Droites 2nde : Trouver l'équation à partir de deux points

Exercice 1 / 6

Cas simples Coordonnées positives

✓ Vu

1) Détermine l'équation de la droite passant par chaque couple de points.

a)

$A(1\,;3)$ et $B(2\,;7)$

b)

$A(2\,;5)$ et $B(4\,;9)$

c)

$A(1\,;6)$ et $B(3\,;2)$

d)

$A(2\,;1)$ et $B(5\,;7)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $0$ à $6$ et l'axe des ordonnées de $0$ à $10$, en prenant 1 carreau = 1 unité. Place les points $A$ et $B$ de chaque droite, puis trace les 4 droites pour vérifier qu'elles passent bien par les points donnés.

💡 Indices

$m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ : toujours arrivée moins départ, dans le même ordre en haut et en bas.

Une fois $m$ trouvé, remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d'un des deux points (au choix) dans $y=mx+p$, pour isoler $p$.

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{1}\,;\textcolor{#1b7a40}{3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{7})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{7}-\textcolor{#1b7a40}{3}}{\textcolor{#b85c0b}{2}-\textcolor{#b85c0b}{1}}=\dfrac{4}{1}=4$

Étape 2 — p$y=4x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{3}=4\times \textcolor{#b85c0b}{1}+p \iff p=-1$

Équation : $y = 4x - 1$

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{9})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{9}-\textcolor{#1b7a40}{5}}{\textcolor{#b85c0b}{4}-\textcolor{#b85c0b}{2}}=\dfrac{4}{2}=2$

Étape 2 — p$y=2x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{5}=2\times \textcolor{#b85c0b}{2}+p \iff p=1$

Équation : $y = 2x + 1$

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{1}\,;\textcolor{#1b7a40}{6})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{3}\,;\textcolor{#1b7a40}{2})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{2}-\textcolor{#1b7a40}{6}}{\textcolor{#b85c0b}{3}-\textcolor{#b85c0b}{1}}=\dfrac{-4}{2}=-2$

Étape 2 — p$y=-2x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{6}=-2\times \textcolor{#b85c0b}{1}+p \iff p=8$

Équation : $y = -2x + 8$

d) $A(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{1})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{5}\,;\textcolor{#1b7a40}{7})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{7}-\textcolor{#1b7a40}{1}}{\textcolor{#b85c0b}{5}-\textcolor{#b85c0b}{2}}=\dfrac{6}{3}=2$

Étape 2 — p$y=2x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{1}=2\times \textcolor{#b85c0b}{2}+p \iff p=-3$

Équation : $y = 2x - 3$

2) Le graphique

Repère gradué de $0$ à $6$ en abscisses et de $0$ à $10$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=4x-1 (b) y=2x+1 (c) y=-2x+8 (d) y=2x-3

Exercice 2 / 6

Coordonnées négatives

✓ Vu

1) Détermine l'équation de la droite passant par chaque couple de points. Sois prudent(e) avec les signes !

a)

$A(-3\,;-2)$ et $B(1\,;6)$

b)

$A(-1\,;5)$ et $B(2\,;-4)$

c)

$A(-4\,;-5)$ et $B(-2\,;-1)$

d)

$A(-2\,;3)$ et $B(3\,;-2)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-5$ à $4$ et l'axe des ordonnées de $-6$ à $7$, en prenant 1 carreau = 1 unité. Place les points et trace les 4 droites.

💡 Indices

Attention à $x_B - x_A$ quand $x_A$ est négatif : par exemple $1-(-3) = 1+3 = 4$.

La méthode ne change pas : calcule $m$ avec la formule, puis remplace dans $y=mx+p$ avec un point pour trouver $p$.

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{-3}\,;\textcolor{#1b7a40}{-2})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{1}\,;\textcolor{#1b7a40}{6})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{6}-(\textcolor{#1b7a40}{-2})}{\textcolor{#b85c0b}{1}-(\textcolor{#b85c0b}{-3})}=\dfrac{8}{4}=2$

Étape 2 — p$y=2x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{-2}=2\times(\textcolor{#b85c0b}{-3})+p \iff p=4$

Équation : $y = 2x + 4$

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{-1}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{-4})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-4}-\textcolor{#1b7a40}{5}}{\textcolor{#b85c0b}{2}-(\textcolor{#b85c0b}{-1})}=\dfrac{-9}{3}=-3$

Étape 2 — p$y=-3x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{5}=-3\times(\textcolor{#b85c0b}{-1})+p \iff p=2$

Équation : $y = -3x + 2$

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{-4}\,;\textcolor{#1b7a40}{-5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{-2}\,;\textcolor{#1b7a40}{-1})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-1}-(\textcolor{#1b7a40}{-5})}{\textcolor{#b85c0b}{-2}-(\textcolor{#b85c0b}{-4})}=\dfrac{4}{2}=2$

Étape 2 — p$y=2x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{-5}=2\times(\textcolor{#b85c0b}{-4})+p \iff p=3$

Équation : $y = 2x + 3$

d) $A(\textcolor{#b85c0b}{-2}\,;\textcolor{#1b7a40}{3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{3}\,;\textcolor{#1b7a40}{-2})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-2}-\textcolor{#1b7a40}{3}}{\textcolor{#b85c0b}{3}-(\textcolor{#b85c0b}{-2})}=\dfrac{-5}{5}=-1$

Étape 2 — p$y=-x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{3}=-1\times(\textcolor{#b85c0b}{-2})+p \iff p=1$

Équation : $y = -x + 1$

2) Le graphique

Repère gradué de $-5$ à $4$ en abscisses et de $-6$ à $7$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=2x+4 (b) y=-3x+2 (c) y=2x+3 (d) y=-x+1

Exercice 3 / 6

Astuce Point d'abscisse nulle

✓ Vu

1) Dans chaque cas, un des deux points a une abscisse nulle : utilise l'astuce pour aller plus vite !

a)

$A(0\,;2)$ et $B(2\,;6)$

b)

$A(0\,;-3)$ et $B(2\,;5)$

c)

$A(2\,;7)$ et $B(0\,;1)$

d)

$A(0\,;0)$ et $B(4\,;-4)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-1$ à $5$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-5$ à $8$ (1 carreau = 2 unités). Place les points et trace les 4 droites.

💡 Indices

Un point d'abscisse nulle, c'est le plongeoir : sa ordonnée est directement $p$, sans passer par l'étape 2 !

Dans c), c'est $B$ qui a une abscisse nulle (pas $A$) : ça marche quand même, peu importe le nom du point.

Astuce : si un point a une abscisse nulle, son ordonnée est directement $p$ — pas besoin de l'étape 2 !

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{0}\,;\textcolor{#1b7a40}{2})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{6})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{6}-\textcolor{#1b7a40}{2}}{\textcolor{#b85c0b}{2}-\textcolor{#b85c0b}{0}}=\dfrac{4}{2}=2$

Étape 2 — astuce$A$ a pour abscisse $\textcolor{#b85c0b}{0}$ : $p=\textcolor{#1b7a40}{2}$ directement

Équation : $y = 2x + 2$

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{0}\,;\textcolor{#1b7a40}{-3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{5}-(\textcolor{#1b7a40}{-3})}{\textcolor{#b85c0b}{2}-\textcolor{#b85c0b}{0}}=\dfrac{8}{2}=4$

Étape 2 — astuce$A$ a pour abscisse $\textcolor{#b85c0b}{0}$ : $p=\textcolor{#1b7a40}{-3}$ directement

Équation : $y = 4x - 3$

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{7})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{0}\,;\textcolor{#1b7a40}{1})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{1}-\textcolor{#1b7a40}{7}}{\textcolor{#b85c0b}{0}-\textcolor{#b85c0b}{2}}=\dfrac{-6}{-2}=3$

Étape 2 — astuceCette fois c'est $B$ qui a pour abscisse $\textcolor{#b85c0b}{0}$ : $p=\textcolor{#1b7a40}{1}$ directement

Équation : $y = 3x + 1$

d) $A(\textcolor{#b85c0b}{0}\,;\textcolor{#1b7a40}{0})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{-4})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-4}-\textcolor{#1b7a40}{0}}{\textcolor{#b85c0b}{4}-\textcolor{#b85c0b}{0}}=\dfrac{-4}{4}=-1$

Étape 2 — astuce$A$ a pour abscisse $\textcolor{#b85c0b}{0}$ : $p=\textcolor{#1b7a40}{0}$ directement — la droite passe par l'origine

Équation : $y = -x$

2) Le graphique

Repère gradué de $-1$ à $5$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-5$ à $8$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) y=2x+2 (b) y=4x-3 (c) y=3x+1 (d) y=-x

Exercice 4 / 6

Horizontale ou verticale ?

✓ Vu

1) Pour chaque couple de points, applique la méthode. Si elle plante, explique pourquoi.

a)

$A(-2\,;5)$ et $B(3\,;5)$

b)

$A(1\,;-3)$ et $B(5\,;-3)$

c)

$A(4\,;-2)$ et $B(4\,;6)$

d)

$A(-1\,;3)$ et $B(-1\,;-5)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $5$ et l'axe des ordonnées de $-4$ à $6$, en prenant 1 carreau = 1 unité. Place les points et trace les 4 droites obtenues (y compris celles qui ne s'écrivent pas $y=mx+p$).

💡 Indices

Si $A$ et $B$ ont la même ordonnée, alors $m=0$ : c'est une droite horizontale $y=p$.

Si $A$ et $B$ ont la même abscisse, alors $x_B-x_A=0$ : impossible de calculer $m$. La droite est verticale, elle ne s'écrit pas $y=mx+p$.

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{-2}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{3}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{5}-\textcolor{#1b7a40}{5}}{\textcolor{#b85c0b}{3}-(\textcolor{#b85c0b}{-2})}=\dfrac{0}{5}=0$

Étape 2 — p$y=0\times x+p=p$, donc $p=\textcolor{#1b7a40}{5}$

Équation : $y = 5$ — droite horizontale

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{1}\,;\textcolor{#1b7a40}{-3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{5}\,;\textcolor{#1b7a40}{-3})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-3}-(\textcolor{#1b7a40}{-3})}{\textcolor{#b85c0b}{5}-\textcolor{#b85c0b}{1}}=\dfrac{0}{4}=0$

Étape 2 — p$y=0\times x+p=p$, donc $p=\textcolor{#1b7a40}{-3}$

Équation : $y = -3$ — droite horizontale

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{-2})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{6})$

La formule plante : $m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{6}-(\textcolor{#1b7a40}{-2})}{\textcolor{#b85c0b}{4}-\textcolor{#b85c0b}{4}}=\dfrac{8}{0}$, une division par $0$ est impossible.

$A$ et $B$ ont la même abscisse ($x=\textcolor{#b85c0b}{4}$) : c'est une droite verticale, elle ne peut pas s'écrire sous la forme $y=mx+p$ (voir Partie IV du cours).

Équation : $x = 4$ — droite verticale

d) $A(\textcolor{#b85c0b}{-1}\,;\textcolor{#1b7a40}{3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{-1}\,;\textcolor{#1b7a40}{-5})$

La formule plante : $m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-5}-\textcolor{#1b7a40}{3}}{\textcolor{#b85c0b}{-1}-(\textcolor{#b85c0b}{-1})}=\dfrac{-8}{0}$, une division par $0$ est impossible.

$A$ et $B$ ont la même abscisse ($x=\textcolor{#b85c0b}{-1}$) : c'est une droite verticale.

Équation : $x = -1$ — droite verticale

2) Le graphique

Repère gradué de $-2$ à $5$ en abscisses et de $-4$ à $6$ en ordonnées (1 carreau = 1 unité).

(a) y=5 (b) y=-3 (c) x=4 (d) x=-1

Exercice 5 / 6

Un peu plus corsé Pentes fractionnaires

✓ Vu

1) Ici, $m$ ne sera pas un nombre entier. Détermine quand même l'équation de chaque droite.

a)

$A(3\,;5)$ et $B(6\,;7)$

b)

$A(4\,;-1)$ et $B(8\,;-4)$

c)

$A(5\,;4)$ et $B(10\,;6)$

d)

$A(2\,;7)$ et $B(6\,;1)$

2) Construis un repère : gradue l'axe des abscisses de $0$ à $11$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-5$ à $11$ (1 carreau = 2 unités). Place les points et trace les 4 droites.

💡 Indices

La méthode ne change pas : calcule $m$, simplifie la fraction si possible, puis remplace dans $y=mx+p$ pour trouver $p$.

Dans d), $m$ est négatif : $\dfrac{1-7}{6-2}=\dfrac{-6}{4}$, qui se simplifie en $-\dfrac{3}{2}$.

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{3}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{6}\,;\textcolor{#1b7a40}{7})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{7}-\textcolor{#1b7a40}{5}}{\textcolor{#b85c0b}{6}-\textcolor{#b85c0b}{3}}=\dfrac{2}{3}$

Étape 2 — p$y=\dfrac{2}{3}x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{5}=\dfrac{2}{3}\times \textcolor{#b85c0b}{3}+p=2+p \iff p=3$

Équation : $y = \dfrac{2}{3}x + 3$

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{-1})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{8}\,;\textcolor{#1b7a40}{-4})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{-4}-(\textcolor{#1b7a40}{-1})}{\textcolor{#b85c0b}{8}-\textcolor{#b85c0b}{4}}=\dfrac{-3}{4}$

Étape 2 — p$y=-\dfrac{3}{4}x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{-1}=-\dfrac{3}{4}\times \textcolor{#b85c0b}{4}+p=-3+p \iff p=2$

Équation : $y = -\dfrac{3}{4}x + 2$

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{5}\,;\textcolor{#1b7a40}{4})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{10}\,;\textcolor{#1b7a40}{6})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{6}-\textcolor{#1b7a40}{4}}{\textcolor{#b85c0b}{10}-\textcolor{#b85c0b}{5}}=\dfrac{2}{5}$

Étape 2 — p$y=\dfrac{2}{5}x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{4}=\dfrac{2}{5}\times \textcolor{#b85c0b}{5}+p=2+p \iff p=2$

Équation : $y = \dfrac{2}{5}x + 2$

d) $A(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{7})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{6}\,;\textcolor{#1b7a40}{1})$

Étape 1 — m$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{1}-\textcolor{#1b7a40}{7}}{\textcolor{#b85c0b}{6}-\textcolor{#b85c0b}{2}}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}$

Étape 2 — p$y=-\dfrac{3}{2}x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{7}=-\dfrac{3}{2}\times \textcolor{#b85c0b}{2}+p=-3+p \iff p=10$

Équation : $y = -\dfrac{3}{2}x + 10$

2) Le graphique

Repère gradué de $0$ à $11$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-5$ à $11$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) y=2/3 x+3 (b) y=-3/4 x+2 (c) y=2/5 x+2 (d) y=-3/2 x+10

Exercice 6 / 6

Un peu plus corsé Synthèse

✓ Vu

Un élève a résolu les exercices suivants. Pour chaque cas, dis si son travail est correct ; si non, corrige-le.

a)

Pour $A(2\,;5)$ et $B(6\,;13)$, l'élève calcule $m=\dfrac{2-6}{5-13}$.

b)

Pour $A(-1\,;3)$ et $B(4\,;-2)$, l'élève trouve $m=-1$ puis répond directement « l'équation est $y=-x$ ».

c)

Pour $A(0\,;4)$ et $B(3\,;-2)$, l'élève trouve $m=-2$ et dit « $p=4$ car $A$ a une abscisse nulle ».

d)

Pour $C(2\,;-3)$ et $D(2\,;5)$, l'élève calcule $m=\dfrac{8}{0}$ et conclut : « cette droite n'a pas d'équation ».

Pour finir : construis un repère (gradue l'axe des abscisses de $-2$ à $7$ (1 carreau = 1 unité) et l'axe des ordonnées de $-3$ à $14$ (1 carreau = 2 unités)) et trace correctement les 4 droites (a), (b), (c) et (d).

💡 Indices

Le $x$ doit toujours être en bas et le $y$ en haut : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, jamais l'inverse.

Trouver $m$ ne suffit jamais : il faut toujours l'étape 2 pour trouver $p$, sauf si un point a une abscisse nulle. Et une division par $0$ signale une droite verticale — qui a bien une équation, juste pas de la forme $y=mx+p$.

Rappel : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (jamais l'inverse), et il faut toujours l'étape 2 pour trouver $p$ (sauf astuce du point d'abscisse nulle).

a) $A(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{6}\,;\textcolor{#1b7a40}{13})$

Incorrect. L'élève a inversé $x$ et $y$ dans sa formule : il faut $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, pas $\dfrac{x_B-x_A}{y_B-y_A}$.

Correction$m=\dfrac{\textcolor{#1b7a40}{13}-\textcolor{#1b7a40}{5}}{\textcolor{#b85c0b}{6}-\textcolor{#b85c0b}{2}}=\dfrac{8}{4}=2$, puis $p$ : $\textcolor{#1b7a40}{5}=2\times \textcolor{#b85c0b}{2}+p \iff p=1$

Équation correcte : $y = 2x + 1$

b) $A(\textcolor{#b85c0b}{-1}\,;\textcolor{#1b7a40}{3})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{4}\,;\textcolor{#1b7a40}{-2})$

Incorrect. $m=-1$ est juste, mais l'élève a oublié l'étape 2 : trouver $m$ ne suffit pas, il faut aussi trouver $p$.

Correction$y=-x+p$, avec $A$ : $\textcolor{#1b7a40}{3}=-1\times(\textcolor{#b85c0b}{-1})+p=1+p \iff p=2$

Équation correcte : $y = -x + 2$ (et non $y=-x$)

c) $A(\textcolor{#b85c0b}{0}\,;\textcolor{#1b7a40}{4})$ et $B(\textcolor{#b85c0b}{3}\,;\textcolor{#1b7a40}{-2})$

Correct ! $A$ a bien pour abscisse $\textcolor{#b85c0b}{0}$, donc son ordonnée est directement $p=\textcolor{#1b7a40}{4}$. L'équation est $y=-2x+4$.

d) $C(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{-3})$ et $D(\textcolor{#b85c0b}{2}\,;\textcolor{#1b7a40}{5})$

Conclusion incorrecte. La division par $0$ est bien impossible, mais cela ne veut pas dire que la droite « n'a pas d'équation » : c'est une droite verticale, qui a pour équation $x=2$ (elle ne s'écrit juste pas sous la forme $y=mx+p$).

Équation correcte : $x = 2$

Le graphique correct

Repère gradué de $-2$ à $7$ en abscisses (1 carreau = 1 unité) et de $-3$ à $14$ en ordonnées (1 carreau = 2 unités).

(a) y=2x+1 (b) y=-x+2 (c) y=-2x+4 (d) x=2