude » et \(F\) : « ventes fortes ».

5. Calculer \(P(C)\), \(P(F)\) et \(P(C \cap F)\).

6. Calculer \(P_C(F)\). Les événements \(C\) et \(F\) sont-ils indépendants ? Conclure.

💡 Indices

La droite d'ajustement passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). Donc \(\bar{y} = a\bar{x} + b\), d'où \(b = \bar{y} - a\bar{x}\). Remplace avec les valeurs calculées en Q1.

11 heures est au-delà des valeurs observées (max = 9 h). C'est donc une extrapolation : on sort du domaine des données, ce qui est plus risqué car la tendance peut changer.

Comparer \(P_C(F)\) avec \(P(F)\). S'ils sont égaux, \(C\) et \(F\) sont indépendants. Sinon, la température influence les ventes.

A.1 — Point moyen

\(\bar{x}\)\(= \dfrac{30}{6} = 5\) h

\(\bar{y}\)\(= \dfrac{90}{6} = 15\) dizaines

Point moyen : \(G(5\,;\,15)\)

A.2 — Équation de la droite d'ajustement

La droite passe par \(G(5\,;\,15)\), donc \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) :

\(b\)\(= \bar{y} - a\bar{x} = 15 - 2 \times 5 = 15 - 10 = 5\)

\(y = 2x + 5\)

A.3 — Interprétation de \(a\)

Chaque heure d'ensoleillement supplémentaire correspond à une augmentation de 2 dizaines de glaces vendues, soit 20 glaces de plus par heure de soleil.

A.4 — Prévision à 11 heures

\(y(10)\)\(= 2 \times 10 + 5 = 20 + 5 = 25\) dizaines

Prévision : environ 250 glaces.

⚠️ C'est une extrapolation : 10 h est au-delà du domaine observé (2 à 8 h). La tendance peut ne plus être linéaire au-delà, ce résultat est donc moins fiable.

B — Tableau croisé

\(P(C)\)\(= \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)

\(P(F)\)\(= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

\(P(C \cap F)\)\(= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)

\(P_C(F)\)\(= \dfrac{3}{4}\)

\(P_C(F) = \dfrac{3}{4} \neq \dfrac{1}{2} = P(F)\) : \(C\) et \(F\) ne sont pas indépendants.

La température et le niveau de ventes sont liés : par temps chaud, 75 % des semaines ont des ventes fortes contre 50 % en général.

Exercice 2 8 points

Fonctions affines Suites géométriques Exponentielle (seuil, taux) Modélisation

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Contexte — Croissance d'une plante

Un botaniste suit la hauteur (en cm) d'une plante selon deux modèles distincts.

Partie A — Modèle linéaire (fonctions affines)

La hauteur de la plante A suit la loi \(h_A(t) = 3t + 2\) où \(t\) est le temps en semaines.

1. Calculer \(h_A(0)\) et \(h_A(4)\). Interpréter.

2. Interpréter le coefficient \(3\) dans ce contexte.

3. À quelle semaine la plante A atteindra-t-elle 20 cm ?

Partie B — Modèle par suite géométrique

La hauteur de la plante B (en cm) est modélisée par une suite géométrique \((u_n)\) où \(n\) est le numéro de la semaine. On a \(u_0 = 2\) et la hauteur augmente de 20 % chaque semaine.

4. Justifier que \(u_1 = 2{,}4\). Quelle est la raison de la suite \((u_n)\) ?

5. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

6. D'après le tableau ci-dessous, à partir de quelle semaine la plante B dépasse-t-elle 20 cm ?

\(n\)	0	2	4	6	8	10	11	12	13
\(u_n\) (cm)	2	2,88	4,15	5,97	8,60	12,38	14,86	17,84	21,40

Partie C — Modèle exponentiel continu

Une troisième plante C a une hauteur modélisée par \(f(t) = 2 \times 1{,}15^t\) (en cm), pour \(t \geq 0\) en semaines.

7. Calculer \(f(0)\). Interpréter.

8. Quel est le taux d'évolution de la plante C par semaine ? Comparer avec la plante B.

9. On admet que \(1{,}15^{10} \approx 4{,}05\). Estimer \(f(10)\). La plante C a-t-elle dépassé 20 cm à la semaine 10 ? Comparer avec la plante B.

💡 Indices

\(3t + 2 = 20 \Rightarrow 3t = 18 \Rightarrow t = 6\). La plante A atteint 20 cm à la semaine 6.

Augmentation de 20 % → multiplication par \(1 + 0{,}20 = 1{,}2\). Donc \(u_1 = u_0 \times 1{,}2 = 2 \times 1{,}2 = 2{,}4\) ✓. Raison : \(q = 1{,}2\).

Taux d'évolution : \(1{,}15 - 1 = 0{,}15\) soit 15 % par semaine. C'est inférieur aux 20 % de la plante B : la plante C croît moins vite.

A — Fonctions affines

\(h_A(0)\)\(= 3 \times 0 + 2 = 2\) cm (hauteur initiale)

\(h_A(4)\)\(= 3 \times 4 + 2 = 14\) cm (hauteur à la semaine 4)

Le coefficient \(3\) représente la croissance hebdomadaire constante : la plante A grandit de 3 cm par semaine.

A.3 — \(3t + 2 = 20 \Rightarrow 3t = 18 \Rightarrow t = 6\).

La plante A atteint 20 cm à la semaine 6.

B — Suite géométrique

B.4 — \(u_1 = 2 \times 1{,}2 = 2{,}4\) cm ✓. Raison : \(q = 1{,}2\).

B.5 — \(u_n = 2 \times 1{,}2^n\)

B.6 — Lecture du tableau : \(u_{12} \approx 17{,}84 < 20\) et \(u_{13} \approx 21{,}40 > 20\).

La plante B dépasse 20 cm à partir de la semaine 13.

C — Exponentielle (propriétés des puissances)

\(f(0)\)\(= 2 \times 1{,}15^0 = 2 \times 1 = 2\) cm

La plante C mesure aussi 2 cm au départ.

C.8 — Taux par semaine : \(1{,}15 - 1 = 0{,}15\) soit 15 %/semaine. La plante B croît plus vite (20 %/semaine).

\(f(10)\)\(= 2 \times 1{,}15^{10} \approx 2 \times 4{,}05 = 8{,}1\) cm

À la semaine 10 : \(f(10) \approx 8{,}1\) cm < 20 cm. La plante C n'a pas encore atteint 20 cm, alors que la plante B est à 12,38 cm. Les deux sont encore loin de 20 cm à \(n = 10\), mais la plante B (20 %/sem) sera plus rapide que la plante C (15 %/sem).

🏆

Bac Blanc n°3 terminé !

★★★★★

✅ Nuage de points et point moyen

✅ Ajustement affine

✅ Interpolation / extrapolation

✅ Tableau croisé qualitatif

✅ Fonctions affines

✅ Suite géométrique

✅ Exponentielle — taux et seuil

Excellent ! Programme 100 % respecté.