Bac Blanc n°4 — 1erestc

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Exercice 1 6 points

Statistiques Quartiles · Étendue · IQR Boîte à moustaches · Comparaison

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Contexte — Temps de course

Deux groupes de 10 élèves passent un test de condition physique noté sur 30 points. Le tableau suivant indique les scores (en points) de chaque groupe, rangés dans l'ordre croissant.

Groupe A	10	12	13	14	15	15	16	17	18	20
Groupe B	8	10	12	14	15	15	16	18	20	22

Partie A — Indicateurs statistiques

1. Calculer la médiane \(Me\), le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\) pour chacun des deux groupes.

2. Calculer l'étendue et l'écart interquartile pour chaque groupe. Quel groupe est le plus homogène ? Justifier.

3. On admet que la somme des scores du groupe A est 150 pts et celle du groupe B est 150 pts également. Calculer la moyenne de chaque groupe.

Partie B — Boîte à moustaches

4. Représenter les deux boîtes à moustaches sur un même axe gradué entre 5 et 25. On précisera min, \(Q_1\), \(Me\), \(Q_3\) et max pour chaque groupe.

5. La valeur 20 du groupe A peut-elle être considérée comme une valeur aberrante ? On dit qu'une valeur est aberrante si elle est supérieure à \(Q_3 + 1{,}5 \times (Q_3 - Q_1)\). Calculer ce seuil pour le groupe A et conclure.

6. En utilisant les indicateurs calculés, comparer les performances des deux groupes en précisant lequel est plus rapide et lequel est plus homogène.

💡 Indices

Pour 12 valeurs : \(Q_1\) = moyenne des 3e et 4e valeurs ; \(Me\) = moyenne des 6e et 7e valeurs ; \(Q_3\) = moyenne des 9e et 10e valeurs.

Un groupe est plus homogène si son écart interquartile (IQR = \(Q_3 - Q_1\)) est plus faible : les temps sont moins dispersés autour de la médiane.

Calcule \(Q_3^A + 1{,}5 \times \text{IQR}_A\). Si 248 dépasse ce seuil, c'est une valeur aberrante (outlier).

1. Quartiles — Groupe A (12 valeurs classées)

10, 12, 13, 14, 15 | 15, 16, 17, 18, 20

Pour 10 valeurs : \(Q_1\) = 3e valeur, \(Me\) = moyenne des 5e et 6e, \(Q_3\) = 8e valeur.

A — \(Q_1\)\(= 13\) pts (3e valeur)

A — \(Me\)\(\dfrac{15 + 15}{2} = 15\) pts

A — \(Q_3\)\(= 17\) pts (8e valeur)

Groupe B : 188, 194, 200, 204, 207, 211 | 214, 218, 222, 228, 235, 242

B — \(Q_1\)\(\dfrac{200 + 204}{2} = 202\) s

B — \(Me\)\(\dfrac{211 + 214}{2} = 212{,}5\) s

B — \(Q_3\)\(\dfrac{222 + 228}{2} = 225\) s

2. Étendue et IQR

Étendue A\(20 - 10 = 10\) pts

IQR A\(17 - 13 = 4\) pts

Étendue B\(22 - 8 = 14\) pts

IQR B\(18 - 12 = 6\) pts

Le groupe A est plus homogène : son IQR (4 pts) est plus faible que celui du groupe B (6 pts). Les scores du groupe A sont moins dispersés autour de la médiane.

3. Moyennes

Moyenne A\(\bar{x}_A = \dfrac{150}{10} = 15\) pts

Moyenne B\(\bar{x}_B = \dfrac{150}{10} = 15\) pts

4. Boîte à moustaches

📦 Boîtes à moustaches (axe en points)

5. Valeur aberrante — 20 du groupe A

Seuil\(Q_3^A + 1{,}5 \times \text{IQR}_A = 17 + 1{,}5 \times 4 = 17 + 6 = 23\) pts

20 < 23 : la valeur 20 pts n'est pas aberrante selon ce critère.

6. Comparaison des groupes

🏃 Performances : les deux groupes ont exactement la même moyenne (15 pts) et la même médiane (15 pts) : niveau identique.

Homogénéité : le groupe A est plus régulier (IQR = 4 pts contre 6 pts pour B, étendue 10 pts contre 14 pts). Les scores du groupe B sont plus dispersés aux extrêmes.

Exercice 2 8 points

Second degré Signe · Sommet · Interprétation Modélisation

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Contexte — Food truck

Le bénéfice journalier (en dizaines d'euros) d'un food truck en fonction du nombre de plats vendus \(x\) (en dizaines de plats, \(0 \leq x \leq 10\)) est modélisé par :

\[B(x) = -x(x - 8)\]

Partie A — Racines et signe

1. Lire directement les racines de \(B\) dans la forme factorisée. Que représentent-elles dans le contexte ?

2. En déduire le tableau de signe de \(B(x)\) sur \([0\,;\,10]\). (Rappel : le coefficient de \(x^2\) est négatif.) Pour quelles ventes le food truck est-il bénéficiaire ?

3. Développer \(B(x) = -x(x-8)\).

Partie B — Sommet et symétrie

4. L'axe de symétrie de la parabole se trouve à mi-chemin entre les racines. Déterminer l'abscisse du sommet, puis calculer \(B\) en ce point. Interpréter.

5. Calculer \(B(2)\) et \(B(6)\). Que remarque-t-on ? Expliquer à l'aide de la symétrie de la parabole.

Partie C — Objectif de bénéfice

Les résultats de la question précédente montrent que \(B(x) = 12\) admet deux solutions : \(x = 2\) et \(x = 6\).

6. En utilisant le tableau de signe de \(B(x) - 12\) (dont les racines sont 2 et 6, et dont le coefficient de \(x^2\) est négatif), déterminer pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice dépasse 120 €. Interpréter.

💡 Indices

Le coefficient de \(x^2\) dans \(B(x) = -x^2+8x\) est \(-1 < 0\) : la parabole est en « cloche », donc \(B(x) > 0\) entre les racines et \(B(x) < 0\) à l'extérieur.

L'axe de symétrie est \(x = 4\). Les valeurs \(x=2\) et \(x=6\) sont à égale distance de 4 (distance 2 de chaque côté), donc elles ont le même bénéfice.

\(B(x) - 12\) a les racines 2 et 6 et un coefficient de \(x^2\) négatif. Son signe est donc positif entre 2 et 6 : \(B(x) > 12\) pour \(x \in ]2\,;\,6[\).

A.1 — Racines

\(-x(x-8) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) ou \(x = 8\). Racines lues directement.

\(x_1 = 0\) et \(x_2 = 8\) : le bénéfice est nul quand le food truck vend 0 plat ou 80 plats.

A.2 — Tableau de signe et interprétation

Coefficient de \(x^2\) : \(-1 < 0\) → signe positif entre les racines.

\(x\)	0		8		10
\(B(x)\)	0	+	0	−	−

Le food truck est bénéficiaire pour \(x \in ]0\,;\,8[\), c'est-à-dire entre 1 et 79 plats vendus.

A.3 — Développement

\(B(x) = -x(x-8) = -x^2 + 8x\)

B.4 — Sommet

Abscisse\(x_S = \dfrac{0 + 8}{2} = 4\)

\(B(4)\)\(= -4 \times (4 - 8) = -4 \times (-4) = 16\)

Le bénéfice maximum est 160 €, atteint pour 40 plats vendus.

B.5 — Symétrie

\(B(2)\)\(= -2 \times (2-8) = -2 \times (-6) = 12\)

\(B(6)\)\(= -6 \times (6-8) = -6 \times (-2) = 12\)

\(B(2) = B(6) = 12\) : \(x=2\) et \(x=6\) sont symétriques par rapport à l'axe \(x=4\), donc ils ont le même bénéfice.

C.6 — Quand \(B(x) > 12\) ?

Les racines de \(B(x) - 12\) sont \(x=2\) et \(x=6\) (vérifiées en Q5), avec un coefficient de \(x^2\) négatif.

\(x\)	0	2		6		10
\(B(x)-12\)	−	0	+	0	−	−

\(B(x) > 12\) pour \(x \in ]2\,;\,6[\) : le bénéfice dépasse 120 € quand le food truck vend entre 21 et 59 plats.

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Bac Blanc n°4 terminé !

★★★★★

✅ Quartiles Q1, Q3

✅ Étendue et écart interquartile

✅ Boîte à moustaches

✅ Valeur aberrante

✅ Second degré — racines par lecture

✅ Tableau de signe

✅ Sommet — symétrie et applications

✅ Factorisation sans discriminant

Bravo ! Statistiques et second degré maîtrisés.