Bac Blanc n°6 — 1erestc

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Exercice 1 6 points

Statistiques Probabilités · Tableau Second degré

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Contexte — Agriculture et rendement

Un agriculteur mesure le rendement (en quintaux/hectare) de son champ sur 10 années consécutives. Il étudie aussi le lien entre la pluviométrie et son rendement, et modélise son bénéfice par une fonction du second degré.

Partie A — Statistiques

Les rendements annuels sur 10 ans, rangés dans l'ordre croissant, sont :

12 — 14 — 15 — 16 — 18 — 20 — 21 — 23 — 24 — 27

1. Calculer la médiane, \(Q_1\) et \(Q_3\). En déduire l'écart interquartile.

2. On admet que la somme des rendements est 190 t/ha. Calculer la moyenne \(\bar{x}\).

3. En statistiques, on dit qu'une valeur est aberrante (ou outlier) si elle s'écarte anormalement des autres données. Un critère courant consiste à calculer le seuil \(Q_3 + 1{,}5 \times (Q_3 - Q_1)\) : toute valeur supérieure à ce seuil est considérée comme aberrante. La valeur 27 est-elle aberrante selon ce critère ? Justifier par le calcul.

Partie B — Probabilités

L'agriculteur note que les années de rendement élevé (≥ 43 quintaux) correspondent souvent aux années pluvieuses. Sur 10 ans, on dispose du tableau suivant :

	Rendement ≥ 43	Rendement < 43	Total
Année pluvieuse	4	1	5
Année sèche	1	4	5
Total	5	5	10

On choisit une année au hasard. On note \(P\) : « année pluvieuse » et \(H\) : « rendement élevé (≥ 43) ».

4. Calculer \(P(P)\), \(P(H)\) et \(P(P \cap H)\).

5. Calculer \(P_P(H)\). Les événements \(P\) et \(H\) sont-ils indépendants ? Que conclure sur le lien entre pluviométrie et rendement ?

Partie C — Second degré

Le bénéfice annuel (en milliers d'euros) en fonction de la surface cultivée \(x\) (en hectares, \(0 \leq x \leq 10\)) est :

\[f(x) = -x^2 + 8x - 7\]

6. Montrer que \(f(x) = -(x-1)(x-7)\), puis dresser le tableau de signe de \(f\) sur \([0\,;\,10]\).

7. Pour quelles surfaces l'agriculteur est-il bénéficiaire ? Déterminer la surface optimale et le bénéfice maximum (mettre sous forme canonique).

💡 Indices

10 valeurs : \(Me\) = moyenne des 5e et 6e = (41+43)/2 ; \(Q_1\) = médiane des 5 premières = 3e valeur = 35 ; \(Q_3\) = médiane des 5 dernières = 8e valeur = 50.

Compare \(P_P(H) = \frac{4}{5}\) avec \(P(H) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Ils sont différents donc non indépendants : la pluviométrie influence le rendement.

Le sommet est à \(x = \frac{1+7}{2} = 4\). Calcule \(f(4) = -16 + 32 - 7 = 9\). Forme canonique : \(f(x) = -(x-4)^2 + 9\).

A — Statistiques

A.1 — 10 valeurs classées : 12, 14, 15, 16, 18 | 20, 21, 23, 24, 27

Pour 10 valeurs : \(Q_1\) = 3e valeur, \(Me\) = moyenne des 5e et 6e, \(Q_3\) = 8e valeur.

\(Q_1\)\(= 15\) t/ha (3e valeur)

\(Me\)\(\dfrac{18+20}{2} = 19\) t/ha

\(Q_3\)\(= 23\) t/ha (8e valeur)

Écart interquartile\(23 - 15 = 8\) t/ha

A.2 — La somme est admise (190 t/ha).

\(\bar{x}\)\(= \dfrac{190}{10} = 19\) t/ha

A.3 — On applique le critère : une valeur est aberrante si elle dépasse \(Q_3 + 1{,}5 \times (Q_3 - Q_1)\).

Seuil\(23 + 1{,}5 \times 8 = 23 + 12 = 35\) t/ha

Comme \(27 < 35\), la valeur 27 n'est pas aberrante selon ce critère.

B — Probabilités

B.4 — \(P(P)\)\(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)

\(P(H)\)\(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)

\(P(P \cap H)\)\(\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

B.5 — \(P_P(H)\)\(\dfrac{4}{5} = 0{,}8\)

\(P_P(H) = 0{,}8 \neq \dfrac{1}{2} = P(H)\) : \(P\) et \(H\) ne sont pas indépendants.

La pluviométrie et le rendement sont liés : en année pluvieuse, la probabilité d'un rendement élevé est 80 %, contre 50 % en général.

C — Second degré

C.6 — Développement de \(-(x-1)(x-7)\) :

Développement\(-(x^2 - 8x + 7) = -x^2 + 8x - 7 = f(x)\) ✓

\(x\)	0	1		7		10
\(f(x)\)	−	0	+	0	−	−

C.7 — L'agriculteur est bénéficiaire pour \(x \in ]1\,;\,7[\), soit entre 1 et 7 hectares (strictement).

Forme canonique : sommet en \(x = 4\) ; \(f(4) = -16+32-7 = 9\).

Surface optimale : 4 ha ; bénéfice maximum : 9 000 €. Forme canonique : \(f(x) = -(x-4)^2 + 9\).

Exercice 2 8 points

Suites arithmétiques Suites géométriques Fonctions affines · Comparaison de coûts

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Contexte — Émissions de CO₂ d'une usine

Une usine émet 200 tonnes de CO₂ par an en 2024. Elle étudie trois stratégies pour réduire ses émissions sous le seuil de 100 tonnes.

Partie A — Stratégie 1 : réduction fixe (suite arithmétique)

La stratégie 1 réduit les émissions de 15 tonnes par an. On note \((u_n)\) les émissions (en t) à l'année \(2024 + n\), avec \(u_0 = 200\).

1. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). Préciser la nature et la raison de \((u_n)\).

2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

3. À partir de quelle année les émissions passent-elles sous 100 tonnes ?

Partie B — Stratégie 2 : réduction de 20 % par an (suite géométrique)

La stratégie 2 réduit les émissions de 20 % par an. On note \((v_n)\) les émissions à l'année \(2024 + n\), avec \(v_0 = 200\).

4. Justifier que \(v_1 = 160\). Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), puis \(v_n\) en fonction de \(n\).

5. D'après le tableau suivant, à partir de quelle année \(v_n < 100\) ?

\(n\)	0	1	2	3	4	5
\(v_n\) (t)	200	160	128	102	82	66

Partie C — Stratégie 3 : réduction de 10 % par an

La stratégie 3 réduit les émissions de 10 % par an. On note \((w_n)\) les émissions, avec \(w_0 = 200\).

6. Exprimer \(w_n\) en fonction de \(n\). D'après le tableau suivant, à partir de quelle année \(w_n < 100\) ?

\(n\)	0	2	4	5	6	7
\(w_n\) (t)	200	162	131	118	106	95

Partie D — Coût des stratégies (fonctions affines)

Mettre en œuvre les stratégies a un coût annuel (en milliers d'euros) :

Stratégie 1 : \(C_1(n) = 3n + 10\)
Stratégie 2 : \(C_2(n) = 2n + 20\)

7. Interpréter les coefficients de \(C_1\) et \(C_2\) dans ce contexte.

8. À partir de quelle année la stratégie 1 devient-elle plus coûteuse que la stratégie 2 ?

💡 Indices

On cherche \(u_n < 100\), soit \(200 - 15n < 100\), soit \(15n > 100\), d'où \(n > \dfrac{100}{15} = 6{,}\overline{6}\). Donc \(n \geq 7\).

On cherche quand \(C_1(n) > C_2(n)\), soit \(3n+10 > 2n+20\), soit \(n > 10\). À partir de \(n=11\) (2035).

A — Suite arithmétique

\(u_{n+1} = u_n - 15\). Suite arithmétique de raison \(r = -15\) et de premier terme \(u_0 = 200\).

\(u_n = 200 - 15n\)

A.3 — \(200 - 15n < 100 \Leftrightarrow 15n > 100 \Leftrightarrow n > 6{,}\overline{6}\), donc \(n \geq 7\).

Seuil franchi à partir de \(n = 7\), soit en 2031 (\(u_7 = 200 - 105 = 95\) t).

B — Suite géométrique (−20 %/an)

\(v_1 = 200 \times 0{,}8 = 160\) t ✓. Relation : \(v_{n+1} = 0{,}8 \times v_n\).

Suite géométrique de raison \(q = 0{,}8\). Terme général : \(v_n = 200 \times 0{,}8^n\)

B.5 — Lecture du tableau : \(v_3 = 102 > 100\) et \(v_4 = 82 < 100\).

Seuil franchi à partir de \(n = 4\), soit en 2028.

C — Suite géométrique (−10 %/an)

\(w_n = 200 \times 0{,}9^n\)

C.6 — Lecture du tableau : \(w_6 = 106 > 100\) et \(w_7 = 95 < 100\).

Seuil franchi à partir de \(n = 7\), soit en 2031.

🏭 Comparaison : stratégie 2 (−20 %/an) atteint l'objectif en 4 ans, contre 7 ans pour les deux autres. Plus le taux de réduction est élevé, plus l'effet est rapide.

D — Fonctions affines

D.7 — \(C_1\) : coût initial de 10 k€, augmente de 3 k€/an (investissements croissants). \(C_2\) : coût initial plus élevé (20 k€) mais n'augmente que de 2 k€/an.

D.8 :

Inéquation\(3n + 10 > 2n + 20 \Leftrightarrow n > 10\)

À partir de \(n = 11\) (en 2035), la stratégie 1 coûte plus cher que la stratégie 2.

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Grand Bac Blanc de Synthèse terminé !

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✅ Statistiques — médiane, Q1, Q3, IQR

✅ Valeur aberrante

✅ Probabilités — tableau, indépendance

✅ Second degré — signe, optimum

✅ Suite arithmétique

✅ Suite géométrique

✅ Suite géométrique — taux comparés

✅ Fonctions affines — système

🏆 Félicitations ! Tu as couvert l'intégralité du programme du tronc commun de Première. Tu es prêt(e) pour le bac !