Droites 2nde : Tracer une droite

Exercice 1 / 6

Cas simples m entier positif

✓ Vu

1) Pour chaque droite, donne les deux points à placer pour la tracer (méthode des 2 étapes).

a)

$y = 3x + 1$

b)

$y = 2x - 3$

c)

$y = 4x + 2$

d)

$y = x + 4$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $3$ et l'axe des ordonnées de $-4$ à $7$, en prenant 1 carreau = 1 unité sur chaque axe. Place les points trouvés et trace les 4 droites (a), (b), (c) et (d).

💡 Indices

Le premier point est toujours $(0\,;p)$, en repérant $p$ dans l'équation.

Depuis ce premier point, avance de $1$ en $x$ et de $m$ en $y$ (vers le haut si $m>0$).

Méthode : point de départ $(0\,;p)$, puis $+1$ en $x$ et $+m$ en $y$.

a) $y = 3x + 1$

Étape 1$p=1$ → point $(0\,;1)$

Étape 2$m=3$ → $+1$ en $x$, $+3$ en $y$ → point $(1\,;4)$

Points : $(0\,;1)$ et $(1\,;4)$

b) $y = 2x - 3$

Étape 1$p=-3$ → point $(0\,;-3)$

Étape 2$m=2$ → $+1$ en $x$, $+2$ en $y$ → point $(1\,;-1)$

Points : $(0\,;-3)$ et $(1\,;-1)$

c) $y = 4x + 2$

Étape 1$p=2$ → point $(0\,;2)$

Étape 2$m=4$ → $+1$ en $x$, $+4$ en $y$ → point $(1\,;6)$

Points : $(0\,;2)$ et $(1\,;6)$

d) $y = x + 4$

💡 Ici $m=1$ (invisible devant le $x$).

Étape 1$p=4$ → point $(0\,;4)$

Étape 2$m=1$ → $+1$ en $x$, $+1$ en $y$ → point $(1\,;5)$

Points : $(0\,;4)$ et $(1\,;5)$

2) Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $3$ en abscisses et de $-4$ à $7$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=3x+1 (b) y=2x-3 (c) y=4x+2 (d) y=x+4

Exercice 2 / 6

m négatif Ça descend

✓ Vu

1) Donne les deux points à placer pour tracer chaque droite. Attention au sens du déplacement !

a)

$y = -2x + 5$

b)

$y = -3x - 1$

c)

$y = -x + 6$

d)

$y = -4x + 2$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $3$ et l'axe des ordonnées de $-5$ à $7$, en prenant 1 carreau = 1 unité sur chaque axe. Place les points trouvés et trace les 4 droites (a), (b), (c) et (d).

💡 Indices

Quand $m$ est négatif, on avance toujours de $+1$ vers la droite, mais on descend de $m$ (on ne monte pas).

Dans c), $-x$ signifie $m=-1$ : on descend de $1$ seulement.

a) $y = -2x + 5$

Étape 1$p=5$ → point $(0\,;5)$

Étape 2$m=-2$ → $+1$ en $x$, on descend de $2$ → point $(1\,;3)$

Points : $(0\,;5)$ et $(1\,;3)$

b) $y = -3x - 1$

Étape 1$p=-1$ → point $(0\,;-1)$

Étape 2$m=-3$ → $+1$ en $x$, on descend de $3$ → point $(1\,;-4)$

Points : $(0\,;-1)$ et $(1\,;-4)$

c) $y = -x + 6$

Étape 1$p=6$ → point $(0\,;6)$

Étape 2$m=-1$ → $+1$ en $x$, on descend de $1$ → point $(1\,;5)$

Points : $(0\,;6)$ et $(1\,;5)$

d) $y = -4x + 2$

Étape 1$p=2$ → point $(0\,;2)$

Étape 2$m=-4$ → $+1$ en $x$, on descend de $4$ → point $(1\,;-2)$

Points : $(0\,;2)$ et $(1\,;-2)$

2) Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $3$ en abscisses et de $-5$ à $7$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=-2x+5 (b) y=-3x-1 (c) y=-x+6 (d) y=-4x+2

Exercice 3 / 6

m fractionnaire Pas non entier

✓ Vu

1) Ici, $m$ n'est pas un nombre entier. Donne les deux points à placer pour chaque droite.

a)

$y = \dfrac{2}{3}x + 1$

b)

$y = -\dfrac{3}{4}x + 2$

c)

$y = \dfrac{5}{2}x - 3$

d)

$y = -\dfrac{1}{3}x + 4$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-1$ à $5$ et l'axe des ordonnées de $-4$ à $5$, en prenant 1 carreau = 1 unité sur chaque axe. Place les points trouvés et trace les 4 droites (a), (b), (c) et (d).

💡 Indices

Quand $m$ est une fraction $\dfrac{a}{b}$, on avance du dénominateur $b$ (pas de $1$) et on monte (ou descend si négatif) du numérateur $a$.

Dans c), $m = \dfrac{5}{2}$ est positif : on avance de $2$ et on monte de $5$.

Méthode : pour $m=\dfrac{a}{b}$, j'avance de $b$ (dénominateur) et je monte/descends de $a$ (numérateur).

a) $y = \dfrac{2}{3}x + 1$

Étape 1$p=1$ → point $(0\,;1)$

Étape 2$m=\dfrac{2}{3}$ → $+3$ en $x$, $+2$ en $y$ → point $(3\,;3)$

Points : $(0\,;1)$ et $(3\,;3)$

b) $y = -\dfrac{3}{4}x + 2$

Étape 1$p=2$ → point $(0\,;2)$

Étape 2$m=-\dfrac{3}{4}$ → $+4$ en $x$, on descend de $3$ → point $(4\,;-1)$

Points : $(0\,;2)$ et $(4\,;-1)$

c) $y = \dfrac{5}{2}x - 3$

Étape 1$p=-3$ → point $(0\,;-3)$

Étape 2$m=\dfrac{5}{2}$ → $+2$ en $x$, $+5$ en $y$ → point $(2\,;2)$

Points : $(0\,;-3)$ et $(2\,;2)$

d) $y = -\dfrac{1}{3}x + 4$

Étape 1$p=4$ → point $(0\,;4)$

Étape 2$m=-\dfrac{1}{3}$ → $+3$ en $x$, on descend de $1$ → point $(3\,;3)$

Points : $(0\,;4)$ et $(3\,;3)$

2) Le graphique

Repère gradué de $-1$ à $5$ en abscisses et de $-4$ à $5$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=2/3 x+1 (b) y=-3/4 x+2 (c) y=5/2 x-3 (d) y=-1/3 x+4

Exercice 4 / 6

Cas particuliers

✓ Vu

1) Donne les deux points à placer pour chaque droite (attention : un nombre est parfois invisible).

a)

$y = 4x$

b)

$y = 3$

c)

$y = x - 2$

d)

$y = -x - 1$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $3$ et l'axe des ordonnées de $-3$ à $5$, en prenant 1 carreau = 1 unité sur chaque axe. Place les points trouvés et trace les 4 droites (a), (b), (c) et (d).

💡 Indices

Pas de nombre isolé dans a) : $p=0$, le point de départ est donc l'origine $(0\,;0)$.

Pas de $x$ dans b) : $m=0$. Depuis $(0\,;3)$, on avance de $1$ mais on ne monte ni ne descend : le deuxième point a la même hauteur.

a) $y = 4x$

💡 Pas de nombre isolé : $p=0$.

Étape 1$p=0$ → point $(0\,;0)$, l'origine

Étape 2$m=4$ → $+1$ en $x$, $+4$ en $y$ → point $(1\,;4)$

Points : $(0\,;0)$ et $(1\,;4)$

b) $y = 3$

💡 Pas de $x$ : on peut réécrire $y=0\times x+3$, donc $m=0$.

Étape 1$p=3$ → point $(0\,;3)$

Étape 2$m=0$ → $+1$ en $x$, $+0$ en $y$ → point $(1\,;3)$

Points : $(0\,;3)$ et $(1\,;3)$ — droite horizontale

c) $y = x - 2$

💡 $m=1$ (invisible).

Étape 1$p=-2$ → point $(0\,;-2)$

Étape 2$m=1$ → $+1$ en $x$, $+1$ en $y$ → point $(1\,;-1)$

Points : $(0\,;-2)$ et $(1\,;-1)$

d) $y = -x - 1$

💡 $m=-1$ (invisible).

Étape 1$p=-1$ → point $(0\,;-1)$

Étape 2$m=-1$ → $+1$ en $x$, on descend de $1$ → point $(1\,;-2)$

Points : $(0\,;-1)$ et $(1\,;-2)$

2) Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $3$ en abscisses et de $-3$ à $5$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=4x (b) y=3 (c) y=x-2 (d) y=-x-1

Exercice 5 / 6

Vérification Ce point est-il sur la droite ?

✓ Vu

1) Pour chaque droite, donne les deux points à placer pour la tracer (méthode des 2 étapes), et note aussi les coordonnées du point $M$ à vérifier.

a)

$y = 2x - 1$ ; le point $M_a(3\,;5)$

b)

$y = -x + 4$ ; le point $M_b(1\,;2)$

c)

$y = \dfrac{2}{3}x + 1$ ; le point $M_c(3\,;3)$

d)

$y = -3x + 2$ ; le point $M_d(-1\,;5)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $4$ et l'axe des ordonnées de $-2$ à $6$, en prenant 1 carreau = 1 unité sur chaque axe. Trace les 4 droites (a), (b), (c), (d), place les points $M_a$, $M_b$, $M_c$, $M_d$, puis lis sur ton graphique si chaque point semble appartenir à sa droite. 3) Vérifie chaque lecture graphique par le calcul.

💡 Indices

Une fois la droite tracée, regarde si le point $M$ se trouve exactement sur le trait, ou légèrement à côté.

Remplace $x$ par l'abscisse du point dans l'équation, calcule $y$, puis compare avec l'ordonnée du point : si les deux correspondent, le point est bien sur la droite.

Méthode : je trace la droite, je place le point, puis je confirme par le calcul : je remplace $x$ par l'abscisse du point, je calcule $y$, et je compare à l'ordonnée du point.

a) $y = 2x - 1$ ; le point $M_a(3\,;5)$

Étape 1$p=-1$ → point $(0\,;-1)$

Étape 2$m=2$ → point $(1\,;1)$

Calcul$y = 2\times 3 - 1 = 5$

On trouve $y=5$, ce qui correspond à l'ordonnée de $M_a$. Oui, $M_a$ est sur la droite.

b) $y = -x + 4$ ; le point $M_b(1\,;2)$

Étape 1$p=4$ → point $(0\,;4)$

Étape 2$m=-1$ → point $(1\,;3)$

Calcul$y = -1 + 4 = 3$

On trouve $y=3$, mais $M_b$ propose $y=2$. Non, $M_b$ n'est pas sur la droite — sur le graphique, il doit apparaître légèrement en dessous du trait.

c) $y = \dfrac{2}{3}x + 1$ ; le point $M_c(3\,;3)$

Étape 1$p=1$ → point $(0\,;1)$

Étape 2$m=\dfrac{2}{3}$ → point $(3\,;3)$

Calcul$y = \dfrac{2}{3}\times 3 + 1 = 2+1=3$

On trouve $y=3$, ce qui correspond. Oui, $M_c$ est sur la droite — ici $M_c$ est même exactement le deuxième point de construction !

d) $y = -3x + 2$ ; le point $M_d(-1\,;5)$

Étape 1$p=2$ → point $(0\,;2)$

Étape 2$m=-3$ → point $(1\,;-1)$

Calcul$y = -3\times(-1) + 2 = 3+2=5$

On trouve $y=5$, ce qui correspond. Oui, $M_d$ est sur la droite.

Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $4$ en abscisses et de $-2$ à $6$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité). Les points dorés sont les points $M$ à vérifier.

(a) y=2x-1 (b) y=-x+4 (c) y=2/3 x+1 (d) y=-3x+2 points M

Exercice 6 / 6

Un peu plus corsé Synthèse

✓ Vu

Un élève a tracé les droites suivantes. Pour chaque cas, dis si sa méthode est correcte ; si non, corrige-la.

a)

Pour $y = 2x - 3$, l'élève place d'abord le point $(0\,;2)$.

b)

Pour $y = \dfrac{2}{5}x + 1$, l'élève avance de $2$ et monte de $5$.

c)

Pour $y = -4$, l'élève dit qu'on ne peut pas tracer cette droite car il n'y a pas de $x$.

d)

Pour $y = -x + 2$, l'élève place $(0\,;2)$ puis avance de $1$ et monte de $1$.

Pour finir : construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-1$ à $6$ et l'axe des ordonnées de $-5$ à $4$, 1 carreau = 1 unité) et trace correctement les 4 droites (a), (b), (c), (d).

💡 Indices

Le premier point doit toujours correspondre à $(0\,;p)$ — vérifie bien lequel des deux nombres est $p$.

Pour une fraction $\dfrac{a}{b}$, le pas horizontal est le dénominateur $b$ et le pas vertical est le numérateur $a$ — ne les inverse pas. Et n'oublie pas : $m<0$ signifie qu'on descend, pas qu'on monte.

Rappel : le point de départ est toujours $(0\,;p)$, et le sens du déplacement dépend du signe de $m$.

a) $y = 2x - 3$

Incorrect. L'élève a confondu $m$ et $p$ : ici $p=-3$, donc le premier point doit être $(0\,;-3)$, pas $(0\,;2)$.

Point de départ correct : $(0\,;-3)$, puis $(1\,;-1)$ en appliquant $m=2$.

b) $y = \dfrac{2}{5}x + 1$

Incorrect. L'élève a inversé numérateur et dénominateur : pour $m=\dfrac{2}{5}$, il faut avancer de $5$ (dénominateur) et monter de $2$ (numérateur), pas l'inverse.

Bon déplacement : depuis $(0\,;1)$, $+5$ en $x$ et $+2$ en $y$ → point $(5\,;3)$.

c) $y = -4$

Incorrect. On peut toujours réécrire cette équation sous la forme $y=0\times x - 4$ : $m=0$ et $p=-4$. La droite se trace, c'est une droite horizontale.

Points : $(0\,;-4)$ et $(1\,;-4)$ — droite horizontale passant par $y=-4$.

d) $y = -x + 2$

Incorrect. Ici $m=-1$, ce qui signifie qu'on doit descendre de $1$, pas monter.

Bon déplacement : depuis $(0\,;2)$, $+1$ en $x$ et on descend de $1$ → point $(1\,;1)$.

Le graphique correct

Repère gradué de $-1$ à $6$ en abscisses et de $-5$ à $4$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=2x-3 (b) y=2/5 x+1 (c) y=-4 (d) y=-x+2