Bac Blanc n°5 — 1erestc

Corrections vues :

0 / 2

Exercice 1 6 points

Probabilités Épreuve de Bernoulli · Schéma répété Arbre · Dénombrement

✓ Vu

🎯

Contexte — Tir à l'arc

Une archère atteint la cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tir. Les tirs sont supposés indépendants. Elle effectue 3 tirs consécutifs.

On note \(S\) un succès (cible atteinte) et \(E\) un échec.

Partie A — Modélisation

1. Justifier que cette situation correspond à un schéma de Bernoulli : identifier l'épreuve, le succès et la probabilité de succès.

2. Construire l'arbre de probabilités des 3 tirs. On indiquera toutes les probabilités sur les branches et tous les 8 issues possibles.

3. Calculer la probabilité d'atteindre la cible lors des 3 tirs (succès à chaque tir).

4. Calculer la probabilité d'atteindre la cible lors d'exactement 2 tirs sur 3. (Penser à identifier tous les chemins favorables dans l'arbre.)

Partie B — Événement complémentaire et probabilités

5. Calculer la probabilité de n'atteindre la cible sur aucun des 3 tirs. En déduire la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois.

6. Vérifier que la somme des probabilités de tous les résultats possibles est bien égale à 1 : \(P(\text{0 succès}) + P(\text{1 succès}) + P(\text{2 succès}) + P(\text{3 succès}) = 1\).

💡 Indices

Les issues avec exactement 2 succès sont : SSE, SES, ESS. Chacune a la même probabilité \(0{,}8^2 \times 0{,}2\). Additionne les 3 chemins.

\(P(X=0) = P(\text{EEE}) = 0{,}2^3 = 0{,}008\). \(P(X=1)\) = probabilité d'exactement 1 succès parmi 3 tirs = 3 chemins × \(0{,}8 \times 0{,}2^2\).

\(P(\text{au moins 1 succès}) = 1 - P(\text{0 succès}) = 1 - P(\text{EEE})\). C'est la méthode du complémentaire : plus simple que de calculer tous les cas favorables.

A.1 — Schéma de Bernoulli

Chaque tir est une épreuve indépendante avec deux issues : succès S (cible atteinte, \(p = 0{,}8\)) et échec E (\(1-p = 0{,}2\)). Les tirs sont indépendants et répétés 3 fois dans les mêmes conditions. C'est bien un schéma de Bernoulli répété 3 fois de paramètre \(p = 0{,}8\).

A.2 — Arbre et probabilités des 8 issues

SSS\(0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}512\)

SSE\(0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}128\)

SES\(0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}128\)

SEE\(0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}032\)

ESS\(0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}128\)

ESE\(0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}032\)

EES\(0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}032\)

EEE\(0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}008\)

A.3 — P(3 succès)

\(P(X=3) = P(\text{SSS}) = 0{,}8^3 = 0{,}512\)

A.4 — P(exactement 2 succès sur 3)

Chemins favorables : SSE, SES, ESS (3 chemins, chacun de probabilité \(0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128\)).

\(P(X=2) = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384\)

B.5 — Méthode du complémentaire

L'événement « aucune cible atteinte » correspond au chemin EEE :

\(P(\text{EEE})\)\(= 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}008\)

\(P(\text{au moins 1 succès}) = 1 - P(\text{EEE}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992\)

L'archère a 99,2 % de chances d'atteindre au moins une cible sur 3 tirs.

B.6 — Vérification de la somme

D'après le tableau de l'arbre :

0 succès\(P(\text{EEE}) = 0{,}008\)

1 succès\(P(\text{SEE}) + P(\text{ESE}) + P(\text{EES}) = 3 \times 0{,}032 = 0{,}096\)

2 succès\(P(\text{SSE}) + P(\text{SES}) + P(\text{ESS}) = 3 \times 0{,}128 = 0{,}384\)

3 succès\(P(\text{SSS}) = 0{,}512\)

Total\(0{,}008 + 0{,}096 + 0{,}384 + 0{,}512 = 1{,}000\) ✓

La somme des probabilités de toutes les issues est bien égale à 1 : l'arbre est complet et cohérent.

Exercice 2 8 points

Fonctions affines & linéaires Système d'équations · Seuil de rentabilité Coût · Recette · Bénéfice

✓ Vu

🍕

Contexte — Pizzeria artisanale

Une pizzeria fabrique et vend des pizzas. On note \(x\) le nombre de pizzas fabriquées et vendues par jour (\(0 \leq x \leq 200\)).

Le coût total de production est : \(C(x) = 3{,}5x + 120\) (en euros).
La recette totale est : \(R(x) = 8x\) (en euros).

Partie A — Analyse économique

1. Interpréter concrètement les coefficients des fonctions \(C\) et \(R\) : que représentent 3,5 ; 120 et 8 dans ce contexte ?

2. Calculer le coût et la recette pour \(x = 40\) pizzas. L'entreprise est-elle bénéficiaire à ce niveau de production ?

3. Définir la fonction bénéfice \(B(x) = R(x) - C(x)\). Simplifier. Quelle est la nature de cette fonction ?

Partie B — Seuil de rentabilité

4. Résoudre l'équation \(R(x) = C(x)\) (seuil de rentabilité). Interpréter ce résultat.

5. Résoudre l'inéquation \(B(x) > 0\). Pour quelles valeurs de \(x\) la pizzeria est-elle bénéficiaire ?

6. Un concurrent propose un coût \(C_2(x) = 4x + 80\). À partir de combien de pizzas les deux pizzerias ont-elles le même coût de production ?

7. Chaque pizza est vendue 8 € mais le gérant envisage d'augmenter le prix de vente à \(p\) €/pizza. Pour quel prix \(p\) le seuil de rentabilité sera-t-il atteint dès la 20e pizza ? (Le coût reste \(C(x) = 3{,}5x + 120\).) Indication : au seuil de rentabilité, la recette est égale au coût. Toute trace de recherche sera valorisée.

💡 Indices

\(R(x) = C(x) \Leftrightarrow 8x = 3{,}5x + 120 \Leftrightarrow 4{,}5x = 120 \Leftrightarrow x = \dfrac{120}{4{,}5} = \dfrac{1200}{45} = \dfrac{80}{3}\). Arrondi à l'entier supérieur pour être bénéficiaire.

On veut \(C(x) = C_2(x)\), soit \(3{,}5x + 120 = 4x + 80\). Isole \(x\) en soustrayant \(3{,}5x\) et en soustrayant 80 des deux membres.

Seuil de rentabilité à \(x=20\) : \(R(20) = C(20) \Rightarrow 20p = 3{,}5 \times 20 + 120 = 70 + 120 = 190 \Rightarrow p = \dfrac{190}{20} = 9{,}5\) €/pizza.

A.1 — Interprétation des coefficients

3,5 : coût variable unitaire, chaque pizza coûte 3,50 € à produire.
120 : coût fixe journalier (loyer, électricité…), indépendant du nombre de pizzas.
8 : prix de vente d'une pizza (recette par unité vendue).

A.2 — Pour x = 40 pizzas

\(C(40)\)\(3{,}5 \times 40 + 120 = 140 + 120 = 260\) €

\(R(40)\)\(8 \times 40 = 320\) €

Bénéfice\(320 - 260 = 60\) €

À 40 pizzas, la pizzeria dégage un bénéfice de 60 € : elle est bénéficiaire.

A.3 — Fonction bénéfice

\(B(x)\)\(= 8x - (3{,}5x + 120) = 4{,}5x - 120\)

\(B(x) = 4{,}5x - 120\) — fonction affine (pente 4,5, ordonnée à l'origine −120).

B.4 — Seuil de rentabilité

Équation\(8x = 3{,}5x + 120 \Leftrightarrow 4{,}5x = 120 \Leftrightarrow x = \dfrac{120}{4{,}5} = \dfrac{80}{3} \approx 26{,}67\)

La pizzeria atteint le seuil de rentabilité à partir de 27 pizzas (premier entier strictement supérieur à 80/3).

B.5 — Plage de bénéfice

\(B(x) > 0\)\(4{,}5x - 120 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{80}{3}\)

La pizzeria est bénéficiaire pour \(x \geq 27\) pizzas par jour.

B.6 — Même coût de production

Équation\(C(x) = C_2(x) \Leftrightarrow 3{,}5x + 120 = 4x + 80\)

Simplif.\(120 - 80 = 4x - 3{,}5x \Leftrightarrow 40 = 0{,}5x \Leftrightarrow x = 80\)

Les deux pizzerias ont le même coût de production pour 80 pizzas (\(C(80) = C_2(80) = 400\) €).

B.7 — Nouveau prix de vente

Seuil de rentabilité en \(x = 20\) : \(R(20) = C(20)\).

\(R(20)\)\(= 20p\)

\(C(20)\)\(= 3{,}5 \times 20 + 120 = 70 + 120 = 190\) €

Équation\(20p = 190 \Rightarrow p = 9{,}5\) €

Pour atteindre le seuil de rentabilité dès la 20e pizza, il faut fixer un prix de vente de 9,50 € par pizza.

🏆

Bac Blanc n°5 terminé !

★★★★★

✅ Schéma de Bernoulli répété

✅ Arbre de probabilités à 3 niveaux

✅ Probabilité du complémentaire

✅ Fonctions affines — coût/recette

✅ Système d'équations

✅ Seuil de rentabilité

Excellent ! Probabilités répétées et fonctions affines maîtrisées.